概率論第七章

1、 現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計推斷問題現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計推斷問題 參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù)來估計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù). 參數(shù)估計參數(shù)估計估計廢品率估計廢品率估計新生兒的體重估計新生兒的體重估計湖中魚數(shù)估計湖中魚數(shù) 估計降雨量估計降雨量 在參數(shù)估計問題中，假定總體分布在參數(shù)估計問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個或幾個形式已知，未知的僅僅是一個或幾個參數(shù)參數(shù).總體所服從的分布類型已知總體所服從的分布類型已知估計其未知的參數(shù)估計其未知的參數(shù)這類問題稱為這類問題稱為參數(shù)估計參數(shù)估

2、計.參數(shù)估計問題的一般提法參數(shù)估計問題的一般提法X1,X2,Xn要依據(jù)該樣本對參數(shù)要依據(jù)該樣本對參數(shù) 作出估計，或估計作出估計，或估計 的某個已知函數(shù)的某個已知函數(shù) .)( g現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本設(shè)有一個統(tǒng)計總體，總體的分布函數(shù)設(shè)有一個統(tǒng)計總體，總體的分布函數(shù)向量向量) . 為為 F(x, )，其中，其中 為未知參數(shù)為未知參數(shù) ( 可以是可以是 參數(shù)估計參數(shù)估計點估計點估計區(qū)間估計區(qū)間估計)1 . 0,(2 N（假定身高服從正態(tài)分布（假定身高服從正態(tài)分布 ） 設(shè)這設(shè)這5個數(shù)是個數(shù)是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估計估計 為為1.68，這是這是點估計

3、點估計.這是這是區(qū)間估計區(qū)間估計.估計估計 在區(qū)間在區(qū)間1.57, 1.84內(nèi)，內(nèi)，假如我們要估計某隊男生的平均身高假如我們要估計某隊男生的平均身高. 現(xiàn)從該總體選取容量為現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個數(shù)）求出個數(shù)）求出總體均值總體均值 的估計的估計. 而全部信息就由這而全部信息就由這5個個數(shù)組成數(shù)組成 . 一一.點估計點估計現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本X1,X2,Xn設(shè)總體設(shè)總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x; )，其中其中為未知參數(shù)為未知參數(shù) (可以是向量可以是向量) . 從樣本出發(fā)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)

4、計量從樣本出發(fā)構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量),(1nXXTT作為參數(shù)作為參數(shù) 的的估計量估計量，即點估計。，即點估計。),(1nxxT將將x1,xn 代入估計量，得到代入估計量，得到的的估計值估計值 點估計方法點估計方法矩法矩法最大似然法最大似然法1. 矩估計法矩估計法 其基本思想是其基本思想是用樣本矩估計總體矩用樣本矩估計總體矩 . 理論依據(jù)理論依據(jù): 它是基于一種簡單的它是基于一種簡單的“替換替換”思想建立起來的一種估計方法思想建立起來的一種估計方法 .是英國統(tǒng)計學(xué)家是英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜皮爾遜最早提出的最早提出的 .大數(shù)定律大數(shù)定律,)( XE我們知道我們知道, ,服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布,.),

5、(2vXrN的 由大數(shù)定律由大數(shù)定律, , 1|1|lim1 niinXnP自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個估計體重的一個估計. .22 估計S類似地，用樣本體重的方差類似地，用樣本體重的方差 . ., 估計X用樣本體重的均值用樣本體重的均值,11niiXnXniiXXnS122)(11樣本體重的平均值樣本體重的平均值二二.矩法矩法樣本樣本k階原點矩階原點矩nikikXnA11總體總體k階原點矩階原點矩)(kXE 基本思想是用樣本矩代替總體矩基本思想是用樣本矩代替總體矩 .樣本樣本k階中心矩階中心矩nikikXXnM1)(1總體總體k階中心

6、矩階中心矩kXEXE)( 2.矩法的步驟矩法的步驟 計算總體計算總體X的的 r 階原點矩階原點矩E(Xr)， (r=1,2,k);(2) 用樣本用樣本r階原點矩階原點矩 替換總體替換總體r階原點階原點 矩矩,列出方程組：列出方程組： ,1)(.,1)(,1)(11221nikkniniiiiXnXEXnXEXnXE設(shè)總體設(shè)總體X中有中有k個未知參數(shù)個未知參數(shù)1, 2, k (3) 解方程組，得解方程組，得 r=hr(X1, X2, Xn) (r=1,2,k);則以則以hr(X1, X2, Xn)作為作為r的估計量，并的估計量，并稱稱hr(X1, X2, Xn)為為r的的矩估計量矩估計量,而稱而

7、稱hr(x1, x2, xn)為為r的的矩估計值矩估計值。 例例1. 設(shè)總體設(shè)總體X的分布律如下，其中的分布律如下，其中為為 未知參數(shù)未知參數(shù),試求試求的矩估計量。的矩估計量。解：解：221232 (1)(1)XP22()12 2 (1)3 (1)32E X 11()32niiE XXXn32X 例例2. 設(shè)總體設(shè)總體XB(n,p)，其中，其中n已知。已知。 試求試求p的矩估計量。的矩估計量。解：解：E(X)=np.XXnnpXEnii11)(nXp 例例3. 設(shè)總體設(shè)總體XN(,2)，其中，其中,2是是 未知參數(shù)，試求未知參數(shù)，試求,2的矩估計量。的矩估計量。解：解：E(X)=, D(X)=

8、2.niiniiXnXEXXnXE1222211)(1)(212211)(11SnnXXnXnXniinii 例例4. 設(shè)總體設(shè)總體XUa,b，其中，其中a，b是是 未知參數(shù)。試求未知參數(shù)。試求a，b的矩估計量。的矩估計量。解：解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.2222121)(41)(121)()()(1)(21)(1baabXEXDXEXnbaXEXnniinii22) 1( 3) 1( 3snnXbsnnXa 例例5. 設(shè)總體設(shè)總體XE()，其中，其中0為未知參數(shù)為未知參數(shù), 試求試求的矩估計量。的矩估計量。解法一：解法一：XXE1)(X1解法二：解法二：ni

9、iXnXE122212)(niiXn122 例例6. 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度如下，其中的概率密度如下，其中0 為未知參數(shù)為未知參數(shù),試求試求的矩估計量。的矩估計量。解：解：1( ; )e,2xf xx 1()ed02xE Xxx2222011()eded22xxE Xxxxx22112niiXn2112niiXn 當(dāng)總體只含一個未知參數(shù)時，用方程當(dāng)總體只含一個未知參數(shù)時，用方程 XXE)(即可解出未知參數(shù)的矩估計量；即可解出未知參數(shù)的矩估計量；當(dāng)總體只含兩個未知參數(shù)時，用方程當(dāng)總體只含兩個未知參數(shù)時，用方程 組組 21)()(SnnXDXXE即可解出未知參數(shù)的矩估計量。即可解出未知參數(shù)的矩估

10、計量。 矩法的優(yōu)點是簡單易行矩法的優(yōu)點是簡單易行,并不需要并不需要事先知道總體是什么分布事先知道總體是什么分布 . 缺點是，當(dāng)總體類型已知時，沒有缺點是，當(dāng)總體類型已知時，沒有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息 . 三三.極大似然法極大似然法 是在總體類型已知條件下使用的一種是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法參數(shù)估計方法 . 它首先是由德國數(shù)學(xué)家它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 , GaussFisher然而，這個方法常歸功于然而，這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學(xué)家英國統(tǒng)計學(xué)家費歇費歇 . 費歇費歇在在1922年重新發(fā)現(xiàn)了年重新發(fā)現(xiàn)了 這一方法，并首先研

11、究了這這一方法，并首先研究了這 種方法的一些性質(zhì)種方法的一些性質(zhì) . 極大似然法的基本思想極大似然法的基本思想 先看一個簡單例子：先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過一只野兔從前方竄過 .是誰打中的呢？是誰打中的呢？某位同學(xué)與一位獵人一某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵起外出打獵 .如果要你推測，如果要你推測，你會如何想呢你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下 . 下面我們再看一個例子下面我們再看一個例子,進一步體會極進一步體會極大似然法的基本思想大似然法的基本思想 . 你就會想，只發(fā)一槍便打中你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率

12、概率一般大于這位同學(xué)命中的概率. 看來這看來這一槍是獵人射中的一槍是獵人射中的 . 這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想然法的基本思想 .例例7.設(shè)在一個箱子中裝有若干個白色和黃色乒乓球，已設(shè)在一個箱子中裝有若干個白色和黃色乒乓球，已 知兩種球的數(shù)目之比為知兩種球的數(shù)目之比為1:3，但不知是白球多還是黃，但不知是白球多還是黃 球多，現(xiàn)從中球多，現(xiàn)從中有放回有放回地任取地任取3個球，發(fā)現(xiàn)有個球，發(fā)現(xiàn)有2個白個白 球，問白球所占的比例是多少？球，問白球所占的比例是多少？ 解：白球所占比例解：白球所占比例p=1/4或或3/4. X:任取任取3個球中白球的

13、個數(shù)，個球中白球的個數(shù)，XB(3, p)1 (3)1 ()2(2223ppppCXP6427)2(,43649)2(,41XPpXPp時時所以所以白球所占的比例為白球所占的比例為3/4。 最大似然法最大似然法設(shè)總體設(shè)總體X的分布律或概率密度為的分布律或概率密度為f(x; ), =(1, 2, k)是未知參數(shù)，是未知參數(shù)， X1,X2, ,Xn是來自總體是來自總體X的樣本，則稱的樣本，則稱X1,X2, ,Xn的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)niinxfxxxL121);();,.,(為樣本的為樣本的似然函數(shù)似然函數(shù)，簡記為，簡記為L()。 求最大似然估計量的步驟：求最大似然估

14、計量的步驟：(1) 根據(jù)根據(jù)f(x; )，寫出似然函數(shù)，寫出似然函數(shù)niixfL1);()(2) 對似然函數(shù)取對數(shù)對似然函數(shù)取對數(shù)niixfL1);(ln)(ln(3) 寫出方程寫出方程(組組)0lnL若方程若方程(組組)有解有解，求出求出L()的最大值點的最大值點 ),.,(21nxxx。XXXn的最大似然估計量即為于是),.,(21解：似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為niixL11)( 11)( niinx) 10(ix對數(shù)似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為niixnL1ln) 1(ln)(ln ni 1例例8 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自總體是取自總體X的一個樣本的一個樣本其它, 010,)(1xxxfX

15、求求 的極大似然估計的極大似然估計. 其中其中 0,niixndLd1ln)(ln求導(dǎo)并令其為求導(dǎo)并令其為0=0從中解得從中解得niixn1*ln 即為即為 的的MLE . 對數(shù)似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為niixnL1ln) 1(ln)(ln 例例9.設(shè)總體設(shè)總體XB(m,p)，其中，其中m已知，已知，p0為為 未知參數(shù)未知參數(shù),試求樣本的似然函數(shù)試求樣本的似然函數(shù)L(p)。解：解：xmxxmppCxXPpxf)1 ()();(nixxmniiixmiippCpxfpL11)1 (),()(niixnmniiippCxnixm11)1 (1例例10. 設(shè)總體設(shè)總體XN(,2)，其中，其中,2是是

16、 未知參數(shù)。求未知參數(shù)。求,2的最大似然估計。的最大似然估計。解：解：)(21exp21),;(222iixxfniixL1222)(21exp21),(niixnnL12222)(21ln2)2ln(2),(ln)(21exp)()2(122222niinnxniiniinxnLnxL122222120)()(212ln01lnniiniixxnxxn1221)(11niiSnnXXnX12221)(1例例11.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量XB(1,p),p未知，試求未知，試求p 的最大似然估計量。如果的最大似然估計量。如果p表示某一批表示某一批 產(chǎn)品中的次品率，今從中隨機抽取產(chǎn)品中的次品率，今從中

17、隨機抽取85 件，發(fā)現(xiàn)次品件，發(fā)現(xiàn)次品10件，試估計這批產(chǎn)品的件，試估計這批產(chǎn)品的 次品率。次品率。 解：解：iixxiiippxXPpxf1)1 ()();(niixnniipppxxLpLx11)1 ();,.,()(851)1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii得令，dppLd0)(lnXp pxnpxdppLdniinii1)(ln11從中隨機抽取從中隨機抽取85件，發(fā)現(xiàn)次品件，發(fā)現(xiàn)次品10件，那么件，那么111028517niixxn所以這批產(chǎn)品的次品率為所以這批產(chǎn)品的次品率為217p 例例12.設(shè)設(shè)X1,X2,Xn為取自總體為取自總體XU0, 的樣的樣 本本,其中其中0

18、未知未知,分別用矩法和最大似然分別用矩法和最大似然 法求法求的估計量的估計量. 解：解：, 0,0,1);(其他xxf(1)矩法：矩法：XXE2)(X210)(lnL若令顯然顯然,該似然方程組無解該似然方程組無解.怎么辦呢？怎么辦呢？., 00,1);()(1其他inniixxfL(2)最大似然法：最大似然法： 若似然方程無解，即似然函數(shù)沒若似然方程無解，即似然函數(shù)沒有駐點時，通常在邊界點上達到有駐點時，通常在邊界點上達到最大值，可由定義通過對邊界點最大值，可由定義通過對邊界點的分析直接推求。的分析直接推求。 對于例對于例12，,max1inix只要取)(sup)(LL則的最大似然估計量為故.

19、, 0),.,2 , 1(0,1)(其他nixLininiX12max 例例13. 設(shè)總體設(shè)總體X的的概率密度為概率密度為其他, 010,) 1()(xxxf其中其中-1是未知參數(shù)，是未知參數(shù)， X1,X2, ,Xn是來自總體是來自總體X的樣本的樣本.分別求分別求的矩估的矩估計量和極大似然估計量。計量和極大似然估計量。解：解：(1) 矩估計矩估計21) 1()()(10dxxxdxxxfXEX21XX1121 (2) 最大似然估計最大似然估計) 10()() 1()(1iniinxxLniixnL1ln) 1ln()(ln0)(lndLd令niixn1ln1niixn12ln1常用的幾條標(biāo)準是

20、：常用的幾條標(biāo)準是：無偏性無偏性有效性有效性一致性一致性 一一.無偏性無偏性。XXXn的估計量是未知參數(shù)設(shè)),.,(21,)(E若),.,(21nXXX則稱是是的的無偏估計量無偏估計量。,)(limEn若),.,(21nXXX則稱是是的的漸近無偏估計量漸近無偏估計量. 例例1. 設(shè)設(shè)X1,X2, ,Xn是來自有有限數(shù)學(xué)期望是來自有有限數(shù)學(xué)期望 和方差和方差2的總體的總體。證明：。證明：.)(1) 3(;)(11)2(;1) 1 (212222122211的漸近無偏估計量是總體方差的無偏估計量是總體方差的無偏估計量是總體均值niiniiniiXXnXXnSXnX證證:(1)niiniiXEnXE

21、nXEE11)(1)(1)() (.的無偏估計量是X.2221的無偏估計量是S(2).222的漸近無偏估計量是(3)2221nSn222211()()nnEE Snn22221lim()lim()nnnEn 例例2. 設(shè)設(shè)X1,X2, Xn來自總體來自總體X，E(X)= , D(X)=2。證明下列統(tǒng)計量都是。證明下列統(tǒng)計量都是的的 無偏估計量。無偏估計量。.4341) 3(;)2(;) 1 (213211XXXX 二二.有效性有效性.),.,(),.,(212211的無偏估計量都是和設(shè)nnXXXXXX),()(21DD若21比則稱有效有效。 例例3. 例例2中中1 1, ,2 2, ,3 3哪

22、個估計量更有效？哪個估計量更有效？解：解：;)(21D.85)(;1)(2322DnD可見當(dāng)可見當(dāng)n2時，時，D(2)D(3)00，有，有1)(pp，Pn時當(dāng).的一致估計量是pp例例5. 設(shè)設(shè)X1,X2, Xn來自總體來自總體X，且，且E(Xk)存在存在 但未知但未知。證明。證明.,.)2 , 1)(11的一致估計量是kXEXnkniki證：因為證：因為 X1,X2, Xn獨立同分布獨立同分布也獨立同分布knkkXXX,.,21)()(kkiXEXE且由辛欽大數(shù)定律，得由辛欽大數(shù)定律，得11lim |()|1nkkiniPXE Xn.,.)2 , 1)(11的一致估計量是kXEXnkniki

23、一一.置信區(qū)間置信區(qū)間1設(shè)設(shè)X分布函數(shù)為分布函數(shù)為F(x; ), 未知，給定未知，給定 (0 1),若由樣本若由樣本 X1,X2, ,Xn確定的兩個統(tǒng)確定的兩個統(tǒng)計量計量),.,(),.,(212211nnXXXXXX和1)(21P滿足的為參數(shù)則稱隨機區(qū)間),(21置信度為置信度為1- 的的雙側(cè)置信區(qū)間雙側(cè)置信區(qū)間。 二二.置信區(qū)間置信區(qū)間2設(shè)設(shè)X分布函數(shù)為分布函數(shù)為F(x; ), 未知，給定未知，給定(0 1),若由樣本若由樣本 X1,X2, ,Xn構(gòu)造統(tǒng)計構(gòu)造統(tǒng)計量量),.,(),.,(212211nnXXXXXX或1)(1)(21PP或滿足的為參數(shù)或則稱隨機區(qū)間),- (),(21置信度

24、為置信度為1-的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間。 三三.區(qū)間估計區(qū)間估計對于給定的置信度，根據(jù)樣本來確定未對于給定的置信度，根據(jù)樣本來確定未知參數(shù)知參數(shù)的置信區(qū)間，稱為未知參數(shù)的置信區(qū)間，稱為未知參數(shù)的的區(qū)間估計區(qū)間估計。四四.求置信區(qū)間的步驟求置信區(qū)間的步驟(1) 選擇合適方法估計未知參數(shù)選擇合適方法估計未知參數(shù)，再構(gòu)造，再構(gòu)造 分布已知、含參數(shù)分布已知、含參數(shù)、不含其它未知參、不含其它未知參 數(shù)的樣本函數(shù)數(shù)的樣本函數(shù)U；(2) 給定置信度給定置信度1- ，定出常數(shù)，定出常數(shù)a,b，使，使 PaU b= 1-或或Pa U= 1- 或 PU b= 1- ；(3) 將將aU b或或a U 或U b變

25、形，變形， 使得使得.1),- (),(),(2121的置信區(qū)間的一個置信度為就是或或區(qū)間2121或或 1.單總體單總體均值均值的區(qū)間估計的區(qū)間估計 2已知時已知時的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2未知時未知時的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差2的區(qū)間估計的區(qū)間估計 已知時已知時2的置信區(qū)間的置信區(qū)間 未知時未知時2的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2已知時已知時的置信區(qū)間的置信區(qū)間) 1 , 0( NnXU12unXP122nuXnuXP即得即得的置信區(qū)間的置信區(qū)間),(22nuXnuX置信區(qū)間是多少？的，則未知參數(shù)的樣本，得樣本均值為容量例：設(shè)由取自正態(tài)總體95%59)9 . 0 ,(2XNX例例1. 從一批服從正態(tài)

26、分布從一批服從正態(tài)分布N(,0.022)的零件中隨的零件中隨 機抽取機抽取16個，分別測得其長度為：個，分別測得其長度為：2.142.10 2.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 估計該批零件的平均長度估計該批零件的平均長度，并求，并求的置的置 信區(qū)間信區(qū)間(=0.05).解：解：的矩估計值為的矩估計值為125. 21611. 2.14. 2 X代入得查表,16,02. 0,96. 1025. 02nuu135. 2,115. 222nuXnuX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(2.115,2.135). 2未知時未知時的置信區(qū)

27、間的置信區(qū)間) 1(ntnSXT1) 1(2ntnSXP1) 1() 1(22nSntXnSntXP即得即得的置信區(qū)間的置信區(qū)間nSntXnSntX) 1(,) 1(2295%-12 90%-1164. 0, 7 . 7%102）（）（置信區(qū)間。度下平均含脂率的試分別求在下面的置信布。，設(shè)含脂率服從正態(tài)分樣本方差），得到樣本均值樣品的含脂率（個產(chǎn)的羊毛中抽測例：隨機從某毛紡廠生SX例例2. 從一批服從正態(tài)分布從一批服從正態(tài)分布N(,2)的零件中隨的零件中隨 機抽取機抽取16個，分別測得其直徑為：個，分別測得其直徑為：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.

28、03 12.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 估計該批零件的平均長度估計該批零件的平均長度，并求，并求的置的置 信區(qū)間信區(qū)間(=0.05).解：解：代入得查表,13. 2)15() 1(00244. 0,075.12,16025. 022tntSXn101.12) 1(049.12) 1(22nSntXnSntX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(12.049,12.101). 已知時已知時2的區(qū)間估計的區(qū)間估計niNXi,.,2 , 1) 1 , 0()(2212nXnii2)(2)(221212221nXPnXPniinii 1)()

29、(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii即得即得2的置信區(qū)間的置信區(qū)間)()(,)()(221122212nXnXniinii例例3. 一批鋼筋的一批鋼筋的20個樣品的屈服點為：個樣品的屈服點為：4.98 5.11 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.385.46 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 5.20 設(shè)屈服點服從正態(tài)分布設(shè)屈服點服從正態(tài)分布N(5.21,2),求屈服點求屈服點 總體方差總體方差2的置信度為的置信度為95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解：解：代入

30、得查表,59. 9)20()(,17.34)20()(05. 095. 01,21. 5,202975. 02212025. 022nnn2的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(0.027,0.096). 未知時未知時2的區(qū)間估計的區(qū)間估計) 1() 1(2222nSn2) 1() 1(2) 1() 1(221222222nSnPnSnP1) 1() 1() 1(2222221nSnnP 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP即得即得2的置信區(qū)間的置信區(qū)間) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn例例4. 試求例試求例2中零件直徑的方差中零件直徑的方差2對應(yīng)于置

31、信對應(yīng)于置信 度度98的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解：解：代入得查表,23. 5)15() 1(, 6 .30)15() 1(02. 098. 01299. 0221201. 022nn2的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(0.001196,0.006998). 2.雙總體雙總體設(shè)設(shè)X N(1,12)，Y N(2,22)，X1,X2,Xm來自來自X，Y1,Y2,Yn來自來自Y，且兩樣本相互獨立。且兩樣本相互獨立。均值差均值差1- 2的區(qū)間估計的區(qū)間估計方差比方差比12/ 22的區(qū)間估計的區(qū)間估計 1,2已知時已知時1- 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間nmYX2221221,令),(2N則22,uu即得即得1- 2的

32、置信區(qū)間的置信區(qū)間nmuYXnmuYX2221222212, 1,2未知未知, ,但但1=2=時時, ,1- 2的的 置信區(qū)間置信區(qū)間) 1 , 0(11)(21NnmYXU)2(11)(21nmtnmSYXTw nmSnmtYXnmSnmtYXww11)2(,11)2(222) 1() 1(2221nmSnSmSw其中 1,2未知未知, ,且且12，但容量，但容量m,n很大很大時時, , 1- 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間221222211221)(11)(11niiniiYYnSXXmS近似代替以近似代替以nSmSuYXnSmSuYX2221222212, 方差比方差比12/22的區(qū)間估計的區(qū)間

33、估計我們僅討論我們僅討論 1, 2未知未知) 1, 1(22222121nmFSSF1) 1, 1() 1, 1(22222212121nmFSSnmFP1) 1, 1(1) 1, 1(1212221222122221nmFSSnmFSSP 可得可得12/22的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：) 1, 1(1,) 1, 1(121222122221nmFSSnmFSS同理，同理，22/12的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：) 1, 1(1,) 1, 1(121212222122mnFSSmnFSS例例1.某茶廠自動包裝茶葉，每包茶葉的重量服某茶廠自動包裝茶葉，每包茶葉的重量服 從正態(tài)分布從正態(tài)分布N(100,1.

34、152) ，某日開工后，隨，某日開工后，隨 機抽測了機抽測了9包，其重量為（單位：包，其重量為（單位：g）：）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 假設(shè)每包茶葉重量的方差保持不變，問這天包假設(shè)每包茶葉重量的方差保持不變，問這天包 裝機工作是否正常？裝機工作是否正常？例例2.某卷煙廠生產(chǎn)甲、乙兩種煙，分別對它們的尼某卷煙廠生產(chǎn)甲、乙兩種煙，分別對它們的尼 古丁含量（毫克）作了古丁含量（毫克）作了6次測定，測定結(jié)果為次測定，測定結(jié)果為甲：甲：25 28 23 26 29 22乙：乙：28 23 30 25 21 27 試問這兩種香煙的尼

35、古丁含量有無顯著差異試問這兩種香煙的尼古丁含量有無顯著差異 （設(shè)兩種煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，且方（設(shè)兩種煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，且方 差相等）？差相等）？例例3.從某校從某校2004年年250名應(yīng)屆畢業(yè)生的高名應(yīng)屆畢業(yè)生的高 考成績中隨機抽取了考成績中隨機抽取了50個，問能否根個，問能否根 據(jù)這據(jù)這50個成績判斷該校在個成績判斷該校在2004年高考年高考 成績是否服從正態(tài)分布？成績是否服從正態(tài)分布？根據(jù)問題的題意提出假設(shè)，然后根據(jù)樣本根據(jù)問題的題意提出假設(shè)，然后根據(jù)樣本的信息對假設(shè)進行檢驗，作出判斷。的信息對假設(shè)進行檢驗，作出判斷。H0:檢驗是否為真的假設(shè)稱為檢驗是否為真的假設(shè)稱為原假

36、設(shè)原假設(shè)；H1:與與H0對立的假設(shè)稱為對立的假設(shè)稱為備擇假設(shè)備擇假設(shè)。原假設(shè)是關(guān)于總體參數(shù)的，則稱之為原假設(shè)是關(guān)于總體參數(shù)的，則稱之為參數(shù)參數(shù)假設(shè)假設(shè);檢驗參數(shù)假設(shè)的問題，稱為檢驗參數(shù)假設(shè)的問題，稱為參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗；原假設(shè)是關(guān)于總體分布類型的，則稱之為原假設(shè)是關(guān)于總體分布類型的，則稱之為分布假設(shè)分布假設(shè)；檢驗分布假設(shè)的問題，稱之為檢驗分布假設(shè)的問題，稱之為分布檢驗分布檢驗.假設(shè)檢驗的基本原理假設(shè)檢驗的基本原理“小概率小概率”原理原理：概率很小的事件在一：概率很小的事件在一次實驗中不可能發(fā)生。次實驗中不可能發(fā)生。例例4.某廠提供的資料表明該廠的產(chǎn)品合格率為某廠提供的資料表明該廠的產(chǎn)品合格率為

37、p=99%，要檢驗廠方資料是否屬實。，要檢驗廠方資料是否屬實。提出提出H0:p=0.99構(gòu)造小概率事件構(gòu)造小概率事件A =“任意抽取一個任意抽取一個產(chǎn)品為不合格品產(chǎn)品為不合格品”任意抽取一個產(chǎn)品任意抽取一個產(chǎn)品若若A發(fā)生推翻推翻H0若若A沒發(fā)生接受接受H0續(xù)例續(xù)例1. 檢驗這天包裝機工作是否正常？檢驗這天包裝機工作是否正常？解：解：H0: =100 H1: 100) 1 , 0(/0NnXU96. 1,05. 02/u|U|=0.0524.0322得否定域得否定域 W: |t |4.0322故不能拒絕故不能拒絕H0 .第四步：第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量將樣本值代入算出統(tǒng)計量 t 的實測值的

38、實測值, ,| t |=2.99711.07,拒絕拒絕H0。未知時未知時2的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗(1) 雙側(cè)檢驗雙側(cè)檢驗:檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0: 2= 02) 1()(1221202nXXnii2) 1(2) 1(2212222nPnP,),1() 1(02212222Hnn拒絕或當(dāng)否則否則,接受接受H0.(2) 右側(cè)檢驗右側(cè)檢驗:檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0: 202) 1(22nP,),1(022Hn拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0.(3) 左側(cè)檢驗左側(cè)檢驗:檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0: 2 02) 1(212nP,),1(0212Hn拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0. 例例2.某煉鐵廠鐵水的含碳量某煉鐵廠鐵水的

39、含碳量X，在正常情況下服從正，在正常情況下服從正態(tài)分布?，F(xiàn)對操作工藝進行某些改變，從中抽取了態(tài)分布?，F(xiàn)對操作工藝進行某些改變，從中抽取了7爐鐵水的試樣，測得含碳量數(shù)據(jù)如下：爐鐵水的試樣，測得含碳量數(shù)據(jù)如下：4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683試問：是否可以認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方試問：是否可以認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為差仍為0.1122？（？（ =0.05 ）解：解：H0: 2=0.1122789.16)(1712202iiXX45.14)6(,237. 1)6(22025. 0975. 02=16.78914.45,拒絕拒絕H0。

40、檢驗 參數(shù) 條件 原假設(shè) H0 備擇假設(shè) H1 檢驗統(tǒng)計量 服從 分布 拒絕區(qū)域 0 0 2Uu 0 0 Uu 2已知 0 0 0/XUn (0,1)N Uu 0 0 /2(1)Ttn 0 0 (1)Ttn 2未知 0 0 0/XTSn (1)t n (1)Ttn 220 220 22/2( )n或221/2( )n 220220 22( )n 已知 220220 222101()niiX 2( )n 221( )n 220 220 22/2(1)n或221/2(1)n 220220 22(1)n 2 未知 220220 222101()niiXX 2(1)n 221(1)n 例例1. 從一批

41、服從正態(tài)分布從一批服從正態(tài)分布N(,0.022)的零件中隨的零件中隨 機抽取機抽取16個，分別測得其長度為：個，分別測得其長度為：2.142.10 2.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 (1)試估計該批零件的平均長度試估計該批零件的平均長度，并求，并求 的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間;(2)試問該批零件的平均長試問該批零件的平均長 度與度與 2.15有無差異？有無差異？(=0.05).解：解：(1)125. 21611. 2.14. 2 X代入得查表,16,02. 0,96. 1025. 02nuu135. 2,115.

42、 222nuXnuX的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為(2.115,2.135).2已知時已知時的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為),(22nuXnuX(2) H0:=0 0, H1:0 0( (0 0=2.15)=2.15) 1 , 0(/NnX96. 1,05. 02/u|U|=51.96, 拒絕拒絕H0。即該批零即該批零件的平均長度與件的平均長度與 2.15有顯著差異。有顯著差異。502. 0)15. 2125. 2(16/0nXU 例例2.根據(jù)以往的資料得知根據(jù)以往的資料得知,我國健康成年男子的我國健康成年男子的 每分鐘脈搏次數(shù)服從每分鐘脈搏次數(shù)服從N(72,6.42).現(xiàn)從某體院現(xiàn)從某體

43、院 男生中男生中,隨機抽取隨機抽取25人人,測得平均脈搏測得平均脈搏 為為68.6次次/min,如果標(biāo)準差不變?nèi)绻麡?biāo)準差不變, (1)該體院男生脈搏的單側(cè)上限置信區(qū)間；該體院男生脈搏的單側(cè)上限置信區(qū)間； (2)是否可以認為該體院男生的脈搏明顯低是否可以認為該體院男生的脈搏明顯低 于一般健康成年男子的脈搏？（于一般健康成年男子的脈搏？（=0.05）解：解：(1)代入得6 .68,25, 4 . 6,645. 105. 0Xnuu7056.70nuX的單側(cè)上限置信區(qū)間為的單側(cè)上限置信區(qū)間為(0, 70.7056).2已知時已知時的單側(cè)上限置信區(qū)間為的單側(cè)上限置信區(qū)間為),(nuX(2) H0:72

44、72, H1:7272) 1 , 0(/NnX645. 1,05. 0uU=-2.6560 0 2未知時未知時的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間nSntX) 1(,),1(0HntT拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0.2未知時未知時的左側(cè)假設(shè)檢驗的左側(cè)假設(shè)檢驗檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0:0 0, H1:3.25) 1(/ntnSX 563. 22622. 0)25. 3399. 3(20/0nSXT73. 1) 1(,20,05. 0ntnT =2.5631.73, 拒絕拒絕H0。即可以認為。即可以認為當(dāng)前雞蛋的價格明顯高于往年。當(dāng)前雞蛋的價格明顯高于往年。 l單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計與假設(shè)檢驗單正態(tài)總

45、體方差的區(qū)間估計與假設(shè)檢驗求求2的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗H0:2=02, H1:202求求2的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗H0:202, H1:202求求2的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗H0:202, H1:202,),1(02HnT拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0. 未知時未知時2的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間) 1() 1(, 0212nSn未知時未知時2的左側(cè)假設(shè)檢驗的左側(cè)假設(shè)檢驗檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0:202 , H1:214.45, 拒絕拒絕H0。即不能認為新工即不能認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為藝煉出

46、的鐵水含碳量的方差仍為0.1122。) 1() 1(222nSnT7889.16) 1(202SnT2373. 1) 1(,4492.14) 1(,05. 022/122/nn 已知時已知時2的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間即得即得2的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間)(221nXTnii1)()(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii)()(,)()(221122212nXnXniinii)()(122120nXTnii2)(2)(22122nTPnTP,),()(022122HnTnT拒絕或當(dāng)否則否則,接受接受H0.已已知時知時2的雙側(cè)假設(shè)檢驗的雙側(cè)

47、假設(shè)檢驗檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0:2=02 , H1:202 已知時已知時2的單側(cè)下限置信區(qū)間的單側(cè)下限置信區(qū)間,)()(212nXnii已知時已知時2的右側(cè)假設(shè)檢驗的右側(cè)假設(shè)檢驗檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0:202 , H1:202,),(02HnT拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0. 已知時已知時2的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間)()(, 02112nXnii已未知時已未知時2的左側(cè)假設(shè)檢驗的左側(cè)假設(shè)檢驗檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0:202 , H1:211.07, 拒絕拒絕H0。即這一天生產(chǎn)的維即這一天生產(chǎn)的維尼綸的纖度的方差不正常。尼綸的纖度的方差不正常。1455. 1)(,0703.11)(,10. 0

48、22/122/nn)()(12212nXTnii67.13)(12120niiXT l雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計與假設(shè)檢驗雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計與假設(shè)檢驗求求1-2的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗的雙側(cè)置信區(qū)間與雙側(cè)檢驗H0: 1=2, H1: 1 2 求求1-2的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗的單側(cè)下限置信區(qū)間與右側(cè)檢驗H0: 12, H1: 1 2求求1-2的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗的單側(cè)上限置信區(qū)間與左側(cè)檢驗H0: 12, H1: 12 12、22已知時已知時1-2的單側(cè)上限置信區(qū)間的單側(cè)上限置信區(qū)間nmuYX2221,0HuU拒絕當(dāng)否則否則,接受接受H0.12、22已知時已知時1-2的的左側(cè)假設(shè)

49、檢驗左側(cè)假設(shè)檢驗檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0:0 0, H1:0 0例例1. 已知已知A行業(yè)職工月工資行業(yè)職工月工資XN(1,1.52) (單位單位:千元千元) ; B 行業(yè)職工月工資行業(yè)職工月工資Y N(2,1.22) (單位單位: 千元千元).2005年在年在 某地區(qū)分行業(yè)調(diào)查職工平均工資情況，從總體某地區(qū)分行業(yè)調(diào)查職工平均工資情況，從總體X、 Y中分別調(diào)查中分別調(diào)查25、30人人, 算得其平均月工資分別為算得其平均月工資分別為 4.8、4.2千元。千元。 (1)求這兩行業(yè)職工月平均工資之差的雙側(cè)置信區(qū)求這兩行業(yè)職工月平均工資之差的雙側(cè)置信區(qū) 間；間；(2)問這兩行業(yè)職工月平均工資是否有顯著差問這兩行業(yè)職工月平均工資是否有顯著差 異？異？( =0.05 )解：解：代入得查表,96. 1,05. 0, 2 . 4, 8 . 4,30,252uYXnm3281. 1,1281. 02221222212nmuYXnmuYX1-2的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為(-0.1281, 1.3281).(1) 12、22已知時已知時1-2的雙側(cè)置信區(qū)間為的雙側(cè)置信區(qū)間為nmuYXnmuYX2221222212,(2