關(guān)于范德蒙德行列式的性質(zhì)探討

1、山東師范大學(xué)范德蒙德行列式的應(yīng)用探討李珊珊 摘要：范德蒙德行列式作為一種重要的、著名的行列式性質(zhì)獨(dú)特、形式優(yōu)美，利用范德蒙德行列式能大大降低我們解題時(shí)的難度，起到事半功倍的效果. 本文將介紹范德蒙德行列式的概念及其性質(zhì)，并且給出范德蒙德行列式在行列式計(jì)算，向量空間理論，線性變換理論，多項(xiàng)式理論和微積分問(wèn)題五個(gè)方面較全面的具體應(yīng)用，并對(duì)方法和技巧做出概括和總結(jié). 關(guān)鍵詞：范德蒙德行列式；向量空間；線性變換；多項(xiàng)式；微積分中圖分類號(hào)：O13Discussion on The Application of Vandermonde Determinant Li Shan-shanAbstract: T

2、he determinant is an important tool in Mathematics. It is the basis of the follow-up to the content system, such as linear equations, matrix, vector spaces and linear transformations. And it has a wide range of applications. As an important and famous determinant, Vandermonde determinant has not onl

3、y unique structure, but also exquisite form. Using Vandermonde determinant can greatly reduce our computation on solving problems. That is also the essence of using Vandermonde determinant. This article will introduce the concept of Vandermonde determinant and its calculation method and properties.

4、Whats more, this article will summarize Vandermonde determinant in determinant computation, vector space, linear transformation theory, theory of polynomial and solving the problems of calculus in specific applications. And the article in the methods and techniques of Vandermonde determinant will ma

5、ke a summary. Keywords: Vandermonde determinant; vector space; linear transformation; polynomial;Calculus 1. 引言 行列式在高等代數(shù)中是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，活躍在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支. 行列式最早出現(xiàn)在16世紀(jì)關(guān)于求解線性方程組的問(wèn)題中. 它的研究是伴隨著線性代數(shù)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的. 18世紀(jì)，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家范德蒙德（A.T.Vandermonde,1735-1796）將行列式的理論脫離線性方程組，而放到理論高度作為專門(mén)的理論進(jìn)行研究，并在此基礎(chǔ)上確立了行列式的一些性質(zhì)，使行列式逐步成為一門(mén)

6、獨(dú)立的數(shù)學(xué)研究課題. 范德蒙德行列式是范德蒙德在1772年提出的一種著名的行列式，具有重要的理論研究?jī)r(jià)值和廣泛的應(yīng)用價(jià)值. 利用范德蒙德行列式和它的一些性質(zhì)，我們可以使計(jì)算變得更為簡(jiǎn)單、直接，從而大大的提高對(duì)高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析中問(wèn)題的計(jì)算速度. 自上世紀(jì)50年代以來(lái)，數(shù)學(xué)工作者對(duì)范德蒙德行列式的計(jì)算方法和在一些應(yīng)用方面進(jìn)行了研究. 不同研究者的角度、出發(fā)點(diǎn)和研究方向均不相同. 例如：北京大學(xué)第三版高等代數(shù)教材（高等教育出版社，王萼芳 石生明修訂）中就提到了范德蒙德行列式在行列式計(jì)算和多項(xiàng)式根的存在性問(wèn)題中的應(yīng)用. 在一些高校的學(xué)報(bào)中我們也可以找到許多范德蒙德行列式的應(yīng)用. 如：徐杰在范德蒙德行

7、列式的應(yīng)用（職校論壇，2009）中探討了應(yīng)用范德蒙德行列式證明向量的線性相關(guān)性問(wèn)題；張文治、趙艷在范德蒙德行列式應(yīng)用三則（北華航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007）中給出了構(gòu)造范德蒙德行列式計(jì)算缺項(xiàng)行列式；程偉健、賀冬冬在范德蒙德行列式在微積分中的應(yīng)用（大學(xué)數(shù)學(xué)，2004）中研究了利用范德蒙德行列式求高階無(wú)窮小和證明K階導(dǎo)數(shù)極限存在問(wèn)題等等. 綜上所述，雖然國(guó)內(nèi)外對(duì)范德蒙德行列式的應(yīng)用研究比較多，但是對(duì)應(yīng)用方法技巧的總結(jié)、歸納還比較欠缺和零散，系統(tǒng)性、規(guī)范性不足. 針對(duì)這種情況，本文較為系統(tǒng)的探討范德蒙德行列式的應(yīng)用，并對(duì)方法和技巧做出了總結(jié). 2. 范德蒙德行列式的概念及其性質(zhì)定義 形如的行列式，稱為

8、階范德蒙德（Vandermonde）行列式，記為. 范德蒙德行列式構(gòu)造獨(dú)特、形式優(yōu)美，并且有獨(dú)特的性質(zhì). 下面將給出范德蒙德行列式的各種性質(zhì). 首先，范德蒙德行列式擁有普通行列式的所有性質(zhì). （1）行列互換，行列式不變； （2）以一個(gè)數(shù)乘行列式的一行（列），相當(dāng)于用這數(shù)乘此行列式； （3）行列式某一行（列）是兩組數(shù)的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和； （4）如果行列式中兩行（列）成比例，則行列式為零； （5）把一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式不變； （6）行列式中兩行（列）的位置，行列式符號(hào)改變. 其次，我們給出范德蒙德行列式的五個(gè)更特別的性質(zhì). 性質(zhì)1 對(duì)任意的，并且的充要條件是這n

9、個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等，其中表示同類因子的乘積. 證明： 對(duì)進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納. 當(dāng)時(shí)，結(jié)果正確. 假設(shè)對(duì)于結(jié)論成立，即 . 則對(duì)于階的情況有，在中第行減去第行的 倍，第行減去第行的倍，以此類推，由下向上依次減去上一行的倍，有 = =. 后面這是一個(gè)階的范德蒙德行列式，根據(jù)歸納法假設(shè)，它等于所有可能差的乘積，而包含的差全在前面出現(xiàn)了. 因之，結(jié)論對(duì)階范德蒙德行列式也成立. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可知 . 由=，可知的充要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等，證畢. 注 2.1 因?yàn)?，所以范德蒙德行列式還可以寫(xiě)成，行列式的值不變. 性質(zhì)2 若將范德蒙德行列式順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得，則有 . 證明：因?yàn)椋裕粨Q行列式的第

10、1列與第列，則根據(jù)行列式的性質(zhì)（6），行列式的值變?yōu)樵瓉?lái)的-1倍，即有，再交換所得行列式的第2列和第列，行列式變?yōu)樵瓉?lái)的倍，即有 ，依次進(jìn)行下去，得到最終的行列式，這樣進(jìn)行了次，于是，結(jié)論得到證明. 性質(zhì)3 若將范德蒙德行列式逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得=，有. 事實(shí)上，與性質(zhì)2 的證明類似，依次交換行列式的兩行，我們?nèi)菀椎玫叫再|(zhì)3 的結(jié)果. 性質(zhì)4 若將范德蒙德行列式旋轉(zhuǎn)，可得=，有. 事實(shí)上，類似于性質(zhì)2和性質(zhì)3的證明，連續(xù)進(jìn)行兩次性質(zhì)2 或性質(zhì)3 的變換，就可以得到性質(zhì)4 的結(jié)果. 性質(zhì) 5 階準(zhǔn)范德蒙，其中是中個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列，表示對(duì)所有階排列求和. 證明：在行列式中增補(bǔ)第行和列相應(yīng)的元素. 考

11、慮階范德蒙德行列式，按第列展開(kāi)，有，其中分別是的代數(shù)余子式. 于是. （1）對(duì)于，由根與系數(shù)的關(guān)系（Vieta定理）有，由（1）式，可知.3. 關(guān)于范德蒙德行列式應(yīng)用的探討前面介紹了范德蒙德行列式的概念及其性質(zhì)，接下來(lái)我們將從行列式計(jì)算，向量空間理論，線性變換理論，多項(xiàng)式理論和微積分問(wèn)題五個(gè)方面探討范德蒙德行列式的應(yīng)用. 3.1 范德蒙德行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 范德蒙德行列式在行列式計(jì)算問(wèn)題中起著舉足輕重的作用. 利用范德蒙德行列式計(jì)算行列式已經(jīng)被確立為一種特殊的方法被廣泛使用. 下面我們來(lái)看幾個(gè)例子：例1 計(jì)算行列式.解：法1 構(gòu)造階范德蒙德行列式，則行列式為中元素的余子式，將行列式按列

12、展開(kāi)得，其中的系數(shù)為.又，由根與系數(shù)的關(guān)系有的系數(shù)是，因此在中的系數(shù)為，所以.法2 由范德蒙德行列式的性質(zhì) 5， 這里.例2 證明階循環(huán)行列式，其中，是所有的次單位根. 證明：由于是所有的次單位根，其所構(gòu)成的階范德蒙德行列式，令，再由行列式的乘法，的第行第列的元素是，規(guī)定.由于，所以.于是.又，因而.而右端的數(shù)恰好為行列式的第行第列的元素，即上面的行列式也等于，且原循環(huán)行列式的值為，由行列式的形狀可知：.于是再根據(jù)行列式的性質(zhì)有. 通過(guò)對(duì)上述例題的分析，可歸納出構(gòu)造和利用范德蒙德行列式來(lái)計(jì)算行列式的一些技巧： 觀察要計(jì)算的行列式是否具有范德蒙德行列式的的某些結(jié)構(gòu)特征； 通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?gòu)造范德蒙

13、德行列式； 結(jié)合范德蒙德行列式以及題目的要求進(jìn)行行列式的求解； 階循環(huán)行列式的解法以多項(xiàng)式理論為基礎(chǔ)，結(jié)合范德蒙德行列式進(jìn)行求解，方法簡(jiǎn)便易行，具有一定的實(shí)用價(jià)值. 3.2 范德蒙德行列式在向量空間理論中的應(yīng)用向量空間有時(shí)也稱為線性空間，它是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是我們?cè)诟叩却鷶?shù)的學(xué)習(xí)中接觸到的第一個(gè)抽象的概念. 向量空間與其子空間的關(guān)系問(wèn)題，向量空間中向量的線性相關(guān)性問(wèn)題都是向量空間研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)邏輯推理有較高的要求. 對(duì)于判斷、證明、計(jì)算向量空間中相應(yīng)問(wèn)題多往往比較難. 但將其與行列式適當(dāng)結(jié)合，特別是與范德蒙德行列式相結(jié)合時(shí)，題目就會(huì)變得容易理解和掌握，如下面幾個(gè)例子： 例3

14、設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，則不能寫(xiě)成它的有限個(gè)真子空間的并. 證明：對(duì)進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納. 當(dāng)時(shí)，顯然成立. 設(shè)時(shí)，令是的一組基，設(shè), 其中是中元素的集合，令，其中是單位向量，則易證是雙射,從而中有無(wú)窮多個(gè)不同的元素. 設(shè)（）為的真子空間，則中的元素在中的個(gè)數(shù)小于.否則，若,即,則由知的系數(shù)行列式為范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性質(zhì) 1知系數(shù)行列式非零，故. 進(jìn)而矛盾, 從而中只有有限多個(gè)元素在，即不能寫(xiě)成它有限個(gè)真子空間的并的形式. 例4 設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，任給正整數(shù)，則在V中存在m個(gè)向量，其中任取n個(gè)向量都線性無(wú)關(guān). 證明：因?yàn)椋灾恍柙谥锌紤]即可. 取 , , .令,為任意常數(shù)

15、.因?yàn)槭欠兜旅傻滦辛惺?，由范德蒙德行列式的性質(zhì)1知，所以線性無(wú)關(guān). 再由，所以結(jié)論成立. 在向量空間理論中，我們經(jīng)常會(huì)碰到需要用范德蒙德行列式轉(zhuǎn)化的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化我們很容易地得到所需要的結(jié)論. 而這就要求我們充分掌握范德蒙德行列式以及它的結(jié)構(gòu)特征，達(dá)到靈活的使用. 3.3 范德蒙德行列式在線性變換理論中的應(yīng)用 線性變換反映了線性空間中元素之間的一種最基本的聯(lián)系，它是線性函數(shù)的推廣. 線性變換與行列式、矩陣聯(lián)系密切. 利用行列式，尤其是范德蒙德行列式，來(lái)解決線性變換的特征值與特征向量問(wèn)題能達(dá)到事半功倍的效果. 例5 如果是線性變換的全部?jī)蓛刹煌奶卣髦?，則當(dāng)時(shí)，必有.證明：注意到，對(duì)等式左右兩邊

16、同時(shí)逐次作用，得，用矩陣表示為 . （2）矩陣的行列式是范德蒙德行列式，并且由于兩兩不同，從而是可逆矩陣. 在（2）式兩邊右乘,得，所以. 例6 設(shè)數(shù)域上的維向量空間的線性變換有n個(gè)互異的特征根則：（i）與可交換的V的線性變換都是的線性組合，其中e為恒等變換；（ii）線性無(wú)關(guān)的充要條件是，其中.證明：（i）設(shè)是與可交換的線性變換，且，則是的不變子空間. 令且，則有下方程組 , （3）可知（3）的系數(shù)行列式是范德蒙德行列式，且系數(shù)行列式，因?yàn)榛ギ?，由范德蒙德行列式的性質(zhì) 1知.于是方程組（3）有唯一解，所以是的線性組合. （ii）先證明充分性. 因?yàn)?，所?且，因而是可逆矩陣. 又由是的一組基，

17、可知線性無(wú)關(guān). 再證必要性. 設(shè)是分別屬于的特征向量，則構(gòu)成的一組基，因而有. 若則是的屬于的特征向量，故結(jié)論成立. 若存在使，不妨設(shè)全不為零，而，因而有，則.利用范德蒙德行列式的性質(zhì) 1可知有一個(gè)階子式不為零，所以秩（）=，從而，又因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以. 而,矛盾. 所以，其中. 在高等代數(shù)中，線性變換一直是最難的部分之一，題目的變化也很多. 在這些題目中，我們巧妙地運(yùn)用范德蒙德行列式來(lái)使復(fù)雜的問(wèn)題得到解決. 3.4 范德蒙德行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用 多項(xiàng)式是一類最常見(jiàn)、最簡(jiǎn)單的函數(shù)，它的應(yīng)用非常廣泛. 雖然多項(xiàng)式在整個(gè)高的代數(shù)中相對(duì)獨(dú)立，然而卻為高等代數(shù)的基本內(nèi)容提供了理論依據(jù). 研究多項(xiàng)

18、式、多項(xiàng)式根的存在性問(wèn)題、多項(xiàng)式求根問(wèn)題是多項(xiàng)式理論中的重難點(diǎn). 而多項(xiàng)式的求根問(wèn)題又與行列式相關(guān)聯(lián)，巧妙應(yīng)用它們之間的聯(lián)系，會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的作用. 例7 設(shè)，若至少有n+1個(gè)不同的根，則. 證明：為的n+1個(gè)不同的根，則有齊次線性方程組. （4）將看作方程組（4）的未知量. 因?yàn)榉匠探M（4）的系數(shù)行列式D是范德蒙行列式，且，由克萊姆法則知方程組（4）只有零解，從而有，即是零多項(xiàng)式. 例8 設(shè)是數(shù)域F中互不相同的數(shù)，是數(shù)域F中任一組給定的不全為零的數(shù)，則存在唯一的數(shù)域F上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式，使.證明：設(shè)，由，知 . (5）因?yàn)榛ゲ幌嗤?，所以方程組（5）的系數(shù)行列式.由克萊姆法則知方程組（5）有

19、唯一解，即存在唯一的數(shù)域F上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式，使得. 在多項(xiàng)式理論中，涉及到求根問(wèn)題的有很多. 在分析有些題目時(shí)，范德蒙德行列式是能夠起到關(guān)鍵的作用. 主要應(yīng)用在多項(xiàng)式組成的方程組中，系數(shù)組成的行列式是范德蒙德行列式. 若系數(shù)行列式不為零（即范德蒙德行列式的性質(zhì) 1），則由克萊姆法則知方程組只有零解. 熟練有效地運(yùn)用范德蒙德行列式，對(duì)我們最終解決問(wèn)題會(huì)有直接的幫助. 3.5 范德蒙德行列式在微積分中的應(yīng)用 無(wú)窮大量、無(wú)窮小量、高階導(dǎo)數(shù)和極限是微積分的主要內(nèi)容. 這些概念的正確理解和掌握對(duì)學(xué)好微積分是必要的. 在解決這類問(wèn)題的時(shí)候，有時(shí)巧妙地構(gòu)造范德蒙德行列式變換形式，可以使問(wèn)題得到容易理解的

20、解答. 例9 設(shè)f(x)在區(qū)間I上n階可導(dǎo)，若對(duì)， ，(是正常數(shù)）. 證明：若存在個(gè)正常數(shù)，對(duì)，. 證明：設(shè)，由泰勒公式，對(duì)，由此得，所以有其中. 令， （6）則，. 由于方程組（6）的系數(shù)行列式D為右邊的行列式為的范德蒙德行列式，由知，由克萊姆法則知，存在與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，使得,由此推得，.例10 設(shè)函數(shù)f(x)在x=0附近有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，且，若是一組兩兩互異的實(shí)數(shù)，證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小. 證明：由題設(shè)的條件，可得，在處帶有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林展開(kāi)式為： （） （）. （）,得. 當(dāng)時(shí)，若為比高階的無(wú)窮小，則有，這是以為未知數(shù)的線性方程組，其系數(shù)行列式有，所以上述方程組有惟一的解，即存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，為比高階的無(wú)窮小. 例11 設(shè)f(x)至少有k階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)有 . （7）試證：，其中. 證明：由條件（7）知，要證明，只要將寫(xiě)成與的線性組合的形式即可，利用泰勒公式， （8）其中. 這是關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)行列式為，后一行列式是范德蒙德行列式，且有，所以D=1. 于