北京市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題分類解析(共33頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上北京市初中歷年競(jìng)賽試題分類解析（一）絕對(duì)值【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、 利用絕對(duì)值的幾何意義求代數(shù)式的取值范圍2、 利用絕對(duì)值的非負(fù)性解特殊方程3、 利用絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值符號(hào)【知識(shí)梳理】絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算及后續(xù)算術(shù)根的基礎(chǔ)絕對(duì)值又是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，在解代數(shù)式化簡(jiǎn)求值、解方程（組)、解不等(組)等問題有著廣泛的應(yīng)用，全面理解、掌握絕對(duì)值這一概念，應(yīng)從以下方面人手：1去絕對(duì)值的符號(hào)法則：2絕對(duì)值基本性質(zhì)非負(fù)性：；3絕對(duì)值的幾何意義 從數(shù)軸上看，表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(長度，非負(fù))；表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離【試題匯編】1、代數(shù)意義1

2、、（2010第2題）已知：三個(gè)數(shù)的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則的值為（ ）A1 B1 C0 D與a，b，c的值有關(guān)2、（2008第9題）若，則x的取值范圍是_。3、（2007第1題）已知|a|3，|b|且ab<0，則的值是（ ）A. 9 B. C.9 D. 4、（2007第11題）已知實(shí)數(shù)a滿足|2006a|+a，那么a20062的值是 ；5、（2007第13題）已知對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，都有恒成立，則m可以取得的最大值為 6、（2005第2題）方程的解的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)A. 1 B . 2 C. 3 D.無數(shù)7、（2004第9題）已知，則_。8、（2004第10題）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是_。2、幾何

3、意義：1、（2008第1題）已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，它們所表示的數(shù)分別是a、b、c，且滿足，則A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置是 （ ）A. A在B、C之間 B. B在A、C之間 C. C在A、B之間 D. 無法確定2、（2006第9題）若實(shí)數(shù)x滿足，則x的取值范圍是_。3、（2001第11題）設(shè)，為任意實(shí)數(shù)，則的范圍是（ ）A. B. C. D . （二）不等式（組）【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、 含有字母系數(shù)的不等式2、 由已知不等式來判斷或解不等式3、 建立不等式的模型，或利用不等式解決實(shí)際問題【知識(shí)梳理】現(xiàn)實(shí)世界既包含大量的相等關(guān)系，又存在許多不等關(guān)系，許多現(xiàn)實(shí)問題是很難確定(有時(shí)也不需確定)具體

4、的數(shù)值，但可以求出或確定這一問題中某個(gè)量的變化范圍或趨勢(shì)，從而對(duì)所研究問題的全貌有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí) 不等式(組)是探求不等關(guān)系的基本工具，不等式(組)與方程(組)在相關(guān)概念、解法上有著相似點(diǎn)，又有不同之處，主要體現(xiàn)在： 等式、不等式兩者都乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，等式僅需考慮這個(gè)數(shù)是否為零，而不等式不但要考慮這個(gè)數(shù)是否為零，而且還需注意這個(gè)數(shù)的正負(fù)性；解方程組時(shí)，我們可以“統(tǒng)一思想”，即可以對(duì)幾個(gè)方程進(jìn)行“代人”或“加減”式的加工，解不等式組時(shí)，我們只能“分而治之”，即只能分別求出每個(gè)不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式組的解集。一般考察如下內(nèi)容：1、 考查不等式的性質(zhì)：不等號(hào)的是

5、否改變方向2、 重點(diǎn)考查學(xué)生的技巧，如代值，或變成同分母或同分子的情形不等式(組)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在：作差或作商比較數(shù)的大??；求代數(shù)式的取值范圍；求代數(shù)式的最值，列不等式(組)解應(yīng)用題。列不等式(組)解應(yīng)用題與列方程解應(yīng)用題的步驟相仿，一般步驟是：1、弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)；2、找出能夠表示題目全部含義的一個(gè)或幾個(gè)不等關(guān)系；3、列出不等式(組)；4、解這個(gè)不等式(組)，求出解集并作答?！驹囶}匯編】1、（2009第2題）設(shè)a、b、c均為正數(shù)，若，則a、b、c三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（ ）A . c<a<b B. b<c<a C. a<b<c D.

6、c<b<a2、（2009初二第10題）如果關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1、2、3，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)對(duì)（m，n）共有_對(duì)。3、（2008第11題）一次函數(shù)，若使的實(shí)數(shù)的取值范圍是，則使的實(shí)數(shù)x的取值范圍是_。4、（2008第2題）若為正數(shù)，且大，則a的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 5、（2006第1題）已知，且（ ）A . 10 B. 8 C. 6 D. 46、（2006第8題）若x、y、z是正實(shí)數(shù)，且xyz1，則代數(shù)式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值是（ ）A. 64 B. 8 C. D. 7、（2010初二第15題）關(guān)于x，y的方程組：的解x，y滿足：

7、，求k的取值范圍。8、（2010初二第17題）某糧油公司要把240噸大米運(yùn)往、兩地，先用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性裝完這批大米，且每輛車都是滿載，已知這兩種貨車的滿載重量分別為15噸/輛和10噸/輛，運(yùn)往地的運(yùn)費(fèi)為：大車630元/輛，小車420元/輛；運(yùn)往地的運(yùn)費(fèi)為：大車750元/輛，小車550元/輛 （1）求兩種貨車各用多少輛； （2）如果安排10輛貨車前往地，其余貨車前往地，且運(yùn)往地的大米不少于115噸請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使總運(yùn)費(fèi)最少的貨車調(diào)配方案，并求出最少總運(yùn)費(fèi)9、（2008·第15題）有一批貨，如果月初售出，可獲利潤10000元，并可將本利和再去投資，到月末獲利潤2.5%，

8、如果月末售出這批貨，可獲利潤12000元，但要付500元保管費(fèi)，請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)分析，這批貨在月初還是月末售出好？（三）一次方程（組）、分式方程【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、一次方程組2、換元法解方程 3、絕對(duì)值方程【知識(shí)梳理】1、解一些復(fù)雜的方程組(如未知數(shù)系數(shù)較大、方程個(gè)數(shù)較多等)，需要觀察方程組下系數(shù)特點(diǎn)，著眼于整體上解決問題，常用到整體疊加、整體疊乘、設(shè)元引參、對(duì)稱處理、換元轉(zhuǎn)化等方法技巧2、可以通過換元，把復(fù)雜的式子簡(jiǎn)單化3、可構(gòu)造函數(shù)將方程化歸為函數(shù)問題解決；【試題匯編】1、（2009第10題）已知，則_。2、方程的解是（ ）A . B. C. D. 3、（2008第16題）已知x、y滿足：試求代

9、數(shù)式+的值。4、（2008第12題）已知方程組，當(dāng)b 時(shí)，方程組只有一組解。5、（2004第8題）已知4名運(yùn)動(dòng)員體重（以千克為單位）都是整數(shù)，他們兩兩合秤稱體重，共稱5次，稱得重量分別為99、113、125、130、144，其中有兩人沒合稱過，那么這兩人體重較大的是（ ）千克A. 78 B. 66 C. 52 D. 476、（2010第18題）某班進(jìn)行一次智力競(jìng)賽，共a，b，c三題，每題或者得滿分或者得0分，其中題a滿分 20分，題b題c滿分均為40分，競(jìng)賽結(jié)果，每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)一題，三題全對(duì)有3人，答對(duì)其中兩題的有14人，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題b的人數(shù)之和為45，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題c的人

10、數(shù)之和為35人，答對(duì)題b的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為40人，問該班共有多少人，平均成績(jī)是多少? （四）不定方程（組）【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、求不定方程的整數(shù)解2、由已知條件構(gòu)造不定方程【知識(shí)梳理】不定方程(組)是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的方程(組)，其特點(diǎn)是解往往有無窮多個(gè)，不能惟一確定 對(duì)于不定方程(組)，我們往往限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解，加上條件限制后，解就可確定 二元一次不定方程是最簡(jiǎn)單的不定方程，一些復(fù)雜的不定方程(組)常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程問題加以解決，與之相關(guān)的性質(zhì)有： 設(shè)為整數(shù)，則不定方程有如下兩個(gè)重要命題：(1)若(a，b)=d，且d|c，則不定方程沒有整數(shù)解；(2)若

11、是方程且(a，b)=1的一組整數(shù)解(稱特解)，則是方程的全部整數(shù)解(稱通解)解不定方程(組)，沒有現(xiàn)成的模式、固定的方法可循，需要依據(jù)方程(組)的特點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，并靈活運(yùn)用以下知識(shí)與方法；奇數(shù)偶數(shù)，整數(shù)的整除性、分離整系數(shù)、因數(shù)分解。配方利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)、窮舉，乘法公式，不等式分析等【試題匯編】1、（2008第6題）若x、y是正整數(shù)，且滿足，則y的最大值是 （ ）A. 20 B. 40 C. 380 D. 4002、（2009第7題）如圖：三個(gè)天平的托盤中形狀相同的物體質(zhì)量相等，圖(1)，圖(2)所示的兩個(gè)天平處于平衡狀態(tài)，要使第三個(gè)天平也保持平衡，則要在它的右盤中放置（ ）球A . 3個(gè)

12、B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè)3、（2005第6題）在等式的括號(hào)填入適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使等式成立，不同的填法種數(shù)有（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5（五）二次方程、一元二次方程【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、 多元二次方程（未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)）的解法2、 構(gòu)造一元二次方程求解3、 求字母系數(shù)和取值范圍或有關(guān)方程的根的代數(shù)式的值【知識(shí)梳理】1、 換元法，將多個(gè)未知數(shù)用一個(gè)字母表示，或用配方法，利用非負(fù)性來解題2、判別式的應(yīng)用：利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必

13、定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題。3、韋達(dá)定理：若有兩根是， 則； 運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值； 運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征； 利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等。 韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路。4、構(gòu)造一元二次方程模型：（1）利用根的定義構(gòu)造：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個(gè)變?cè)闯墒顷P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程的兩根（2）利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造：若問題中有形如，的關(guān)系式時(shí)，則、可看作方程的兩實(shí)根（3）確定主元構(gòu)造：對(duì)于含有多個(gè)變?cè)牡仁?，可以將等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元

14、二次方程5、解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有： 從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解； 從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)=)，通過窮舉，逼近求解； 從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解； 從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求解注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān)【試題匯編】1、（2009第3題）已知，且則的值是（ ）A. 3 B.3 C. D.以上都不對(duì)2、（201

15、0第15題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的值3、（2009第11題）關(guān)于x的方程的根都是整數(shù)，則的值是_。4、（2009第15題）已知關(guān)于x和方程（1）求證：無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰ABC的一邊長a1，另兩邊的長b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)三角形的周長。5、（2008第3題）若，則（ ）A .4 B . 3 C .4或3 D . 3或4 6、（2007第16題）某購物商場(chǎng)在“十一”黃金周間，將進(jìn)價(jià)為每臺(tái)3200元的彩電出售，若售價(jià)為每臺(tái)4600元，則每天只能售出20臺(tái)，若售價(jià)每臺(tái)高于4600元，則沒有人購買，若每一臺(tái)售價(jià)從

16、4600元起，每下降100元，則每天可多售出10臺(tái)。（1）每臺(tái)彩電售價(jià)定為多少時(shí)，該商場(chǎng)可獲取利潤64000元？（2）有沒有可能獲得大于64000元的利潤？為什么？7、（2006第15題）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求方程的根8、（2003第7題）已知，則的值是（ ）。A. 0 B. 1 C. 1或0 D.不存在9、（2003第13題）已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根。（1）求的取值范圍；（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求的值。10、（2001第1題）1、關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）A . B. C. D. 11、（2001第10題）若方程，則關(guān)于z的方程的根的情況是（ ）A.無實(shí)根

17、B.有兩相等實(shí)根 C.有兩個(gè)不等正根 D.有兩個(gè)不等負(fù)根12、（2001第20題）以和為根，且二次頂系數(shù)為1的一元二次方程是_。13、（2001第21題）已知方程的兩根為，且，求方程：的根。（六）代數(shù)式的運(yùn)算【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、求等式中的字母系數(shù)2、利用公式求代數(shù)式的值3、因式分解4、分式的化簡(jiǎn)求值5、代數(shù)式的恒等變形【知識(shí)梳理】（一）因式分解：1、常用的公式：平方差公式：；完全平方公式：； ； ； ；立方和（差）公式：； ；2、許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。（二）分式：1、分式的意義形如（為整式）

18、，其中B中含有字母的式子叫分式。當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。2、分式的性質(zhì)（1） 分式的基本性質(zhì)： （其中M是不為零的整式）。（2） 分式的符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。（3） 倒數(shù)的性質(zhì)：；若，則（，是整數(shù)）；。3、分式的運(yùn)算分式的運(yùn)算法則有：；（是正整數(shù)）。4、分式的變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用于連比式或連等式），拆項(xiàng)法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等?！驹囶}匯編】1、（2010第1題）下列各式的計(jì)算結(jié)果中，與2010最接近的是： A B

19、C D 2、（2010第9題）已知， 。3、（2009第8題）已知( )A. 4 B .2 C. 2 D. 04、（2008第2題）2、若為正數(shù)，且大，則a的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 5、（2008第10題）已知，則代數(shù)式的值是_。6、（2008第15題）已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A、B、C，求：的值。7、（2007第4題）若x2n + 1+2n，y2n 1+2n 2 其中n為不小于2的整數(shù)，則x與y的關(guān)系為（ ）A、x4y B、y4x C、x12y D、y12x 8、（2007第10題）若a4+b4a22a2b2+b2+6，則a2+b2 9、（2007第12題）若實(shí)數(shù)x、y滿足，

20、則 _ 。10、（2007第9題）若（3x+1）4ax4+bx3+cx2+dx+e，則ab+cd+e 11、（2006第15題）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的值12、（2006第3題）已知四邊形ABCD的邊長分別是a、b、c、d，且，則此四邊形是（ ）A.任意四邊形 B.正方形 C.梯形 D.菱形13、（2005第4題）ABC的三條邊長分別是a、b、c，且且滿足，則ABC的形狀是（ ）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形14、（2005第15題）已知都是實(shí)數(shù)，且，求的值15、（2003第1題）分解因式：_。16、（2001第18題）18、分解因式：_。（七）統(tǒng)計(jì)與概率【競(jìng)賽

21、熱點(diǎn)】1、統(tǒng)計(jì)圖表2、列舉法求概率3、與其他知識(shí)的整合【知識(shí)梳理】1、熟悉折線統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖2、平方數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等的應(yīng)用。3、古典概率模型的概率?！驹囶}匯編】1、（2010第6題）某校初三運(yùn)動(dòng)隊(duì)為了備戰(zhàn)校運(yùn)動(dòng)會(huì)需要購置一批運(yùn)動(dòng)鞋。已知該隊(duì)伍有20名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)表如下表：由于不小心弄臟了表格，有兩個(gè)數(shù)據(jù)看不到。鞋碼3839404142人數(shù)532下列說法中正確的是 A這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定是40，眾數(shù)是39 B這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)一定相等C這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比39大，比40小 D以上說法都不對(duì)2、（2010第13題）學(xué)生王芳、李聰、張濤三人競(jìng)選學(xué)校的學(xué)生會(huì)主席，選舉時(shí)收到有效

22、選票1500張，統(tǒng)計(jì)其中1000張選票的結(jié)果如圖（方框上方數(shù)字表示得票數(shù)），則李聰在剩下的500張選票中只要再得 _票，就可確保以得票最多當(dāng)選該校的學(xué)生會(huì)主席. （第3題圖）（第2題圖）3、（2010第14題）六個(gè)面上分別標(biāo)有1，1，2，3，3，5六個(gè)數(shù)字的均勻立方體的表面如圖所示，擲這個(gè)立方體一次，記朝上一面的數(shù)為平面直角坐標(biāo)系中某個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，朝下一面的數(shù)為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)。按照這樣的規(guī)定，每擲一次該小立方體，就得到平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。已知小明前再次擲得的兩個(gè)點(diǎn)能確定一條直線，且這條直線經(jīng)過點(diǎn)P（4，7），那么他第三次擲得的點(diǎn)也在直線上的概率是_。4、（2009第5題）如圖，圖某城市十二月份

23、1到10日的最低氣溫隨時(shí)間變化的圖象；圖是這十天中最低氣溫天數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖；則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A 圖中0ºC的條形框高度為2 B 這十天最低氣溫的眾數(shù)是2ºCC 這十天最低氣溫的平均數(shù)是0ºC D 這十天最低氣溫的中位數(shù)是1ºC5、（2007第5題）如圖（2）所示的正方形ACDE花園中，ABGF是正方形，AB為2米，BC為3米，則小鳥任意落下，落在陰影部分中的概率為（ ）A、 B、 C、 D、 6、（2006第7題）某人寫了3封信，和3個(gè)信封，然后把3封信隨意地裝入3個(gè)信封，則至少有一封信裝對(duì)了地址的概率是（ ）A . B. C. D . 7、（2

24、006第11題）11、已知的平均數(shù)是a，方差是b，則的方差是_。8、（2005第12題）隨意從放4個(gè)紅球和1個(gè)白球的口袋中摸出一個(gè)球，再放回袋中攪勻后再摸出一個(gè)，則兩次摸到的球都是紅球的概率是_。9、（2004第12題）一個(gè)袋中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球和兩個(gè)小立方體，兩個(gè)球除了顏色外都相同，兩個(gè)立方體一個(gè)涂紅，一個(gè)涂黃，除此外都相同，從袋中摸出一個(gè)球和一個(gè)立方體，摸出2個(gè)都是黃顏色的概率是_。（八）等腰三角形【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、 等腰三角形的定義2、 等腰三角形的性質(zhì)【知識(shí)梳理】（一）等腰三角形的性質(zhì) 1、有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等

25、角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形； 2、 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1、 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角

26、形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 2、 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。 3、 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，

27、所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來定。（第5題圖）【試題匯編】1、（2010第5題）如圖，等腰直角三角形ABC中，則的周長為A.4 B.6 C. D.2、（2009第4題）在平面坐標(biāo)系xoy內(nèi)，已知A（3，3），點(diǎn)P是x軸上的一點(diǎn)，則使AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有（ ）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C . 4個(gè) D. 5個(gè)3、（2008第2題）如圖（1）在ABC中，ABAC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BDBCAD，則A等于（ ）A、30&#

28、186; B、36º C、45º D、72º4、（2008第7題）如圖，在ABC中，ABAC，ABNMBC，BMMN，則tanNBC( )A . B. C. D. 15、（2008第6題）6、在等腰三解形ABC中（ABACBC），所有一平面內(nèi)，使得PAB，PAC，PBC都是等腰三解形，則滿足此條件的點(diǎn)有（ ）個(gè)A . 1 B. 2 C. 4 D. 66、（2005第5題）等腰三解形的一腰上的高等于該三角形一邊的長度的一半，則這個(gè)三角形的頂角為（ ）A. 30º B. 30º或150º C. 120º或150º D.

29、 30º或120º或150º7、（2005第8題）如圖（1）在RTABC中，BAC90º，ABAC，D為AC的中點(diǎn)，AEBD交BC于E，連結(jié)ED，若BDE，則ADB的大小是 A. B. 90º C. D. 8、（2003第10題）在正五邊形ABCDE所在平面的直線BE上能找到點(diǎn)P，使得PCD與BCD的面積相等，并且ABP為等腰三角形，這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè) A. 2 B. 3 C. 4 D . 59、（2001第3題）等腰三角形ABC中，頂角B為，ABC的面積為，則ABC的腰長為（ ）A . 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D.

30、4 cm（九）直角三角形、勾股定理【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、利用勾股定理求線段長度2、利用勾股定理構(gòu)造方程3、在全等、相似、求面積問題中的應(yīng)用4、一些常見勾股數(shù)的考察【知識(shí)梳理】一、直角三角形的判定：1、有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形兩銳角互余2、直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半3、直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半；4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c25.直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對(duì)于角的影響在A

31、BC中，(1)若c2a2b2，則C90°；(2)若c2a2b2，則C90°；(3)若c2a2b2，則C90°勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用5、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2那么這個(gè)三角形是直角三角形6、勾股數(shù)的定義：如果三個(gè)正整數(shù)a、b、c滿足等式a2b2c2，那么這三個(gè)正整數(shù)a、b、c叫做一組勾股數(shù)。簡(jiǎn)單的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41?！驹囶}匯編】1、（2009第12題）如圖一個(gè)長為5米的梯子斜靠在

32、垂直于地面的墻上，把梯子的底端向墻堆進(jìn)1米，恰好梯子的頂端上滑1米，那么最初梯子的頂端離地面的高度是_米。2、（2008第13題）如圖，等腰直角三角形ABC中，斜邊AB上有兩點(diǎn)M、N，MCN45º，AM5，BN12，則MN 。3、（2005第13題）設(shè)ABC的重心為G，且GA，GB，GC，則ABC的面積是_。4、（2003第1題）在ABC中，ACB90º，CDAB于D，ACb，BCa，CDh，則以(a+b)、h、(c+h)為邊的三角形是_三角形。5、（2003第22題）如圖：ABC中，AB2，AC，且A、B、D三點(diǎn)共線，求BC的長及BDC的面積（十）面積問題【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、

33、面積比 線段比 線段比的相互轉(zhuǎn)化2、一個(gè)圖形分成幾個(gè)圖形的面積之和3、面積倍分問題，利用三角形的相似比求解4、面積的函數(shù)關(guān)系式問題5、面積的最值問題【知識(shí)梳理】1、利用三角形的等底或等高將三角形的高的比或底的比轉(zhuǎn)化為面積比，或反之2、要求面積，先要有直角，要將一個(gè)多邊形分成幾個(gè)有直角的圖形3、考查面積比是相似比的平方4、利用相似構(gòu)造函數(shù)，利用面積的函數(shù)關(guān)系式求最值，往往用到二次函數(shù)求最值問題?！驹囶}匯編】1、（2010第4題）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DEF的面積等于2，則此正方形的面積等于 A6 B 12 C16 D 202、（2006第17題）正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)M

34、、N分別在邊BC、CD上，使CMN的周長為2，求（1）MAN的大小（2）AMN的面積的最小值。3、（2009第13題）如圖，ABC中，AB2AC，P是線段BC的黃金分割點(diǎn)，（BP>BC），PEAC，PFAB，則_。4、（2008第8題）8、如圖（2）ABC的面積是8，AB8，AEAC，BFBC，EACFBC，則四邊形EABF的面積為（ ）A. 16 B. 20 C. 24 D. 325、（2007第18題）如圖，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，G是AD（不包括A、D兩點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，BG、CG的延長線分別交AC、AB于點(diǎn)F、E，（1）求證：；（2）設(shè)，用含x的代數(shù)式表示，并求出它的最大值。

35、6、（2006第5題）如圖（2）已知點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則（ ）A . 5 B. 4 C. 3 D. 27、（2006第13題）如圖（4）正方形ABCD的面積為1，M是AD的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是_。8、（2004第6題）如圖（2）ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在三邊上，AD、BE、CF交于一點(diǎn)G，BD2CD，若面積，則（ ）A. 24 B. 28 C. 30 D. 459、（2003第6題）在如圖所示的半圓中，四邊形ABCD、AFGH都是正方形，記四邊形AFGH、BCKH的面積分別為，則與的大小關(guān)系是_。10、（2003第11題）在矩形ABCD的邊BC、CD上有P、Q兩點(diǎn)，使A

36、BP，PCQ，ADQ的面積分別為4，6，8，則矩形ABCD的面積為（ ） A . 16 B. 32 C. 24 D. 6411、（2001第12題）在所有斜邊為1的直角三角形中，最大的面積是（ ） A . B. C. D. 112、（2004第16題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB6cm，BC8cm，將它沿EF折疊，使C與A重合，求：（1）折痕EF的長，（2）若將折疊后的紙片放在桌面上，則紙片覆蓋桌面的面積是多少？（十一）最值問題【競(jìng)賽熱點(diǎn)】1、利用非負(fù)性求最值2、利用函數(shù)關(guān)系求最值3、利用軸反射求最值【知識(shí)梳理】求某個(gè)量、或者幾個(gè)量的和、差、積、商的最大值和最小值，是數(shù)學(xué)問題中的一種常見類型

37、，又在實(shí)際生活與生產(chǎn)實(shí)踐中，我們經(jīng)常碰到一些帶有“最”字的問題，如投入最少、路程最短、材料最省等，這些問題我們稱之為最值問題，在現(xiàn)階段，解這類問題的基本知識(shí)與基本方法有：1、窮舉獲??；2、運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)；3、利用不等分析逼近求解；4、使用幾何公理、定理、性質(zhì)等5、利用軸反射求最值（株洲競(jìng)賽熱點(diǎn)）解這類問題時(shí)，既要說明最值可以達(dá)到，又要證明不可能比所求的值更大(或更小)，前者需構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦?，后者需要詳?xì)說理【試題匯編】1、（2008第6題）若x、y是正整數(shù)，且滿足，則y的最大值是 （ ）A. 20 B. 40 C. 380 D. 4002、（2006第8題）若x、y、z是正實(shí)數(shù)，且xyz1，則代數(shù)式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值是（ ）A. 64 B. 8 C. D. 3、（2009初二第13題）如圖，在等腰RtABC中，CACB3，E是BC上一點(diǎn)，滿足CE1，P是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PCPE的最小值是_；4、（2007第7題）如圖（4），在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A（4、5），B（8、3）、C（m，0）、D（0，n），當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí)，m與n值分別為（ ）A、與 B