函數(shù)恒成立問(wèn)題(端點(diǎn)效應(yīng))

1、函數(shù)恒成立專題01:可求最值型基礎(chǔ)知識(shí)：(1)不等式f(X)_0在定義域內(nèi)恒成立，等價(jià)于f Xmin _0 ；(2)不等式f(X)<0在定義域內(nèi)恒成立，等價(jià)于f Xmax遼0?！纠?】【重慶文】若對(duì)任意的x . 0， f(x)=12x4ln x-3x4-c弐2c2恒成立，求c的取值范圍。【例2】函數(shù)f (x) =(x 1)ln(x 1) -kx 1在區(qū)間(-1, ：)上恒有f(x) . 0，求k可以取到的最大整數(shù)?！咀兪?】函數(shù)f (x) = -2x24x, g(x alnx(a 0)，若f(x)遼4x-g(x)恒成立，求a的取值范圍?！咀兪?】【2012新課標(biāo)文】設(shè)函數(shù)f x二ex -

2、ax-2I求f (x)的單調(diào)區(qū)間；II若a =1，k為整數(shù)，且當(dāng)x 0時(shí)，(k)f (x) x 10，求k的最大值?！咀兪?】【2012新課標(biāo)理】已知函數(shù)f (x)滿足f(x f (1)exJ - f (0)x -x22I求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；1I 若 f (X)?X2 ax b，求(a 1)b 的值。專題02:分離變量型基礎(chǔ)知識(shí)：分離變量的核心思想就是為了簡(jiǎn)化解題，希望同學(xué)通過(guò)以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函數(shù)f(x) =x2 1，對(duì)任意x 3, ： , f (°) - 4m2 f (x) _ f (x -1) 4 f (m)恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 卜2

3、m【變式1】【2010安徽】若不等式(a-a2)(x2 1)0對(duì)一切* 0,2】恒成立，求a的取值范圍?！纠?】若函數(shù)f(xx2 ax -在1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。x 2丿1【變式2】【2012湖北】若f (x)x2 bln(x 2)在(-1,=)上是減函數(shù)，求b的取值范圍 1【變式3】【2014江西】已知函數(shù)f(x)=(x2 bx b) .1-2x(b R)，若f (x)在區(qū)間(0,-)上單 3調(diào)遞增，求b的取值范圍。第10頁(yè)共2頁(yè)專題03:端點(diǎn)與一次函數(shù)、二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)：(1)研究發(fā)現(xiàn)，恒成立與區(qū)間的端點(diǎn)有很深的淵源。 首先來(lái)看一些恒成立的問(wèn)題, 通過(guò)這些常見(jiàn)的例子，我們要把函數(shù)恒

4、成立問(wèn)題與端點(diǎn)之間的這一層面紗一點(diǎn)一 點(diǎn)揭開(kāi)。(2) 次函數(shù)的恒成立很簡(jiǎn)單，如果一個(gè)問(wèn)題能轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)恒成立問(wèn)題，那 就要盡量轉(zhuǎn)化?！纠?】【2009北京】若f(x) =xex(k=0)在(-1,1)上單調(diào)遞增，求k的取值范圍引申：我們的習(xí)慣思維都是默認(rèn)字母x為函數(shù)的自變量，而像a, m,t這樣的字母代表參數(shù),但其實(shí)x,a,m,t這樣的字母只是一個(gè)代號(hào)而已，是人為賦予了其身份，這意味著自 變量和參數(shù)的身份并非絕對(duì)，若題目需要求解參數(shù)的取值范圍，在此需要牢記一 點(diǎn)：將待求的變量視為參數(shù)，不要受慣性思維的限制而非要將x視為函數(shù)的自變(3)對(duì)于一次函數(shù)或任何單調(diào)函數(shù)而言，最值必在端點(diǎn)處取得。若函數(shù)

5、不單調(diào)，那情形又如何呢？設(shè)f (x)二ax2 bx c(a . 0) 在:-，上不單調(diào)且恒大于零，那么f(x)在:,b上遞減，在- b上遞增，故f(x)的最大值也必然在端點(diǎn)處 -2a.IL 2a取得。所以對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)f (x)而言，若他在區(qū)間上是先減后增，則其最大值必在端點(diǎn)處取得，同理，若函數(shù)在區(qū)間上先增后減，其最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取 得，具體表達(dá)如下： f (x) =ax2+bx+c(a >0)在k1, x2】上非正，等價(jià)于丿"")-0,J(xJ<0； f (x) =ax2+bx+c(a vO)在 k1, x2 吐非負(fù)，等價(jià)于"“)-°

6、，J(xJ>0;【例1】已知函數(shù)f(x) =x3 ax2 bx c在區(qū)間-1,0上單調(diào)遞減，則a2 b2的取值范圍是4【例2】函數(shù)f (x) =-x3-mx2-3m2x+1在區(qū)間(1,2 )上單調(diào)遞增，貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是3第10頁(yè)共4頁(yè)專題04:端點(diǎn)效應(yīng)基礎(chǔ)知識(shí)：從前面的例子可以看出，將函數(shù)恒正(恒負(fù))等價(jià)于在區(qū)間端點(diǎn)處恒正(恒負(fù)) 即可。但那只是針對(duì)一小部分題，對(duì)于大多數(shù)情況來(lái)說(shuō)這是不對(duì)的，但這不意味 著端點(diǎn)就沒(méi)有任何作用了?！纠?】已知函數(shù)f (x) =x3 3(a 1)x? _6ax，當(dāng)a 。時(shí)，若函數(shù)彳住)在區(qū)間1,21上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.【例2】【2008江蘇】設(shè)

7、函數(shù)f (x)二ax3-3x 1，若對(duì)于x 1-1,1總有f(x)_0恒成立，則a說(shuō)明：在例1和例2中，都是事先考慮函數(shù)在端點(diǎn)的情形，雖然通過(guò)端點(diǎn)不能得到最終結(jié)果， 但例1通過(guò)端點(diǎn)可以不必考慮單增情形，例 2通過(guò)端點(diǎn)可以縮小a的范圍，我們 把這種通過(guò)端點(diǎn)來(lái)縮小參數(shù)取值范圍的方法稱為“端點(diǎn)效應(yīng)”。函數(shù)在端點(diǎn)處的取值有以下三種情形：(1) f(x)在區(qū)間a,b 的端點(diǎn)a和b處均有定義且f(a)"0,(b)P(2) f(x)在區(qū)間a,b的端點(diǎn)a或b處無(wú)定義或區(qū)間是無(wú)限區(qū)間 a, =，-：，b ；(3) f (x)在區(qū)間a,b的端點(diǎn)a或b處有f(a)=0或f(b) =0。一、端點(diǎn)處的取值有意

8、義且不為 0【例1】【2008天津】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x) = x2，若對(duì)任意的x t,t 2 1，不等式f(x，t)2f(x)恒成立，則t的取值范圍是()A. 2,：B. 2,C. 0,21D. 1- 2,-J 1- 2,-【例2】若f (x) =ax2 一(3_a)x+2_a>0在0,1上恒成立，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是【變式1】【2013全國(guó)卷】已知函數(shù)f (x x3 3ax2 3x 1,當(dāng)x 2,壯=；時(shí),f (x) _ 0 ,求a 的取值范圍?！咀兪?】【2012江西】已知函數(shù)f (x) = lax2(a 1)x 1 ex在0,1上單調(diào)遞減，求a的取

9、值范 圍?！咀兪?】【2010天津】已知函數(shù)f(xax3x2 1,a 0，若在區(qū)間-丄上f(x) 0恒 2 1 2 2成立，求a的取值范圍。二、端點(diǎn)處的取值沒(méi)有意義且趨于無(wú)窮f(x)=lnx的定義域是0,=，且當(dāng)x趨于0時(shí)，f(x)=lnx趨于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)x趨于：時(shí)，f (x) = In x趨于正無(wú)窮，為了后面方便表述，記f (0) = -：，f ( ：)二:：。然后不管函數(shù)f (x)在區(qū)間的端點(diǎn)a處有沒(méi)有意義，也不管a是否為無(wú)窮，我們均記f (a)為當(dāng)x趨于a時(shí)f(x)的值。這樣的記法為了后面的敘述。1【例1】【2012新課標(biāo)】當(dāng)0：x乞1時(shí)，4x：logax，則a的取值范圍是()2A. 0,

10、12b/,1)C.(1,晁)D.G/2,2)I 2丿I2丿【例2】函數(shù)f (x)二a In x x2 -(1 a)x(x 0)，若f (x)丄0對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立，求實(shí)數(shù) 2a的取值范圍?！纠?】【2012天津】函數(shù)f (x) = x-1, x ，f (mx) mf (x) ： 0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取x值范圍是.【例4】【2013新課標(biāo)】設(shè)函數(shù)f(xx2 4x 2,g(x2ex(x 1)，若x 一-2時(shí)，f(x)乞kg(x)， 求k的取值范圍。【例5】【2009江西】已知函數(shù)f (x) = 2mx2 一2(4 一 m)x 1, g(x)二mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x ,f (x)與g(x)的值至

11、少有一個(gè)為正，則 m的取值范圍是.【變式1】不等式loga(x2 -2x 3B -1(2)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()C. 1,31【變式2】【2011北京】設(shè)函數(shù)f(x) =(x-k)2ek，若對(duì)于任意的0,=,都有f(x) J，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。【變式3】【2014江蘇】已知函數(shù)f(x)二，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于x的不等 式mf(x)乞e»，mT在0：上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！咀兪?4】【2012 北京文】已知 f (x) = m(x-2m)(x m 3), g(x) = 2x - 2，若-x R, f(x) ： 0 或g(x) v0，則m的取值范圍是.【變式

12、5】【2012北京理】已知f (x) = m(x-2m)(x m 3), g(x) = 2x-2，若同時(shí)滿足(1)Vxr, f(x)c0 或 g(x)£0 ； ( 2) 2x(-°°,-4)f(x)g(x)c0，則 m 的取值范圍是.、端點(diǎn)處的取值為0(1) 若多項(xiàng)式函數(shù)f(x)滿足f(a)=O,則f(x) 定可以分解成f (x) =(x a)g(x)這種形 式，其中g(shù)(x)也為多項(xiàng)式函數(shù)?！纠?】【2009全國(guó)卷】已知f (x) = 3ax4 2(3a 1)x2 4x在-1,1上是增函數(shù)，求a的取值范 圍。【例2】【2012浙江理】設(shè)aR，若x>0時(shí)均有

13、屁-1)x-l(x2 - ax-1)色0，則a=.1【例3】【2009天津】已知f(x)-x3 x2 (m2 -1)x,m 0, f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)根，分 3別為0,xX2(X1 ： X2)若對(duì)任意的x X1,X2 f (x) f(1)恒成立，求m的取值范圍【變式1】【2008全國(guó)卷】設(shè)函數(shù)f(x)二ax3 -3x2，若g(x)二f (x) f (x)(0乞x乞2)在x=0處 取得最大值，求a的取值范圍。【變式2】【2011湖北】已知x3-3x22x=mx有三個(gè)不同的實(shí)根，分別為0,為,乂2(為：X?)， 且對(duì)任意的X1, X21， x3-3x2 2x ： m(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù)m

14、的取值范圍。注意：若多項(xiàng)式函數(shù)有明顯的根，分解因式能夠?qū)⒑瘮?shù)降次，特別是形如f (x ax3 bx2 cx的多項(xiàng)式函數(shù)，是高考中的常見(jiàn)情形，它可以分解成f (x) =x(ax2 bx c)，需掌握此多項(xiàng)式。(2) 若高考試題中出現(xiàn)的恒成立問(wèn)題中的函數(shù)不是多項(xiàng)式，這些函數(shù)雖然在端點(diǎn)處的值為零,但不能將它們分解，對(duì)此需用以下知識(shí)點(diǎn)： f(x) _0在 a,b 1 上恒成立，若 f (a) =0，則 f (a) _0 ;若 f (b) = 0，則 f (b)乞 0 f (x)空0在a,b 1上恒成立，若f (a) = 0，則f (a)豈0 ;若f (b) = 0，則f (b 0特別提醒：這里的結(jié)論只

15、是必要條件，不一定是充分條件?！纠?】【2007全國(guó)I理】已知函數(shù)f(x)二ex-eI證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x) _2 ;II若對(duì)所有x _0都有f (x) 一 ax，求a的取值范圍【例2】【2008全國(guó)I文】已知函數(shù)f(x) =x-1)-ax21I若a =-，求f (x)的單調(diào)區(qū)間;2I若x_0時(shí)，f(x) _0，求a的取值范圍【例3】【2008全國(guó)I理】已知函數(shù)f (x)=sin x2 cosxI求f (x)的單調(diào)區(qū)間;I如果對(duì)任何x_0時(shí)，都有f(x)乞ax，求a的取值范圍【例4】【2010新課標(biāo)理】已知函數(shù)f (x)二ex-1-X-ax2I若a =0，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；I若x

16、_0時(shí)，f(x)_0，求a的取值范圍?！纠?】【2013全國(guó)理】已知函數(shù)f(x)=ln(1 x)-x(1x)1 +xI若x 一0時(shí)，f(x)乞0，求的最小值；I設(shè)數(shù)列a f的通項(xiàng)an =1 1 11，證明：a2n -an 丄 ln 223 n4n【例6】【2014全國(guó)U理】已知函數(shù)f(x)二ex -2x.I討論f (x)的單調(diào)性；U 設(shè) g(x)二 f (2x) _4bf (x)，當(dāng) x 0 時(shí)，g(x) 0，求 b 的最大值; 川已知1.4142 ： .2 ： 1.4143,估計(jì)In2的近似值(精確到0.001).【例7】【2012大綱理】設(shè)函數(shù)f (x) =ax - cosx,x：= 0,.I討論f (x)的單調(diào)性；U設(shè)f(x)乞1si nx,求a的取值范圍。總結(jié)：對(duì)于無(wú)法求最值的恒成立問(wèn)題，解題的基本步驟如下(1) 首先由端點(diǎn)效應(yīng)初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個(gè)范圍是必要的;(2) 然后利用這個(gè)范圍去判斷導(dǎo)數(shù)是否恒正或恒負(fù)；(3) 如果導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，則由端點(diǎn)得到的范圍就是最終答案，如果導(dǎo)數(shù)變號(hào)，則去判斷函數(shù)的增減性(若函數(shù)先增后減，則最小值在端點(diǎn)處取得，若函數(shù)先減后增, 則最大值在端點(diǎn)處取得)。第10頁(yè)共10頁(yè)量，這個(gè)方法稱為“變換主元法”。【例2】【2009福建】已知函數(shù)