接證明與間接證明

1、考點30 直接證明與間接證明（2014年）一、選擇題1.（2014·山東高考理科·4）用反證法證明命題：“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是（ ）A、方程沒有實根.B、方程至多有一個實根.C、方程至多有兩個實根.D、方程恰好有兩個實根.【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進行假設.一元二次方程根的個數(shù)為0,1,2.因此至少有一個實根包含1根或兩根，它的反面為0根.【解析】選A.“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”的反面是“方程沒有實根.”故選A.2.（2014·山東高考文科·4）與（2014·山東高考理科·4

2、）相同用反證法證明命題：“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是（ ）A、方程沒有實根.B、方程至多有一個實根.C、方程至多有兩個實根.D、方程恰好有兩個實根.【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進行假設.一元二次方程根的個數(shù)為0,1,2.因此至少有一個實根包含1根或兩根，它的反面為0根.【解析】選A.“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”的反面是“方程沒有實根.”故選A.二、解答題3.（2013·北京高考理科·20）已知an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項，的最小值記為Bn，dn=AnBn(1)若an為2，1，4

3、，3，2，1，4，3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(2)設d為非負整數(shù)，證明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，則an的項只能是1或2，且有無窮多項為1【解題指南】(1)根據(jù)dn的定義求.(2)充分性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義求dn;必要性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義證明等差.(3)可通過取特殊值和反證法進行證明.【解析】（1），。（2） 充分性：若為公差為的等差數(shù)列，則.因為是非負整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列.，(n=1,2,3,).必要性：若，假

4、設是第一個使得的項，則，這與矛盾.所以是不減數(shù)列.，即，是公差為的等差數(shù)列.（3）首先中的項不能是0，否則，與已知矛盾.中的項不能超過2，用反證法證明如下：若中有超過2的項，設是第一個大于2的項，中一定存在項為1，否則與矛盾.當時，否則與矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之間，使得，此時，矛盾.綜上中沒有超過2的項.綜合，中的項只能是1或2.下面證明1有無數(shù)個，用反證法證明如下：若為最后一個1，則，矛盾.因此1有無數(shù)個. 4.（2013·北京高考文科·20）給定數(shù)列a1，a2，an。對i=1，2，n-l，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，an的最小

5、值記為Bi，di=Ai-Bi.（1）設數(shù)列an為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值.（2）設a1，a2，an（n4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a10.證明：d1，d2，dn-1是等比數(shù)列。（3）設d1，d2，dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，證明：a1，a2，an-1是等差數(shù)列?！窘忸}指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出dn的通項,再利用等比數(shù)列的定義證明dn是等比數(shù)列.(3)先證明an是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列an的最小項,最后證明an是等差數(shù)列.【解析】（1），。（2）由是公比大于1的等比數(shù)列，且a10，可得的通項為且為單調(diào)遞增數(shù)列。于是當時

6、，為定值。因此d1，d2，dn-1構(gòu)成首項，公比的等比數(shù)列。（3）若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則0<d1<d2<<dn-1,先證明a1,a2,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列,否則,設ak是第一個使得akak-1成立的項,則Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此a1,a2, an-1是單調(diào)遞增數(shù)列.再證明an為數(shù)列an中的最小項,否則設ak<an(k=1,2,n-1),顯然k1,否則d1=A1-B1=a1-B1a1-a1=0,與di>0矛盾.因而k2,此時考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-

7、ak<0,矛盾.因此,an為數(shù)列an中的最小項.綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,n-1),于是ak=dk+an,從而a1,a2,an-1是等差數(shù)列.（2013年）1.（2013·北京高考理科·20）已知an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項，的最小值記為Bn，dn=AnBn(1)若an為2，1，4，3，2，1，4，3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(2)設d為非負整數(shù)，證明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a1=2，dn=

8、1(n=1,2,3)，則an的項只能是1或2，且有無窮多項為1【解題指南】(1)根據(jù)dn的定義求.(2)充分性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義求dn;必要性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義證明等差.(3)可通過取特殊值和反證法進行證明.【解析】（1），。（3） 充分性：若為公差為的等差數(shù)列，則.因為是非負整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列.，(n=1,2,3,).必要性：若，假設是第一個使得的項，則，這與矛盾.所以是不減數(shù)列.，即，是公差為的等差數(shù)列.（3）首先中的項不能是0，否則，與已知矛盾.中的項不能超過2，用反證法證明如下：若中有超過2的項，設是第一個大于2的項，中一定存在項為1，否則與矛

9、盾.當時，否則與矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之間，使得，此時，矛盾.綜上中沒有超過2的項.綜合，中的項只能是1或2.下面證明1有無數(shù)個，用反證法證明如下：若為最后一個1，則，矛盾.因此1有無數(shù)個. 2.（2013·北京高考文科·20）給定數(shù)列a1，a2，an。對i=1，2，n-l，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi.（1）設數(shù)列an為3，4，7，1，寫出d1， d2，d3的值.（2）設a1，a2，an（n4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a10.證明：d1，d2，dn-1是等比數(shù)列。（3）設d1，d2，dn-

10、1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，證明：a1，a2，an-1是等差數(shù)列。【解題指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出dn的通項,再利用等比數(shù)列的定義證明dn是等比數(shù)列.(3)先證明an是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列an的最小項,最后證明an是等差數(shù)列.【解析】（1），。（2）由是公比大于1的等比數(shù)列，且a10，可得的通項為且為單調(diào)遞增數(shù)列。于是當時，為定值。因此d1，d2，dn-1構(gòu)成首項，公比的等比數(shù)列。（3）若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則0<d1<d2<<dn-1,先證明a1,a2,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列,否則,設ak

11、是第一個使得akak-1成立的項,則Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此a1,a2,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列.再證明an為數(shù)列an中的最小項,否則設ak<an(k=1,2,n-1),顯然k1,否則d1=A1-B1=a1-B1a1-a1=0,與di>0矛盾.因而k2,此時考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.因此,an為數(shù)列an中的最小項.綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,n-1),于是ak=dk+an,從而a1,a2,an-1是等差數(shù)列.（2012年）1.（2012·北京高考理科

12、·20）設A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記S(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于AS(m,n),記Ri(A)為A的第行各數(shù)之和（1m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1jn）；記K(A)為R1(A),R2(A),Rm(A),C1(A),C2(A),Cn(A)中的最小值.（1） 對如下數(shù)表A，求K（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（2）設數(shù)表AS（2,3）形如11cab-1求K（A）的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對于所有的AS（2,2t+1），求K（A）的最大值.【解題指南】（1）直接按照定義計算即可；

13、（2）直接證明比較困難時，可以考慮用反證法；（3）首先構(gòu)造一個數(shù)表，求出最大值，再證明它就是所求的最大值.【解析】（1）,0.7.（2）先用反證法證明K(A)1：若K(A)>1,則，同理可知b>0,a+b>0,由題目所有數(shù)和為0，即a+b+c=-1,c=-1-a-b<-1,與題目條件矛盾，K(A)1,易知當a=b=0時，K(A)=1存在，K(A)的最大值為1.（3）K(A)的最大值為,首先構(gòu)造滿足K(A)=的;,.經(jīng)計算知，A中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，下面證明是最大值.若不然，則存在一個數(shù)表A，使得.由K(A)的定義知A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值

14、都不小于x，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間x,2中.由于x>1，故A的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值不小于x-1.設A中有g(shù)列的列和為正，有h列的列和為負，由對稱性不妨設g<h，則gt, ht+1.另外，由對稱性不妨設A的第一行行和為正，第二行行和為負.考慮A的第一行，由前面結(jié)論知A的第一行有不超過t個正數(shù)和不少于t+1個負數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1（即每個正數(shù)均不超過1），每個負數(shù)的絕對值不小于x-1（即每個負數(shù)均不超過1-x）.因此，故A的第一行行和的絕對值小于x，與假設矛盾.因此K(A)的最大值為.2.（

15、2012·北京高考文科·20）設A是如下形式的2行3列的數(shù)表，abcdef滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f-1,1,且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2），cj（A）為第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值.（I） 對如下數(shù)表A，求k（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（II） 設數(shù)表A形如111-2ddd-1其中-1d0.求k（A）的最大值；（）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A ，求k(A)的最大值.【解題指南】（1）直接按照

16、定義計算即可；（2）按照定義把k(A)轉(zhuǎn)化為關(guān)于d的函數(shù)，再求函數(shù)的最大值；（3）首先構(gòu)造一個數(shù)表，求出最大值，再證明它就是所求的最大值.【解析】（I），0.7.（II）k(A)=min|3-2d|,|2d-1|,|1+d|,|1+d|,|2d|.-1d0,k(A)=min3-2d, 1-2d, 1+d, 1+d, -2d=min1+d, -2d當時，k(A)取最大值.（III）k(A)的最大值為1.首先構(gòu)造k(A)=1的，經(jīng)計算知，A中每個元素的絕對值都小于等于1，所有元素之和為0， ，>1，.下面證明1是最大值.若不然，則存在一個2行3列的數(shù)表A，使得.由k(A)的定義知A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于x，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故A