高等數(shù)學(xué)BIT8-1

1、例例. 設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面坐標(biāo)面其底部所在的區(qū)域?yàn)槠涞撞克诘膮^(qū)域?yàn)?2( , )|75Dx yxyxy小山的高度函數(shù)為小山的高度函數(shù)為22( , )75.h x yxyxy00(1)(,)( , )M xyDh x y設(shè)為區(qū)域 上一點(diǎn)，問在該點(diǎn)沿平面 上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此方向?qū)?shù)的最解000( , )(,)h x yMxy在點(diǎn)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值等于梯度的模， 由于( , )gradh x y 2, 2xyyx0000(,),(,).g xyg xy大值為試寫出的表達(dá)式故0000(,) |(,)|g xy

2、gradh xy220000( 2)( 2)xyyx 220000558xyx y22000000(,)558g xyxyx y(2) 現(xiàn)在此山開展攀巖活動，需在山腳尋找上山坡度最現(xiàn)在此山開展攀巖活動，需在山腳尋找上山坡度最大點(diǎn)作為起點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置大點(diǎn)作為起點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置.22( , )|75Dx yxyxy解解 由題意知，要在底部區(qū)域D的邊界線2275xyxy上尋找使( , )g x y達(dá)到最大的點(diǎn).令22( , )558f x yxyxy，由題意，只需在約束條件2275xyxy( , ).f x y下求出的最大值點(diǎn)設(shè)2222( , )558(75)F x yxyxyxy

3、xy 108(2)0 xFxyxy 108(2)0yFyxyx 2275xyxy解得5 35 3xy5 35 3xy 108(2)0 xFxyxy 108(2)0yFyxyx 2275xyxy55xy 55xy 由于(5 3,5 3)( 5 3, 5 3)150ff(5, 5)( 5,5)450ff(5, 5)( 5,5)與故皆可作為攀登起點(diǎn).例例 設(shè)設(shè) y = f ( x ,t ) 而而 t 是由是由 F (x ,y ,t) 確定的確定的 x ,y 的函數(shù)的函數(shù) ，試證明，試證明tyttxtxFFffFFfdxdy 證一證一方程組方程組 0),(),(tyxFtxfy確定了兩個(gè)一元隱函數(shù)確定

4、了兩個(gè)一元隱函數(shù) y =y (x) , t =t ( x )兩邊分別對兩邊分別對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 xtyxtFdxdtFdxdyFfdxdtfdxdy解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 證二證二兩邊取全微分并移項(xiàng)得兩邊取全微分并移項(xiàng)得 dxFdtFdyFdxfdtfdyxtyxt消去消去 dt 得得dxfFfFdyfFFtxxttyt)()( 解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 第八章第八章 重積分重積分第一節(jié)第一節(jié) 二二重積分的概念與性質(zhì)重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出一、問題的提出二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié)

5、柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點(diǎn)特點(diǎn)：平頂：平頂.柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)特點(diǎn)：曲頂：曲頂.),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、問題的提出一、問題的提出播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似分割、近似、求和、取極限、求和、取極限”的方法，如下動畫演的方法，如下動畫演示示步驟如下：步驟如下：用若干個(gè)小平用若干個(gè)小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱

6、體的體積 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xyo定定義義 設(shè)設(shè)),(yxf是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)，將將閉閉區(qū)區(qū)域域D任任意意分分成成n個(gè)

7、個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第i個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域，也也 表表 示示 它它 的的 面面 積積 ， 在在 每每 個(gè)個(gè)i 上上 任任 取取 一一 點(diǎn)點(diǎn)),(ii ，作作乘乘積積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并并作作和和 iiniif ),(1，二、二重積分的概念二、二重積分的概念如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf

8、),(iiniif ),(lim10. .對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：(1）極限存在指：任意分割、任意取點(diǎn)、極限存在指：任意分割、任意取點(diǎn)、和式極限值相等和式極限值相等二重積分值與區(qū)域的分法二重積分值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點(diǎn)的取法無關(guān)和小區(qū)域上點(diǎn)的取法無關(guān),故可故可采用一種便于計(jì)算的劃分方式采用一種便于計(jì)算的劃分方式.在直角坐標(biāo)系下，若用平行在直角坐標(biāo)系下，若用平行與與x軸，軸，y軸的直線族劃分軸的直線族劃分D,則則)(除含邊界的小區(qū)域kjiyxXYO1kykyjx1jxkjiyx從而DDdxdyyxfdyxf),(),(（3）二重積分為數(shù)，與變量符號無關(guān)即）二重積分為數(shù)，與變

9、量符號無關(guān)即故記dxdydDDdvufdyxf),(),()1(00)4(niiDdyxfyxf表曲頂柱體體積時(shí)，),(0),(負(fù)值表曲頂柱體體積時(shí)，Ddyxfyxf),(0),(Ddyxfyxf表曲頂柱體體積代數(shù)和符號不定時(shí)，),(),(二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1被積函數(shù)中的常數(shù)因子被積函數(shù)中的常數(shù)因子 可以提到二重積可以提到二重積分號的外面，分號的外面，即即. )(),(d),( DDkyxfkyxkf為為常常數(shù)數(shù)d d 性質(zhì)性質(zhì) 2 函數(shù)的和函數(shù)的和( (或差或差) )的二重積分的二重積分 等于各個(gè)函等于各個(gè)函 數(shù)數(shù)的二重積分的和

10、的二重積分的和( (或差或差) )，即即.d),(d),(d),(),( DDDyxgyxfyxgyxf 性質(zhì)性質(zhì) 3如果區(qū)域如果區(qū)域 D 被分成兩個(gè)子區(qū)域被分成兩個(gè)子區(qū)域 D1 與與 D2，則在則在 D 上的二重積分上的二重積分 等于各子區(qū)域等于各子區(qū)域 D1、D2 上的二重上的二重積分之和，積分之和， 即即 DDDyxfyxfyxf12.d),(d),(d),( 這個(gè)性質(zhì)表明二重積分對于積分區(qū)域具有可加性這個(gè)性質(zhì)表明二重積分對于積分區(qū)域具有可加性 .性質(zhì)性質(zhì)4如果在如果在 D 上，上， f(x, y) = 1，且且 D 的面積為的面積為 ，則則 D.d 2121,DDDDD且若性質(zhì)性質(zhì) 5

11、如果在如果在 D 上，上，則則推論推論函數(shù)在函數(shù)在 D 上的二重積分的絕對值上的二重積分的絕對值 不大于不大于函數(shù)的絕對值在函數(shù)的絕對值在 D 上的二重積分上的二重積分. 即即),(),(yxgyxf DDyxgyxf.d),(d),( DDyxfyxf.d),(d),( 性質(zhì)性質(zhì) 6 如果如果 M、m 分別是函數(shù)分別是函數(shù) f( x, y) 在在 D 上上的最大值與最小值，的最大值與最小值， 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 的面積，的面積， 則則性質(zhì)性質(zhì) 7( (二重積分中值定理二重積分中值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x,y) 在有在有界閉區(qū)域界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，上連續(xù)，記記 是是 D 的面積，的面

12、積， 則在則在 D 上至上至少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)( ( , ) )，使得使得 Dfyxf.),(d),( DMyxfm.d),( 四、舉例四、舉例例例1、 設(shè)區(qū)域D:0, 1, 1xyxDyx：dyxdyxydxDDD222)2( ,)1 (計(jì)算211DDD）劃分（yxyxfxD2),(函數(shù)軸對稱，關(guān)于是變量y的奇函數(shù)XYO1D2D1yx1 xy1 yx1 yx解：解：yxyxfyD2),()2(軸對稱，關(guān)于是變量x的偶函數(shù)DDydxydx222021222dyxdyxydxDDD注：注：上述性質(zhì)，稱為二重積分的奇偶對稱性對上述性質(zhì)，稱為二重積分的奇偶對稱性對于一般函數(shù)也成立于一般函數(shù)也成立在

13、在D上上 2220ayx ,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)區(qū)域域 D的的面面積積 , ab當(dāng)當(dāng)1 yxr時(shí)時(shí), 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又當(dāng)當(dāng) 1 yx時(shí)時(shí), 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)二重積分的幾

14、何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（和式的極限）（和式的極限）四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處. 定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)思考題解答思考題解答作作 業(yè)業(yè)習(xí)題習(xí)題8-11（1）；）；2（3）；）；3（3）；）；4 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體