初中幾何常見(jiàn)輔助線作法口訣及習(xí)題大全

1、人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添 ?把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。 三角形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 四邊形 平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。 梯形里面作高線，平移一腰試試看。 平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。 證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。 直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面

2、作高線，比例中項(xiàng)一大片。作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那 么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn) 作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。 二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。 如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度,得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相 等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn) 一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線

3、的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心，因題而異，有時(shí)沒(méi) 有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四：造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角 形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段 進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)。”托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分 別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中岀現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往 是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中岀現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或 相離（內(nèi)含、

4、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如 果條件中岀現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使岀現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑， 半徑，那么輔助線是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三 角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓 周角一一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧， 則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔 助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，

5、距離和所夾的弦都可 視為輔助線，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相 聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中岀現(xiàn)線段的平方、乘 積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊 形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做 法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄Ｈ切螆D中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向

6、兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。 線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，倍長(zhǎng)中線得全等。四邊形平行四邊形岀現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿摹?平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作岀高。如果岀現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。 上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑聯(lián)。 切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。 是直徑，成半圓，想

7、成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。 圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。 要想作個(gè)外接圓，各邊作岀中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。 若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。由角平分線想到的輔助線、截取構(gòu)全等如圖，AB/CD, BE平分/ ABC CE平分/ BCD點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD分析：在此題中可在長(zhǎng)線段 BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證明的目的。這里面用到 了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延

8、長(zhǎng) BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。二、角分線上點(diǎn)向兩邊作垂線構(gòu)全等如圖，已知 AB>AD, / BACK FAC,CD=B。求證：/ ADC# B=180分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/B之和為平角三、三線合一構(gòu)造等腰三角形如圖，AB=AC # BAC=90, AD為/ABC的平分線，CEL BE.求證：BD=2CE分析：延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全等。四、角平分線+平行線如圖，AB>AC, / 仁/ 2,求證：AB AC>BD- CD分析：AB上取E使AC=AE通過(guò)全等和組成三角形邊邊邊的關(guān)系可證。 由線段和差想到

9、的輔助線截長(zhǎng)補(bǔ)短法AC平分/ BAD CEL AB 且/ B+Z D=180，求證： AE=AD+BE分析：過(guò)C點(diǎn)作AD垂線，得到全等即可。由中點(diǎn)想到的輔助線一、中線把三角形面積等分如圖， ABC中, AD是中線，延長(zhǎng) AD到E,使DE=AD DF是 DCE的中線。已知 為2,求： CDF的面積。 ABC的面積分析：利用中線分等底和同高得面積關(guān)系、中點(diǎn)聯(lián)中點(diǎn)得中位線如圖，在四邊形 ABCD中，AB=CD E、F分別是BC AD的中點(diǎn)，BA CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延 長(zhǎng)線G H。求證：/ BGEh CHE分析：聯(lián)BD取中點(diǎn)聯(lián)接聯(lián)接,通過(guò)中位線得平行傳遞角度。三、倍長(zhǎng)中線如圖，已知 ABC中，A

10、B=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長(zhǎng)A分析：倍長(zhǎng)中線得到全等易得。四、RTA斜邊中線如圖，已知梯形 ABCD中, AB/DC，ACL BC ADL BD，求證：AC=BD分析：取AB中點(diǎn)得RTA斜邊中線得到等量關(guān)系由全等三角形想到的輔助線、倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)得線段已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3貝忡線AD的取值范圍是分析：利用倍長(zhǎng)中線做。二、截長(zhǎng)補(bǔ)短如圖，在四邊形 ABCD中, BC> BA,AD= CD, BD平分，求證：/ A+Z C=180分析：在角上截取相同的線段得到全等。三、平移變換如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D E,且BD=CE求證：AB+AC>AD+A

11、E分析：將厶ACE平移使EC與BD重合四、旋轉(zhuǎn)正方形ABCD中, E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF求Z EAF的度數(shù)分析：將厶ADF旋轉(zhuǎn)使AD與AB重合。全等得證。由梯形想到的輔助線一、平移一腰所示，在直角梯形 ABCD中，/ A= 90°, AB/ DC AD= 15, AB= 16 , BC= 17.求 CD的長(zhǎng)D C分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四邊形。二、平移兩腰如圖，在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B+Z C=90 , AD=1, BC=3 E、F 分別是 AD BC的中點(diǎn)，連 接EF,求EF的長(zhǎng)。分析：利用平移兩腰把梯形底角放在一個(gè)三

12、角形內(nèi)三、平移對(duì)角線已知：梯形 ABCD中, AD/BC, AD=1 BC=4, BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面積分析：通過(guò)平移梯形一對(duì)角線構(gòu)造直角三角形求解。四、作雙高在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD求證：BD>AC分析：作梯形雙高利用勾股定理和三角形邊邊邊的關(guān)系可得。五、作中位線(1) 如圖，在梯形 ABCD中, AD/BC，E、F分別是BD AC的中點(diǎn)，求證：EF/AD分析：聯(lián)DF并延長(zhǎng)，利用全等即得中位線。(2) 在梯形 ABCD中, AD/ BC / BAD=90，E是 DC上的中點(diǎn)，連接 AE和 BE 求/ AEB=N CBEF C B分析：在梯形中岀

13、現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造岀兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的1 已知：如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別在AD、DC上，且DE = DF , BM丄EF于M 求證:ME = MF 2 如圖，正方形 ABCD E是BC上的一點(diǎn)，延長(zhǎng) AB至F使BE=BF延長(zhǎng)AE交CF于G 求證：C肚AGF3 如圖，ABCD BEFG都是正方形，A、BE在一條直線上，連結(jié) A G,且延長(zhǎng)交CE的連線為H,求證：CEAH4. 如圖，某同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決：(1) 如圖b正方形ABCD中，作交于E, DF丄交43于F,求證：AE = DF :(2) 如圖2,正方形ABCD中，點(diǎn)E, F分別在AD. BC匕 點(diǎn)G, H分別在/爲(wèi)CD ±,且 EF丄GH ,求EF :GH的值；(3) 如圖3,矩形ABCD中，