全等三角形的經(jīng)典模型(一)

1、3全等三角形的 經(jīng)典模型（一） -"V h!滿分晉級(jí)三角形7級(jí)倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短三角形8級(jí)全等三角形的經(jīng)典模型（一三角形9級(jí)全等三角形的經(jīng)典模型（二）全等三角形的等腰亢角三角形模則三垂H模廁等腰直角三角形數(shù)學(xué)模型思路：利用特殊邊特殊角證題（ AC=BC或90° 45 ,45 ）.如圖1;常見(jiàn)輔助線為作高，禾U用三線合一的性質(zhì)解決問(wèn)題如圖2；補(bǔ)全為正方形.如圖3, 4.圖3圖4圖2【例1】 已知：如圖所示，Rt ABC中，AB=AC, £BAC =90 ° O為BC的中點(diǎn),寫(xiě)出點(diǎn)O到厶ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系（不要 求證明）如果點(diǎn)M、N分別在

2、線段AC、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持 AN=CM.試判斷 OMN的形狀，并證明你的結(jié)論 .如果點(diǎn) M、N分別在線段 CA、AB的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，且在移動(dòng)中 保持AN=CM，試判斷中結(jié)論是否依然成立，如果是請(qǐng)給出證明.【解析】OA=OB=OC連接OA,9A=OC. BAO 二/C =45° AN=CM ANO CMO ON=OM匚NOA 二.MOC £NOA "BON 二.MOC /BON =90 OMN是等腰直角三角形厶O(píng)NM依然為等腰直角三角形，證明：/ BAC=90° , AB=AC, O 為 BC 中點(diǎn) / BAO= / OAC = Z ABC =

3、Z ACB=45° , AO=BO=OC,在 ANO和厶CMO中，AN 二CM仏 BAO =/CIAO =CO ANO 也厶 CMO ( SAS) ON=OM , / AON = Z COM , 又/ COM / AOM =90° , OMN為等腰直角三角形.【例2】 兩個(gè)全等的含30 ', 60角的三角板 ADE和三角板ABC，如 圖所示放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連接 BD，取BD的 中點(diǎn)M ,連接ME , MC 試判斷 EMC的形狀，并說(shuō)明理由.MA【解析】 EMC是等腰直角三角形證明：連接AM 由題意，得DE =AC,. DAE . BAC =90 D

4、AB =90.:. DAB為等腰直角三角形 DM =MB , MA =MB =DM MDA =/MAB =45 . . MDE =/MAC =105 , EDM CAM . EM 二MC,. DME 二/AMC .又.EMC =. EMA . AMC =. EMA . DME =90 . CM _EM , EMC是等腰直角三角形.【例3】 已知：如圖， ABC中，AB =AC , . BAC =90 ° D是AC的中 點(diǎn)，AF _BD于E，交BC于F ,連接DF .求證：,/ADB ./CDF .【解析】 證法一：如圖，過(guò)點(diǎn) A作AN _BC于N，交BD于M ./ AB =AC ,

5、BAC =90 ° , . 3 二.DAM =45 ° .:乙C =45° , £3 =. C ./ AF _BD , . 1 . BAE =90 ° . BAC =90° , . 2 梟/BAE =90 . 1 Z2.在 ABM 和 CAF中，1 =/2AB 二 AC ABMCAF . AM =CF .在 ADM和 CDF中，AD =CDkDAM =/CAM =CF ADM CDF . ./ADB ZCDF .證法二：如圖，作 CM _ AC交AF的延長(zhǎng)線于 M ./ AF _BD , 3 乙2 =90 ° , . BAC

6、 =90° , J G =90 ° , .1=3 .A2BCFM在 ACM和 BAD中，仁/3AC =AB| /ACM =/BAD =90° ACMBAD . . M =/ADB , AD =CM/ AD =DC , CM =CD .在 CMF和 CDF中，CF =CF! ZMCF EDCF =45°CM =CD CMF CDF . . M = . CDF . ADB =. CDF .【例4】 如圖，等腰直角 ABC中，AC二BC, ACB =90° , P為 ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB=PC, AP =AC ， 求證：.BCP =15 .【解析

7、】補(bǔ)全正方形ACBD，連接DP,易證 ADP是等邊三角形， DAP =60 , . BAD =45 , . BAP =15 , ZPAC =30 , EACP =75 , . BCP =15 .【探究對(duì)象】等腰直角三角形添補(bǔ)成正方形的幾種常見(jiàn)題型在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問(wèn)題，若遇到不易解決或解法比較復(fù)雜時(shí)，可將等腰直角三角形引輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的一些性質(zhì)來(lái)解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。例 4為求角度的應(yīng)用，其他應(yīng)用探究如下：【探究一】證角等【備選1】如圖，Rt ABC中，/ BAC=90° , AB=AC, M為AC中點(diǎn)，連結(jié)BM ,作AD丄BM

8、 交BC于點(diǎn)D，連結(jié) DM，求證：/ AMB= / CMD .AAF【解析】 作等腰Rt ABC關(guān)于BC對(duì)稱的等腰 Rt BFC，延長(zhǎng)AD交CF于點(diǎn)N ,/ AN丄BM，由正方形的性質(zhì)，可得 AN=BM ,易證 Rt ABM 也 Rt CAN , /-Z AMB=Z CND , CN=AM ,/ M 為 AC 中點(diǎn)，/ CM=CN ,/Z 1 = Z 2,可證得 CMD CND,Z CND = Z CMD ,Z AMB = Z CMD .【探究二】判定三角形形狀【備選 2】如圖，Rt ABC 中，Z BAC= 90 ° AB=AC, AD=CE, AN丄BD 于點(diǎn) M，延長(zhǎng) BD 交

9、NE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，試判定厶DEF的形狀.N【解析】 作等腰Rt ABC關(guān)于BC對(duì)稱的等腰 Rt BHC, 可知四邊形 ABHC為正方形，延長(zhǎng) AN交HC于點(diǎn)K ,/ AK 丄 BD，可知 AK=BD，易證：Rt ABD 也 Rt CAK, Z ADB= Z CKN , CK=AD,/ AD=EC, CK=CE ,易證 CKN CEN, /Z CKN= Z CEN, 易證Z EDF = Z DEF ,DEF為等腰三角形.【探究三】利用等積變形求面積【備選 3】如圖，Rt ABC 中，Z A=90° , AB=AC, D 為 BC 上一點(diǎn)，DE / AC, DF / AB, 且 BE=

10、4, CF =3，求 S 矩形 dfae .Rt GCB，F(xiàn)D、ED 交 BG、CG 于點(diǎn) N、M，【解析】 作等腰Rt ABC關(guān)于BC的對(duì)稱的等腰 可知四邊形 ABGC為正方形，分別延長(zhǎng)可知 DN=EB=4，DM=FC=3 ,由正方形對(duì)稱性質(zhì)，可知 S矩形 DFAE=S 矩形 DMGN =DM DN =34=12 .【探究四】求線段長(zhǎng)【備選4】如圖， ABC中，AD丄BC于點(diǎn)D，/ BAC=45° , BD=3 , CD=2,求AD的長(zhǎng).G【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但/ BAC=45° ,

11、若分別以AB、AC為對(duì)稱軸作Rt ADB的對(duì)稱直角三角形和 Rt ADC的對(duì)稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等 且?jiàn)A角為90°的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正 方形.【解析】 以AB為軸作RtAADB的對(duì)稱的Rt AEB，再以AC為軸作Rt ADC的對(duì)稱的 Rt AFC .可知 BE=BD=3, FC=CD=2,延長(zhǎng) EB、FC 交點(diǎn) G, / BAC=45° ,由對(duì)稱性，可得 / EAF=90° 且 AE=AD=AF ,易證四邊形 AFGE為正方形，且邊長(zhǎng)等于 AD,設(shè) AD=x,貝U BG=x 3, CG=x 2,在Rt BCG中，由

12、勾股定理，得 (x2+(x3 2 =52,解得x=6,即AD=6 .【探究五】求最小值【備選5】如圖,Rt ABC 中，/ ACB=90° ,AC=BC=4 , M為AC的中點(diǎn),P為斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，求PM+PC的最小值.AMCBxx【解析】 將原圖形通過(guò)引輔助線化歸為正方形，即作Rt ACB關(guān)于AB對(duì)稱的Rt ADB ,可知四邊形 ACBD為正方形，連接 CD，可知點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接MD交 AB于點(diǎn) P，連接 CP，貝U PM+PC的值為最小，最小值為：PM+PC=DM =4222 =25 .常見(jiàn)三垂直模型xxBCD【引例】已知AB丄BD , ED丄BD, AB=CD ,

13、 BC=DE，求證：AC丄CE ;若將 CDE沿CB方向平移得到等不同情形，AB =CD ,x其余條件不變，試判斷 AC丄CiE這一結(jié)論是否成立？若成立，給予證 明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由xx【解析】 I AB丄BD, ED丄BD .£ B ./D =90在厶ABC與 CDE中IfAB 二 CD'B =. DBC 二 DE ABC CDE ( SAS)乙仁.E . 2. E =90 . ACE =90 ,即 AC 丄 CE圖四種情形中，結(jié)論永遠(yuǎn)成立，證明方法與完全類(lèi)似，只要證明 ABC CDE . ACB - CEDT . GED DGE =90 DGE ACB =90-AC

14、丄 Ci E典題精練點(diǎn)C在第一象限.求【例5】 正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為 0,10 ,8 ,4 ,C的坐標(biāo).（計(jì)算應(yīng)用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)x【解析】 過(guò)點(diǎn)C作CG丄x軸于G,過(guò)B作BE丄y軸于E,并反向延長(zhǎng)交 CG于F點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為 0 , 10 ,8,4 BE=8，AE=6， AB=10四邊形ABCD是正方形， AB=BC . 1. 3 =90 . 2. 3 =90 . 1 =/2 . AEB =/BFC =90 AEB BFC CF=BE=8, BF=AE=6 CG=12 EF=14 C(14 , 12)，正方形的邊長(zhǎng)為 10【點(diǎn)評(píng)】此題

15、中三垂直模型:xx【例6】中，EABC =90 , ADCE _BD .如圖所示，在直角梯形ABCDAB BC , E是AB的中點(diǎn)， 求證：BE =AD ; 求證：AC是線段ED的垂直平分線; DBC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】 T /ABC =90 , BD _EC , . ECB . DBC =90 , ABD . DBC =90 , . ECB =. ABD , . ABC =. DAB =90 , AB 二 BC , BAD CBE , AD = BE . E 是 AB 中點(diǎn)， EB=EA由得：AD=BE, AE=AD AD / BC , 乙CAD /ACB =45 ,:乙 B

16、AC =45 , WBAC ZDAC由等腰三角形的性質(zhì)，得： EM =MD , AM _DE即AC是線段ED的垂直平分線. DBC是等腰三角形， CD =BD由得：CD =CE ,由得：CE =BDCD BD , DBC是等腰三角形.x【例7】 如圖， ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BD=CE，連接AE、CD相交于點(diǎn)P .請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出/ APD的度數(shù)=;如圖 2,Rt ABC 中，/ B=90°M、N 分別是 AB、BC 上的點(diǎn)，且 AM = BC、BM = CN , 連接AN、CM相交于點(diǎn)P .請(qǐng)你猜想/ APM=°并寫(xiě)出你的推理過(guò)程.（

17、2013平谷一模）圖2【解析】圖略，60°45°證明：作 AE丄AB且AE =CN =BM . 可證 EAM也 MBC ME =MC ,/AME ZBCM . . CMB . MCB =90 , ZCMB ZAME =90./EMC =90 EMC是等腰直角三角形，.MCE =45又厶 AEC CAN ( SAS)MECA =. NAC .EC / AN.APM = ECM =45訓(xùn)練1.已知：如圖， abc中，AC=BC,.ACB =90 ， D是AC上一點(diǎn)，AE丄BD的延1長(zhǎng)線于E,并且AE BD，求證:/ BE 丄 AF , ACB =90 ./FAC =. DBC在

18、厶AFC和厶BDC中，F(xiàn)AC - DBCAC =BCBD平分 ABC .IACF 二 BCD AFC 也 BDC (ASA ) AF=BD1又T AEBD2 AE J AF =EF2 BE是AF的中垂線 BA = BF BD 平分.ABC訓(xùn)練2. 已知，在正方形 ABCD中，E在BD上，DG丄CE于G,DG交AC于F.求證：OE=OF【解析】/ ABCD是正方形D OD=OC . DOC =90/ DG 丄 CE . DGC =90. DOC - . DGC I . OFD 二.GFC / ODF /ECO在厶DOF和厶COE中，DOF =/COEOD =OC.ODF =/OCE DOF 也厶

19、 COE (ASA ) OE=OF訓(xùn)練3. 已知：如圖， ABC中，AB二AC , . BAC =90° , D是BC的中點(diǎn)，AF _ BE于D FG .求證：DH =DF【解析】 AB AC ,. BAC =90 ° , D 是 BC 的中點(diǎn) AD=BD=CD , AD 丄 BC . ADB =90/ AF _ BE乙 AGH =90 . DBE = DAF在 BDH和厶ADF中，DBH DAFBD 二 ADZADB ZADF BDH 也厶 ADF (ASA ) DH=DF訓(xùn)練4.如圖，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn),EF丄EC,且EF = EC

20、, DE=4cm，矩形 ABCD的周長(zhǎng)為32cm，求AE的長(zhǎng). 【解析】 在 Rt AEF 和 Rt DEC 中，/ EF 丄 CE, / FEC=90° , / AEF + / DEC =90° ,而 / ECD + / DEC =90° , / AEF = Z ECD.又/FAE=Z EDC=90° . EF=ECBC Rt AEF 也 Rt DCE . AE = CD./ AD =AE+4.矩形ABCD的周長(zhǎng)為32 cm , 2 (AE+AE+4) =32 .解得 AE=6 cm.復(fù)習(xí)鞏固則圖中與題型一 等腰直角三角形模型鞏固練習(xí)【練習(xí)1】如圖，

21、ACB>A ECD均為等腰直角三角形, BDC全等的三角形為 .【解析】 AEC中. ACB =90 ° , AC，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)【練習(xí)2如圖，已知Rt ABC垂足為E . BF II AC=BC , D 是 BC 的中點(diǎn)，CE _ AD F .求證：AC =2BF .【解析】AC , . ACB =90 ° , BF II£ACD 二.CBF = 90.ADC . CAD =90 °/ CE _ AD , £FCB "ADC =90 . CAD =/FCB .又 AC =CB , ADC CFB . DC 二 FB . D

22、是BC的中點(diǎn)，BC 二2 BF ,即 AC 二2BF .題型三垂直模型鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 已知：如圖，四邊形ABCD 是矩形（AD > AB），點(diǎn) E 在 BC 上，且 AE =AD ,DCDF丄AE，垂足為F .請(qǐng)?zhí)角驞F與AB有何數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你所得到的結(jié)論并 給予證明.【解析】經(jīng)探求，結(jié)論是：DF = AB .證明如下：四邊形ABCD是矩形， / B=90 , AD II BC, / DAF=Z AEB.-DF 丄 AE, / AFD =90 ,-AE = AD , ABE DFA . AB = DF.【練習(xí)4】如圖， ABC中，AC =BC , . BCA =90 °

23、, D是AB上任意一點(diǎn),AE_CD 交 CD 延長(zhǎng)線于 E , BF _CD 于 F .求證：EF=BF_AE . 【解析】根據(jù)條件，.ACE、. CBF都與.BCF互余， . ACE 二/CBF .在 ACE和 CBF中，AC 二CB ,. AEC 二.CFB =90 ° , ACE CBF .貝V CE =BF , AE =CF , EF =CE -CF =BF -AE .【練習(xí)5】四邊形ABCD是正方形.如圖1,點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B、C兩點(diǎn)重合），連接AG,作BF丄AG 于點(diǎn)F, DE丄AG于點(diǎn)E.求證： ABF DAE ;在中，線段 EF與AF、BF的等量關(guān)系是（直接寫(xiě)出結(jié)論即可，不需要證明 ）； 如圖2,點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)（不與C、D兩點(diǎn)重合），連接AG,作BF丄AG 于點(diǎn)F, DE丄AG于點(diǎn)E.那么圖中全等三角形是，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是（直接寫(xiě)出結(jié)論即可，不需要證明）.DCDGC【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，乙BAD =90.乙B