中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)

1、微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造1 原函數(shù)法此法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點：(1)將要證的結(jié)論中的換成；(2)通過恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號），并取積分常數(shù)為零；(4)移項使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)例1：證明柯西中值定理分析：在柯西中值定理的結(jié)論中令，得，先變形為再兩邊同時積分得，令，有故為所求輔助函數(shù)例2：若,是使得的實數(shù)證明方程在（0，1）內(nèi)至少有一實根證：由于并且這一積分結(jié)果與題設(shè)條件和要證明的結(jié)論有聯(lián)系，所以設(shè)（?。瑒t1）在0，1上連續(xù)2）在（0，1）

2、內(nèi)可導(dǎo)3）=0， 故滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，存在使，即亦即 這說明方程在（0，1）內(nèi)至少有實根 2 積分法對一些不易湊出原函數(shù)的問題，可用積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù) 例3：設(shè)在1，2上連續(xù)，在（1，2）內(nèi)可導(dǎo)，證明存在使分析：結(jié)論變形為，不易湊成我們將換為，結(jié)論變形為，積分得：，即，從而可設(shè)輔助函數(shù)為，有本題獲證例4：設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可微，證明存在，使得：證：將變形為，將換為，則，兩邊關(guān)于積分，得： ，所以，其中，由可得由上面積分的推導(dǎo)可知，為一常數(shù)，故其導(dǎo)數(shù)必為零，從整個變形過程知，滿足這樣結(jié)論的的存在是不成問題的因而令，易驗證其滿足羅爾定理的條件，原題得證3 幾何直觀法此法是通過

3、幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的關(guān)系，從而建立適當?shù)妮o助函數(shù)例5：證明拉格朗日中值定理分析：通過弦兩個端點的直線方程為，則函數(shù)與直線AB的方程之差即函數(shù)在兩個端點處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)例6：若在上連續(xù)且試證在內(nèi)至少有一點，使分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續(xù)函數(shù)的圖形曲線必跨越這一條直線，而兩者的交點的橫坐標，恰滿足進而還可由圖知道，對上的同一自變量值，這兩條曲線縱坐標之差構(gòu)成一個新的函數(shù)，它滿足<0,>0,因而符合介值定理的條件當為的一個零點時，恰等價于因此即知證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)4 常數(shù)k值法此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為

4、以下四點：1） 將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為2） 恒等變形使等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式3）觀察分析關(guān)于端點的表達式是否為對稱式若是，則把其中一個端點設(shè)為，相應(yīng)的函數(shù)值改為4）端點換變量的表達式即為輔助函數(shù)例7：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證存在一點，使等式成立分析：將結(jié)論變形為，令，則有，令，可得輔助函數(shù)例8：設(shè)在上存在，在，試證明存在，使得分析：令，于是有，上式為關(guān)于，三點的輪換對稱式，令（or：，or：），則得輔助函數(shù)5 分析法分析法又叫倒推法，就是從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論例9：設(shè)函數(shù)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（0，1）內(nèi)

5、存在一點，使得分析：所要證的結(jié)論可變形為：，即，因此可構(gòu)造函數(shù)，則對與在0，1上應(yīng)用柯西中值定理即可得到證明例10：設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且=0，對任意有證明存在一點使（為自然數(shù)）成立分析：欲證其成立，只需證由于對任意有，故只需證：即，于是引入輔助函數(shù)（為自然數(shù)）例11：設(shè)函數(shù)在區(qū)間0，+上可導(dǎo)，且有個不同零點：試證在0，+內(nèi)至少有個不同零點（其中，為任意實數(shù)）證明：欲證在0，+）內(nèi)至少有個不同零點，只需證方程=0在0，+內(nèi)至少有個不同實根因為，故只需證方程在內(nèi)至少有個不同實根引入輔助函數(shù)，易驗證在區(qū)間，上滿足羅爾定理的條件，所以，分別在這個區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，得，其中且以

6、上說明方程在0，+內(nèi)至少有個不同實根，從而證明了方程=0在0，+內(nèi)至少有個不同實根6 待定系數(shù)法在用待定系數(shù)法時，一般選取所證等式中含的部分為，再將等式中一個端點的值換成變量，使其成為函數(shù)關(guān)系，等式兩端做差構(gòu)造輔助函數(shù)，這樣首先可以保證=0，而由等式關(guān)系=0自然滿足，從而保證滿足羅爾定理條件，再應(yīng)用羅爾定理最終得到待定常數(shù)與之間的關(guān)系例12：設(shè)是上的正值可微函數(shù)，試證存在，使證明：設(shè)，令容易驗證在 上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理，存在使，解得，故例13：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點使證明：將所證等式看作，設(shè)，令，則滿足羅爾定理條件，由羅爾定理得，存在一點，使，即，若=0，則，結(jié)論成立；若，則，從而有例14：設(shè)，則存在使分析：對于此題設(shè)作函數(shù)應(yīng)用羅爾定理可得存在，使，即，從而，這樣并不能證明原結(jié)論，遇到這種情況，說明所作的輔助函數(shù)不合適，則需要將所證明的等式變形，重新構(gòu)造輔助函數(shù)證明：將所證等式變形為，設(shè)，令，則滿足羅