三角函數(shù)對稱軸與對稱中心

1、三角函數(shù)對稱軸與對稱中心y=sinx 對稱軸：x=k+/2（kz) 對稱中心：(k，0）（kz)y=cosx 對稱軸：x=k（kz) 對稱中心：（k+/2，0）(kz)y=tanx 對稱軸：無 對稱中心：（k，0）(kz)兩角和與差的三角函數(shù)cos(+)=cos·cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·sinsin(±)=sin·cos±cos·sintan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan)和差化積公式s

2、in+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2積化和差公式sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-)cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-)sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-)倍角公式sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot)cos(2)=cos²-sin&sup2

3、;=2cos²-1=1-2sin²tan(2)=2tan/(1-tan²)cot(2)=(cot²-1)/(2cot)sec(2)=sec²/(1-tan²)csc(2)=1/2*sec·csc三倍角公式sin(3) = 3sin-4sin³ = 4sin·sin(60°+)sin(60°-)cos(3) = 4cos³-3cos = 4cos·cos(60°+)cos(60°-)t

4、an(3) = (3tan-tan³)/(1-3tan²) = tantan(/3+)tan(/3-)cot(3)=(cot³-3cot)/(3cot-1)n倍角公式sin(n)=ncos(n-1)·sin-C(n,3)cos(n-3)·sin3+C(n,5)cos(n-5)·sin5-cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)·sin2+C(n,4)cos(n-4)·sin4-半角公式sin(/2)=±(1-cos)/2)cos(/2)=±(1+cos)/2)

5、tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sincot(/2)=±(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos)sec(/2)=±(2sec/(sec+1)csc(/2)=±(2sec/(sec-1)輔助角公式Asin+Bcos=(A²+B²)sin(+arctan(B/A)Asin+Bcos=(A²+B²)cos(-arctan(A/B)萬能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan&

6、;sup2;(a/2)cos(a)= (1-tan²(a/2)/(1+tan²(a/2)tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan²(a/2)降冪公式sin²=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos²=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan²=(1-cos(2)/(1+cos(2)三角和的三角函數(shù)sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin

7、83;sin·sincos(+)=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·costan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)÷(1-tan·tan-tan·tan-tan·t角的三角函數(shù)值正弦余弦正切余切0010不存在/61/23/23/33/42/22/211/33/21/233/210不存在0冪級數(shù)c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.)c0+c1(x

8、-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0.)它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,.及a都是常數(shù), 這種級數(shù)稱為冪級數(shù).泰勒展開式泰勒展開式又叫冪級數(shù)展開法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+.+f(n)(a)/n!*(x-a)n+實用冪級數(shù)：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n!+ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+(-1)(k-1)*(xk)/k (|x|<1)sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-

9、1)/(2k-1)!+. (-<x<)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-<x<)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|<1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|<1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!+(-1)(k-1)*(x2k-1)/(2k-1)!+ (-<x<)cosh x = 1+x2

10、/2!+x4/4!+(-1)k*(x2k)/(2k)!+(-<x<)arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - (|x|<1)arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + (|x|<1)在解初等三角函數(shù)時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像結(jié)合的方法求三角函數(shù)值、三角函數(shù)不等式、面積等等。傅立葉級數(shù)傅里葉級數(shù)又稱三角級數(shù)f(x)=a0/2+(n=0.) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/(.-) (f(x)dxan=1/(.-) (f(x)cosnx)dxbn=1/(.-) (f(x)

11、sinnx)dx三角函數(shù)的數(shù)值符號正弦第一，二象限為正，第三，四象限為負余弦第一，四象限為正第二，三象限為負正切第一，三象限為正第二，四象限為負編輯本段相關(guān)概念三角形與三角函數(shù)1、正弦定理：在三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中R為外接圓的半徑)2、第一余弦定理：三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對應(yīng)角余弦的交叉乘積的和，即a=c cosB + b cosC3、第二余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方之和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a2=b2+c2-2bc·cosA4、正切定理(napier比擬)：

12、三角形中任意兩邊差和的比值等于對應(yīng)角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證明:已知(A+B)=(-C)所以tan(A+B)=tan(-C)則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC類似地,我們同樣也可以求證:當(dāng)+=n(nZ)時，總有tan+tan+tan=tantanta

13、n三角函數(shù)圖像：定義域和值域sin(x),cos(x)的定義域為R,值域為-1,1tan(x)的定義域為x不等于/2+k,值域為Rcot(x)的定義域為x不等于k,值域為Ry=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 c-(a&sup2;+b&sup2;) , c+(a&sup2;+b&sup2;）初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)  三角函數(shù)圖像y=sinx-y'=cosxy=cosx-y'=-sinxy=tanx-y'=1/cos2x =sec2xy=cotx-y'= -1/sin2x = - c

14、sc2xy=secx-y'=secxtanxy=cscx-y'=-cscxcotxy=arcsinx-y'=1/(1-x&sup2;)y=arccosx-y'= -1/(1-x&sup2;)y=arctanx-y'=1/(1+x&sup2;)y=arccotx-y'= -1/(1+x&sup2;)倍半角規(guī)律如果角a的余弦值為1/2，那么a/2的余弦值為3/2反三角函數(shù)三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、

15、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-/2y/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsin x；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0y；反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-/2<y</2；反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0<y<。反三角函數(shù)實際上并不能叫做函數(shù)，因為它并不滿足一個自變量對應(yīng)一個函數(shù)值的要求，其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了arc+函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù)，而不是f-1(x).反三角函數(shù)主要是三個：y=arcsin(x)，定義域

16、-1,1，值域-/2,/2，圖象用紅色線條；y=arccos(x)，定義域-1,1，值域0,，圖象用蘭色線條；y=arctan(x)，定義域(-,+)，值域(-/2,/2)，圖象用綠色線條；sinarcsin(x)=x,定義域-1,1,值域 【-/2,/2】證明方法如下：設(shè)arcsin(x)=y,則sin(y)=x ,將這兩個式子代入上式即可得其他幾個用類似方法可得。編輯本段高等數(shù)學(xué)內(nèi)容總體情況高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：sinz=e(iz)-e(-iz)/(2i)cosz=e(iz)+e(-iz)/2tanx=e(iz)-e(-iz)/ie(iz)+ie(-iz)泰勒展開

17、有無窮級數(shù)，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。·三角函數(shù)作為微分方程的解：對于微分方程組 y=-y''y=y''''，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。:復(fù)數(shù)域內(nèi)正余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）對于z為實數(shù)y來說，復(fù)數(shù)域內(nèi)正余弦函數(shù)的性質(zhì)與通常所說的正余弦函數(shù)性質(zhì)是一樣的。（2）復(fù)數(shù)域內(nèi)正余弦函數(shù)在z平面是解析的。（3）在復(fù)數(shù)域

18、內(nèi)不能再斷言|sinz|1,|cosz|1。（4）sinz、cosz分別為奇函數(shù)，偶函數(shù)，且以2為周期。編輯本段三角函數(shù)的性質(zhì)定理三角函數(shù)，正如其名稱那樣，在三角學(xué)中是十分重要的，主要是因為下列兩個結(jié)果。正弦定理于邊長為 a, b 和 c 而相應(yīng)角為 A, B 和 C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可表示為：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R其中R是三角形的外接圓半徑。它可以通過把三角形分為兩個直角三角形并使用上述正弦的定義來證明。在這個定理中出現(xiàn)的公共

19、數(shù) (sinA)/a 是通過 A, B 和 C 三點的圓的直徑的倒數(shù)。正弦定理用于在一個三角形中（1）已知兩個角和一個邊求未知邊和角（2）已知兩邊及其一邊的對角求其他角和邊的問題。這是三角測量中常見情況。余弦定理對于邊長為 a, b 和 c 而相應(yīng)角為 A, B 和 C的三角形，有：c2=a2b22ab·cosC.也可表示為：cosC=（a2b2c2）/ 2ab.這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明。余弦定理用于在一個三角

20、形的兩個邊和一個角已知時確定未知的數(shù)據(jù)。如果這個角不是兩條邊的夾角，那么三角形可能不是唯一的（邊-邊-角）。要小心余弦定理的這種歧義情況。正切定理對于邊長為 a, b 和 c 而相應(yīng)角為 A, B 和 C的三角形，有：(a+b)/(a-b) = tan(A+B)/2/tan(A-B)/2編輯本段三角函數(shù)在解三次方程中的應(yīng)用一元三次方程的解是三個不相等的實根時，可用三角函數(shù)知識求出方程的解。一元三次方程aX3bX2cXd=0，（a，b，c，dR，且a0）重根判別式：A=b23ac；B=bc9ad；C=c23bd?？偱袆e式：=B24AC。當(dāng)=B24AC0時，盛金公式：X=(b2A(1/2)cos(/3)/(