2018清華附中高三12月月考數(shù)學(xué)試卷理試卷及答案

1、清華附中高三2018年12月月考試卷數(shù)學(xué)（理） （清華附中高16級） 2018.12一 選擇題：（共8小題，每小題5分，共40分）1. 拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為(B) (A) (B) 1 (C) 2 (D)32. 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)的為（A） (A) (B) (C)(D)3. 開始結(jié)束 甲、乙等四人排成一排，甲與乙不相鄰的排法的種數(shù)有（B） (A) 6 (B) 12(C) 18(D) 244. 右側(cè)程序框圖所示的算法來自于九章算術(shù).若輸入的值為，的值為，則執(zhí)行該程序框圖輸出的結(jié)果為（C）(A)6(B) 7(C) 8(D) 95.數(shù)列是無窮項等比數(shù)列，則“單調(diào)遞增”是“”的（C）

2、(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件 (C) 充分且必要條件(D) 既不充分又不必要條件6. 設(shè)實數(shù)滿足，那么的最大值是 D(A) (B) (C) (D) 7. 某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的四個側(cè)面的面積中最大的是(C)（A）（B）（C）（D）8. 在棱長為2正方體中，為棱CD的中點，點P是側(cè)面 上一動點，且CP，則線段的取值范圍為(B) (A) (B) (C) (D) 二填空題：（共6小題，每小題5分，共30分）9. . 已知雙曲線:，則雙曲線的漸近線的方程為_.10. 在二項式的展開式中，常數(shù)項為_.(15)11. 函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，能說明命題“若函數(shù)在(0,2)

3、存在唯一零點，則”為假命題的一個函數(shù)為=_.12. 在ABC中，B=60°，且c=8，b-a=4，則b=_7_.13.實數(shù)滿足若的最大值為，最小值為，則的取值范圍是_. 14. 已知兩個集合，滿足若對任意的，存在，使得 （），則稱為的一個基集若 ，則其基集元素個數(shù)的最小值是 4 三解答題：（共6小題，17、20題每題14分，其余每題13分，共80分）15已知函數(shù)的最小正周期為（）求的值；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值解：（）因為 ， 所以的最小正周期 , 解得 （）由（）得 因為 ，所以 所以，當(dāng)，即時，取得最大值為1； 當(dāng)，即時，取得最小值為 16. 手機(jī)完全充滿電量，在開機(jī)不使用

4、的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機(jī)的待機(jī)時間為了解A，B兩個不同型號手機(jī)的待機(jī)時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B兩個型號的手機(jī)各7臺，在相同條件下進(jìn)行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下：手機(jī)編號1234567A型待機(jī)時間（h）120125122124124123123B型待機(jī)時間（h）118123127120124 ab其中，a，b是正整數(shù)，且（）該賣場有56臺A型手機(jī)，試估計其中待機(jī)時間不少于123小時的臺數(shù)；（）從A型號被測試的7臺手機(jī)中隨機(jī)抽取4臺，記待機(jī)時間大于123小時的臺數(shù)為X ，求X 的分布列；（）設(shè)A，B兩個型號被測試手機(jī)待機(jī)時間的平均值相等，當(dāng)B型號

5、被測試手機(jī)待機(jī)時間的方差最小時，寫出a，b的值（結(jié)論不要求證明） 解：（）被檢測的7臺手機(jī)中有5臺的待機(jī)時間不少于123小時，因此，估計56臺A型手機(jī)中有臺手機(jī)的待機(jī)時間不少于123小時 （）X可能的取值為 ； ； 所以，X 的分布列為：X0123P （）若A，B兩個型號被測試手機(jī)的待機(jī)時間的平均值相等，當(dāng)B型號被測試手機(jī)的待機(jī)時間的方差最小時， 17. 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形，平面PAC底面ABCD，PA=PC=. () 求證：PB=PD； 證明：記ACBD=O，連結(jié)PO， 底面ABCD為正方形， OA=OC=OB=OD=2. PA=PC， POAC， 平面PA

6、C底面ABCD=AC，POÌ平面PAC， PO底面ABCD. BDÌ底面ABCD， POBD. PB=PD.() 點M，N分別在棱PA，PC上，PM=AM，PN=CN，求直線PB與平面DMN所成角的正弦值；解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，射線OB，OC，OP的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由()可知 OP=2.可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.設(shè)平面的法向量n=， ， 令，可得n=., cos<,n>=. 直線PB與平面DMN所

7、成角的正弦值為.()在()的條件下，平面DMN與直線PB的交點為Q，在線段BC上，是否存在一點H，使得DQPH，若存在，求BH的長，若不存在，請說明理由.解：記，可得， ，=0， 可得，解得. 可得，. 記，可得， ，若DQPH，則， ，解得. 故.另：取的中點，說明均在平面PBD與平面DMN的交線上.18. 拋物線上的點到其準(zhǔn)線的距離為5. () 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 解：在拋物線中，其準(zhǔn)線方程為， 解得，. 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ()過點作直線交拋物線C于A，B兩點，Q是y軸上一點，且Q,A,B三點不共線)，直線與直線交于點N，判斷直線PQ與BN的位置關(guān)系，并說明理由. 解：設(shè)直線的方程

8、為， 聯(lián)立方程， 消元得， 恒成立. 設(shè)， 由韋達(dá)定理可得，； 設(shè)， ，直線AQ的方程為，令，解得， . ，又, 顯然PQ與AN不在同一條直線上，故直線PQ與AN平行.19.已知函數(shù). ()求函數(shù)的圖象在處的切線在軸上的截距；解： ， ， ， 又， 可得，函數(shù)的圖象在處的切線方程為， . 故的圖象在處的切線在軸上的截距為.() 若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值. 解：(1) 當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為, 不符合題意. (2) 當(dāng)時，且在單調(diào)遞增，可得存在唯一實數(shù)，使得. 函數(shù)隨x的變化而變化如下表：0(0,t)t(t,+)-0+ 所以函數(shù)的最小值為，其中， 因此，即，顯然是該方程

9、的一個解. 設(shè)，可得在上單調(diào)遞增， 可知，是方程的唯一解. .且符合題意.20.已知n是給定的不小于3正整數(shù)，如果數(shù)列滿足：對于任意的，均有，其中，那么稱數(shù)列A為“緊密數(shù)列”.() 若“緊密數(shù)列”為等差數(shù)列，求數(shù)列A的公差的取值范圍;解：當(dāng)時，數(shù)列中的最大項為， 則，即，解得； 又 ，可得. 當(dāng)時，數(shù)列中的最大項為， 則，即，解得； 又 ，可得. 綜上所述，數(shù)列A的公差的取值范圍為.() 數(shù)列 為“緊密數(shù)列”，求證：對于任意互不相等的，均有；證明：假設(shè)存在不相等的，有， 在數(shù)列中，除為，其他所有數(shù)之和， 因此： . 矛盾，假設(shè)不成立. 因此對于任意互不相等的，均有.() 數(shù)列 為“緊密數(shù)列”，對于任意的，且成立，求的最小值.解：數(shù)列 為“緊密數(shù)列”， 對于任意的，均有， 又