多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用II

1、四 應(yīng)用1 幾何應(yīng)用例42（大連理工）求曲線上與平面平行的切線方程。解 曲線上任意一點切線的切向量為，平面的法向量為，由題設(shè)得，解之得，或。當(dāng)時，切點為，切向量為，所以切線方程為。當(dāng)時，切點為，切向量為，所以切線方程為，即。例43（北京科技大學(xué)2001）求曲線在點處的切線與法平面方程。解 記，則，同理可得，因此，曲線在點的切線方程和法平面方程分別為和。思考題12（北京科技大學(xué)1999）求曲線在點處的切線與法平面方程。10 / 12思考題13（四川大學(xué)2000）求曲面在點處的切平面方程。例44（武漢水利電力學(xué)院）已知平面與橢球面相切，證明：。證 設(shè)已知平面與橢球面的切點為，則過該點的切平面方程為

2、，即，這樣它與表示同一個平面，因此有，且，又，從而有。例45（浙江理工大學(xué)，東北師范大學(xué)）證明：若函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則曲面：上任一點的切平面都平行于直線：。證 曲面上任一點的法向量為，直線的切向量為，于是，此說明曲面上任一點處的切平面都平行于直線。例46（長沙鐵道學(xué)院）求過直線與曲面相切的切平面方程。解 過直線的平面方程為，其法向量為。設(shè)曲面上的切點為，則該點的切平面法向量為，于是有解之得，或 ，故所求的切平面方程為，或 。2 函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)最值問題較一元函數(shù)復(fù)雜，難點在于邊界曲線上極值的計算。例47（中國人民大學(xué)2000）證明：函數(shù)有無窮多個極大值，但無極小值證 ，令得穩(wěn)定點，當(dāng)

3、為偶數(shù)時，故在上取極大值，當(dāng)為奇數(shù)時此處無極值，故為無窮多個極大值無極小值例48（北京科技大學(xué)2001）求函數(shù)在：上的最大值和最小值。解 ，令其為零得，點，故在上的最大最小值只能在的邊界上取到。于是問題轉(zhuǎn)化為：求在條件下的最大最小值。構(gòu)造Lagrange乘法函數(shù)，求的所有偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零得解之得 或 ，代入得。思考題14（北京科技大學(xué)1998）求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和最小值。例49（華中師大2001）設(shè)在有界閉區(qū)域上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且。 （1）證明：的最大值和最小值只能在的邊界上取得。證 由于在有界閉區(qū)域上連續(xù)，故必存在最大最小值，因此只需證：內(nèi)任意點不可能是極值點，由二元函數(shù)極值的

4、充分條件知，只需證：在內(nèi)恒有。事實上，由已知條件（1）得。思考題15（西北工業(yè)大學(xué)）在平面上求一點，使它與個定點的距離之平方和最小。3 條件極值條件極值問題有時可轉(zhuǎn)化為無條件極值來計算，但有時這種轉(zhuǎn)化很繁，或不可能，因此必須使用Lagrange乘數(shù)法。此時的最大困難是方程組的求解和極值的判別。當(dāng)方程組的解唯一時，往往可根據(jù)實際意義去判斷；有時這種判別是十分困難的，需要較高的技巧；當(dāng)求最值時，而根據(jù)實際意義最值一定存在，這時可直接計算其值，然后比較大小即可。例50（廈門大學(xué)）求函數(shù)在條件下的極值該極值是極大值還是極小值？為什么？ 解 令，則，解之得四組解：，在這些點上，又在上，且當(dāng)，即時取等號，

5、四組解均為極小值例51（清華大學(xué)2000）求函數(shù)在條件下的最大值和最小值。解 Lagrange乘法函數(shù)為，求的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零得：由第一和第三個方程得，或。因此，當(dāng)時，解為 或 或 。當(dāng)時，若，則解為，或 或 或 ，當(dāng)時，解為 或 又為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，所以最大最小值一定存在，因此，當(dāng)時，其邊界上函數(shù)值為零，從而最大值為，最小值為；當(dāng)時，其最大值與最小值仍然是與，因此，所求的最大最小值與。例52（武漢大學(xué)2000）求函數(shù)在下的最小值。解 令，則，令得唯一解顯然有最小值，而穩(wěn)定點唯一，故該點即為最小值點，因此最小值為。例53（復(fù)旦大學(xué)1999）已知，其中。求在條件下的最小值。解 La

6、grange乘法函數(shù)為，求的所有一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零得解之得顯然存在最小值，而穩(wěn)定點唯一，故該點即為最小值點，因此最小值為。或 把條件看作隱函數(shù)，而目標(biāo)函數(shù)看作是與的復(fù)合，記為，因此可用二元函數(shù)極值充分條件來判斷。事實上，所以，穩(wěn)定點為極小值點，顯然沒有最大值，故該點必為最小值點，其余同上。例54（中國科學(xué)院2001）設(shè)是由橢球面的切平面和三個坐標(biāo)平面所圍成的區(qū)域的體積，求的最小值。解 橢球面上任一點的法向量為，因此過該點的切平面方程為，即，它與三個坐標(biāo)軸的交點分別為，因此，切平面與坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積為，于是問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)在條件下的最大值。為此，構(gòu)造Lagrange乘法函數(shù)，

7、令其所有一階偏導(dǎo)數(shù)等于零得解之得把組解：，根據(jù)計算可知的最大值為，由此可得。思考題16（北京航空航天大學(xué)2000）在曲面上求點，且，使該點的切平面與三個坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積最小。思考題17（合肥工業(yè)大學(xué)）試證：曲面上任一點處的切平面與三坐標(biāo)軸所圍成的立體的體積為定植。思考題18（復(fù)旦大學(xué)1999）在曲面上求一點，使過該點的切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距平方和最小。思考題19（華東理工大學(xué)）證明：曲面上任一點的切平面在坐標(biāo)軸上的截距之和為定值。思考題20（中國科技大學(xué)）在橢球的內(nèi)接長方體中，求體積最大的一個。提示：根據(jù)對稱性，秩序考慮長方體在第一象限部分的體積即可。4 不等式的證明例55（武漢

8、大學(xué)）證明：，時，有。證 ，則當(dāng)時，令得即的最值只能在上取得，且 （1）又，單調(diào)下降；，單調(diào)上升；因此，在上取最小值，由（1）立得命題為真例56（廈門大學(xué)2002）證明不等式：。證 記，則在上連續(xù)可微，因此只需證：在上的最小值等于零即可。事實上，令得穩(wěn)定點為。因此，若在內(nèi)存在最小值，則最小值必落在曲線上，而，所以在內(nèi)。又在的邊界上，除外，均有，從而有。例57（吉林大學(xué)）求證：， 證 在區(qū)域邊界，及上均為，而其內(nèi)部有，故最大值在內(nèi)部達(dá)到，又；令，并注意，得，此表明最大值點就滿足上兩式，然而在上式所確定的點上，故，例58（清華大學(xué)）求，時，函數(shù)在球面上的極大值，并由此證明：當(dāng)為正實數(shù)時，有證 設(shè)，

9、令得，函數(shù)在球面位于第一卦限的部分上連續(xù)，而在其邊界上為負(fù)無窮大，因此的最大值只能在內(nèi)部達(dá)到，而是唯一的駐點，故為最大值點，最大值為于是，即此不等式與無關(guān)，從而它對一切，成立令，代入即得例59（山東理工大學(xué)）設(shè)有兩個正數(shù)之和為定植，求函數(shù)的極值，并證明：。證 設(shè)，即求函數(shù)在條件下的極值。設(shè)，令的所有一階偏導(dǎo)數(shù)等于零得解之得。把看成的函數(shù)，記，則由得，從而有，顯然，因此，是的唯一的極小值點，極小值為。又因為在線段上連續(xù)，因此最小值一定存在，而，故最小值，因此有，即。思考題21（華東師大1999）用條件極值證明不等式：提示：設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為求在條件下的最小值。5 距離問題例60（中山大學(xué)）求曲面上距

10、原點最近的點的坐標(biāo)。解 即求在條件下的最小值點。作Lagrange函數(shù)，令其所有偏導(dǎo)數(shù)等于零得解之得，根據(jù)實際意義最小值點一定存在，故點即為所求。例61（西北工大，華中科大）在直線位于第一象限的那一部分上求一點，使該點橫坐標(biāo)的余弦與縱坐標(biāo)的余弦的乘積最大，并求出此最大值。解 即求函數(shù)在條件下的最大值。此問題可轉(zhuǎn)化為求在條件下的最大值，顯然當(dāng)時，取最大值，最大值為。例62（華中科大2000）求直線與橢圓之間的最短距離。解 橢圓上任意一點到直線上的距離為，于是，該問題可轉(zhuǎn)化為：求在條件下的最小值。構(gòu)造Lagrange乘法函數(shù)，令其所有一階偏導(dǎo)數(shù)等于零得解之得， 或 ，根據(jù)實際意義，所求最小值一定存

11、在，代入計算可得最小值點為，故所求的最小值。例63（中國科學(xué)院2002）求兩曲面和的交線上距原點最近的點。解 交線上任意一點（）到原點的距離的平方為，由于點在交線上，必然滿足，從而有，于是問題轉(zhuǎn)化為求在條件和下的最小值。作Lagrange乘法函數(shù)，令其所有一階偏導(dǎo)數(shù)等于零得解之得，或 ，根據(jù)實際意義最小值一定存在，代入計算可得最小值為，相應(yīng)的最小值點為，此即為所求與原點最近的點。思考題22（北京航空航天大學(xué)2001）拋物面被平面所截成一橢圓，求原點至該橢圓的最近最遠(yuǎn)距離。思考題24（清華大學(xué)）利用導(dǎo)數(shù)證明：周長一定的三角形中以等邊三角形的面積最大。6 Tailor公式及其應(yīng)用例64（蘭州大學(xué)）寫出函數(shù)在點附近的Taylor公式（寫至二階項，余項形式可不具體寫出）。解 ，所以 ，