分類討論思想在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用52784

1、 數(shù)學(xué)解題中的思考 -分類討論思想的應(yīng)用【摘要】解數(shù)學(xué)問題往往可以有眾多的思想方法，如轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)形結(jié)合，分類討論，數(shù)學(xué)建模等等，而在這些思想方法中分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程經(jīng)常會(huì)遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類等等，在研究數(shù)學(xué)問題中常常需要通過分類討論解決問題，本文從滲透在教材中的分類思想出發(fā)，結(jié)合例題闡述了分類討論的思想，分類的原則，分類討論的應(yīng)用，從而體現(xiàn)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位?！娟P(guān)鍵詞】分類討論的思想 分類的原則 分類討論的應(yīng)用數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘課本中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

2、，如何有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一項(xiàng)重要課題。在新課程中，分類思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩的，在整個(gè)初中階段很多問題都用了分類的思想，將不同的事物分為不同的種類，尋找它們各自的共同點(diǎn)及內(nèi)在的規(guī)律性。一 分類討論的思想 所謂分類討論就是分別歸類再進(jìn)行討論的意思，數(shù)學(xué)中的分類過程就是對(duì)事物共性的抽象過程，解題時(shí)要使學(xué)生體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過程如何認(rèn)識(shí)事物的屬性，如何區(qū)分不同事物的不同屬性，通過多次反復(fù)的思考和長時(shí)間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想，它體現(xiàn)了化整為零，化零為整與歸類整

3、理的思想，它:揭示著數(shù)學(xué)事物之間的內(nèi)在規(guī)律，學(xué)會(huì)分類有助于學(xué)生總結(jié)歸納所學(xué)的知識(shí)，使所學(xué)的知識(shí)條理化，提高思維的概括性，從而提高分析問題和解決問題的能力。我們?cè)谶\(yùn)用分類討論的思想解決問題時(shí)，首先要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素，進(jìn)行討論時(shí)要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類只能按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來分，不能重復(fù)也不能遺漏，另外還要逐一認(rèn)真解答。我們平時(shí)在解決問題時(shí)還經(jīng)常碰到這樣的情況，當(dāng)問題解答到某一步驟后，需要按一定的標(biāo)準(zhǔn)來分為若干個(gè)子問題進(jìn)行討論，這樣常?？梢允箚栴}化繁為簡，更清楚地暴露事物的屬性。案例1：某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶。西裝每套定價(jià)200元，領(lǐng)帶每條定價(jià)40元，廠方在開展促銷活動(dòng)期間向

4、顧客提供兩種優(yōu)惠方案。方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶，方案二：西裝領(lǐng)帶均按定價(jià)打9折（兩種優(yōu)惠方案不可同時(shí)采用）某店老板要去廠里購買20套西裝和若干條領(lǐng)帶（超過20條）請(qǐng)幫店老板選擇一種較省錢的購買方案？分析：因?yàn)橐阎獥l件中未明確購買領(lǐng)帶的數(shù)量，因而較省錢的購買方案也是不確定的，而是由不同的領(lǐng)帶購買數(shù)量決定的解：設(shè)店老板需購買領(lǐng)帶x條方案一購買需要付款200×20（x20）×4040x3200 （元）方案二購買需要付款（200×2040x）×0.936x3600 （元）假設(shè) y(40x3200) (36x3600) 4x400 （元）（1） 當(dāng)y0時(shí),即2

5、0x100,方案一比方案二省錢（2） 當(dāng)y0時(shí),即x100, 方案一和方案二同樣省錢（3） 當(dāng)y0時(shí),即x100, 方案二比方案一省錢 答：當(dāng)購買領(lǐng)帶超過20條而不到100條時(shí)，方案一省錢，當(dāng)購買領(lǐng)帶等于100條時(shí)，兩種方案一樣省錢，當(dāng)購買領(lǐng)帶超過100條時(shí)，方案二省錢 二 分類的原則 分類討論必須遵循一定的原則進(jìn)行，在初中階段我們經(jīng)常用到以下幾個(gè)原則1. 同一性原則 分類應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類依據(jù)，否則會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的現(xiàn)象，例如有些同學(xué)認(rèn)為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類是錯(cuò)誤的，不但以邊來分類而且以角來分類

6、，等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類犯了標(biāo)準(zhǔn)不同的錯(cuò)誤2. 互斥性原則分類后的每一個(gè)子類應(yīng)該具備互不相容的原則，即不能出現(xiàn)有一項(xiàng)既屬于這一類又屬于那一類。例如學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，規(guī)定每個(gè)學(xué)生只能參加一項(xiàng)比賽，初一六班的6名同學(xué)報(bào)名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目分類的互斥性原則3. 完整性原則分類后的每一個(gè)子類合并起來應(yīng)該等于總類，否則會(huì)出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象。例如某人把實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)，這樣的分類是不完整的，因?yàn)榱阋彩菍?shí)數(shù)，但是零既不是正實(shí)數(shù)也不是負(fù)實(shí)數(shù)。4.多層性原則分

7、類后的子類還可以繼續(xù)再進(jìn)一步分類，直到不能再分為止。例如實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)可以分為正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)三 分類討論的應(yīng)用我們用分類討論的思想解決問題的一般步驟是：（1） 先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍（2） 正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類（3） 逐類討論解決（4） 歸納并作出結(jié)論下面淺談一下分類討論在初中階段的一些簡單的應(yīng)用：1. 分類討論在應(yīng)用題中的應(yīng)用案例2：學(xué)校建花壇余下24米漂亮的小圍欄，經(jīng)總務(wù)部門同意，初一五班的同學(xué)準(zhǔn)備在自己教室后的空地上建一個(gè)一面靠墻，三面利用這些圍欄的花圃，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一下，使花圃的長比寬多3米，求出花圃的面積是多少

8、？分析：因?yàn)橐阎獥l件中并沒有明確長和寬的位置,所以需要對(duì)長和寬的位置進(jìn)行討論解：(1)假設(shè)平行于墻的一邊為長x米，則寬為(x3)米，依題意可列方程x2(x3)=24解方程得x10 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意 長為10米，寬為7米，面積為70平方米 （2）假設(shè)垂直于墻的一邊為長x米，則寬為(x3)米，依題意可列方程2x (x3)=24解方程得x9 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意 長為9米，寬為6米，面積為54平方米答：當(dāng)平行于墻的一邊為花圃的長時(shí)花圃的面積是70平方米，當(dāng)垂直于墻的一邊為花圃的長時(shí)花圃的面積是54平方米。學(xué)生在解此類題的錯(cuò)誤往往是因?yàn)椴徽J(rèn)真審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況而急于解題所造成，只有審清

9、了題意，全面系統(tǒng)地考慮問題，才可以確定出各種可能情況，解答此類問題就不會(huì)造成漏解2. 分類討論在絕對(duì)值方程中的應(yīng)用關(guān)于絕對(duì)值的問題，往往要將絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體分為正數(shù)，負(fù)數(shù)，零三種，再分別進(jìn)行討論。案例3：求方程 x23x 5的解分析：本題應(yīng)該對(duì)于代數(shù)式 x2應(yīng)分為x2,x2,x2，對(duì)于3x應(yīng)分為x3,x3,x3，把上述范圍畫在數(shù)軸上可見對(duì)這一問題應(yīng)劃分以下三種情況分別討論解：當(dāng)x2時(shí)，原方程變?yōu)閤23x5，解得x0與x2產(chǎn)生矛盾，故在x2時(shí)原方程無解 當(dāng)2x3時(shí)，原方程為x23x5恒成立，故滿足2x3的一切實(shí)數(shù)x都是此方程的解 當(dāng)x3時(shí)，原方程為x23x5，解得x3

10、這與x3產(chǎn)生了矛盾，故在x3時(shí)原方程無解 綜上所述，原方程的解是滿足2x3的一切實(shí)數(shù)。3分類討論在解含有參數(shù)問題中的應(yīng)用所有含有參數(shù)的問題都要進(jìn)行分類討論，而且要對(duì)參數(shù)的不同取值范圍分類討論，不能有重復(fù)和遺漏。案例4：若關(guān)于x的分式方程無解，求a的值解：方程兩邊同乘以xx1，得xax3x1xx1 整理得a2x3當(dāng)a20即 a2時(shí)，方程無解，則原方程也無解當(dāng)x1時(shí)方程無解，此時(shí)a23，得a1當(dāng)x0時(shí)方程無解，此時(shí)a2×03無解綜上所述，a的值為1或24分類討論在解幾何題中的應(yīng)用分類討論思想在幾何題中有廣泛的應(yīng)用，在有關(guān)點(diǎn)與線的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的

11、位置關(guān)系，等腰三角形等的題目中都需要進(jìn)行分類討論。案例5：等腰三角形中，有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，求等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)？分析：本題應(yīng)該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進(jìn)行討論解：（1）當(dāng)一個(gè)底角的度數(shù)為x度，頂角是4x度時(shí)依題意列方程xx4x180解得x30，底角等于30度（2）當(dāng)一個(gè)底角的度數(shù)為4x度，頂角是x度時(shí)依題意列方程4x4xx180解得x20，底角等于80度綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。5分類討論在解概率題中的應(yīng)用在求簡單事件的概率時(shí)，我們通常會(huì)用“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法來列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，然后找出該事件所包含的結(jié)果，從而求出該事

12、件發(fā)生的概率。事實(shí)上“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法就是分類討論的思想方法最直接的體現(xiàn)。案例6：同時(shí)拋擲3枚普通的硬幣一次，問得到“兩正一反”的概率是多少分析：每一個(gè)硬幣都有正面和反面，我們可以用畫樹狀圖的方法分析先拋第一枚，再拋第二枚，最后拋第三枚，可知共有8種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果它們是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中兩正一反的結(jié)果有3種，可以求得概率是八分之三。6分類討論在解函數(shù)題中的應(yīng)用分類討論的思想方法貫穿于初中階段學(xué)過的所有的函數(shù)中，一次函數(shù)ykxbk0要對(duì)k，b取值范圍進(jìn)行分類討論，反比例y=k0函數(shù)要對(duì)k的取值范圍進(jìn)行分類討論，二次

13、函數(shù)yaxbxca0要對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論案例7：求二次函數(shù)yax3ax1a0與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo)解：當(dāng)a0時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)y3x1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）當(dāng)a0時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)，因二次函數(shù)與x軸只能有一個(gè)交點(diǎn)則判別式為零 3a）4a 0 解得a1或a9當(dāng)a1時(shí),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）當(dāng)a9時(shí),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）【結(jié)語】分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到初中的全部知識(shí)點(diǎn)，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關(guān)鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標(biāo)準(zhǔn)，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準(zhǔn)確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結(jié)論綜合歸納，得出