數(shù)值分析-牛頓-科特斯公式

1、編輯課件1第第2章章 數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值積分與數(shù)值微分牛頓牛頓-科特斯科特斯(Newton-Cotes)公式公式及其復(fù)合求積公式及其復(fù)合求積公式編輯課件2牛頓牛頓- -科特斯公式科特斯公式q 等距節(jié)點的插值型求積公式稱為等距節(jié)點的插值型求積公式稱為牛頓牛頓- -科特斯公式科特斯公式：取等距節(jié)點：取等距節(jié)點：xi = a + i h， ，i = 1, 2, , nnabh令令 x = a + t h 得：得： baijjijbaiixxxxxxxld d)(Anbaxfxxf0kkk)(Ad)(q 插值型求積公式插值型求積公式baxxld)(Akk其中其中 nijthjijt0d njiin

2、dtjtininab0)()!( !)1)(編輯課件3牛頓牛頓- -科特斯公式（續(xù)）科特斯公式（續(xù)）注：注：Cotes 系數(shù)系數(shù)僅取決于僅取決于 n 和和 i，可通過查表得到?？赏ㄟ^查表得到。與被積函數(shù)與被積函數(shù) f (x) 及積分區(qū)間及積分區(qū)間 a, b 均無關(guān)。均無關(guān)。 njiinidtjtininab0)()!( !) 1)(A科特斯科特斯(Cotes)系數(shù)系數(shù))(niCq 牛頓牛頓- -科特斯公式科特斯公式：niinibaxfCabxxf0)()()(d)(編輯課件4幾個常見公式幾個常見公式21,21)1(1)1(0 CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba 代數(shù)精度代數(shù)

3、精度 = 1梯形求積公式梯形求積公式n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3拋物線求積公式拋物線求積公式Simpson求積公式求積公式n = 4:)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba科特斯科特斯(Cotes)求積公式求積公式4/ )( ,abhhiaxiTSC編輯課件5科特斯系數(shù)表科特斯系數(shù)表編輯課件6系數(shù)特點和穩(wěn)定性系數(shù)特點和穩(wěn)定性q 科特斯系數(shù)具有以下特點：科特斯系數(shù)具有以下特點：(1) 10)(niniC(2) )()(ninniCC(

4、3) 當當 n 8 時，出現(xiàn)負數(shù)，時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證穩(wěn)定性得不到保證。而且。而且當當 n 較大時，由于較大時，由于Runge現(xiàn)象，現(xiàn)象，收斂性也無法保證收斂性也無法保證。故故一般一般不采用不采用高階的牛頓高階的牛頓- -科特斯求積公式科特斯求積公式。q 當當 n 7 時，牛頓時，牛頓- -科特斯公式是穩(wěn)定的?？铺厮构绞欠€(wěn)定的。編輯課件7牛頓牛頓- -科特斯公式的代數(shù)精度科特斯公式的代數(shù)精度定理定理當當 n 為偶數(shù)時，牛頓科特斯公式至少有為偶數(shù)時，牛頓科特斯公式至少有 n+1 階階代數(shù)精度。代數(shù)精度。證證：只要證明當只要證明當 n 為偶數(shù)時，公式對為偶數(shù)時，公式對f (x)xn+1

5、精確成立。精確成立。xxxnffRniiband )( )!1()(0)1( 由插值型求積公式的誤差公式得由插值型求積公式的誤差公式得 d )(0 baniixxx作變量代換作變量代換 x = a + t h，并將，并將 xi = a + i h 代入得代入得 d )(002 nnintithfR再作變量代換再作變量代換 t = n - s，得，得 )d( )(002 nninsisnhfR d )()1(0021 nninnsinsh又又niniisins00)(fRfR0fRn 偶數(shù)偶數(shù)編輯課件8余項余項q 梯形公式的余項梯形公式的余項xbxaxfTxxfRbaxbaTd )( ! 2)(

6、d )( xbxaxfbad )()(21 )()(1213 fab 中值定理中值定理q Simpson公式的余項公式的余項SxxfRbaS d )(xbxxaxfbabaxd )()( ! 4)(22)4( xbxxaxfbabad )()()(24122)4( )()(28801)4(5 fab 三次三次Hermite插值插值 babadxxgfdxxgxfbabaxgbaxgxf)()()()(,)(,)(),( 使得使得則則上不變號上不變號在在且且上連續(xù)，上連續(xù)，均在均在積分中值定理積分中值定理編輯課件9余項的一般形式余項的一般形式 nnnnbatntttnnfabfQxxf023)2

7、(3d )()1()!2()()(d )( 定理定理(1) 若若 n 為偶數(shù)，為偶數(shù)， f (x) Cn+2a, b ，則存在，則存在 (a, b) 使得使得設(shè)設(shè) ，則有，則有 niinixfCabfQ0)()()(2) 若若 n 為奇數(shù)，為奇數(shù)， f (x) Cn+1a, b ，則存在，則存在 (a, b) 使得使得 nnnnbatntttnnfabfQxxf022)1(2d )()1()!1()()(d )( 編輯課件10舉例（一）舉例（一）q 例：例：分別用梯形公式和分別用梯形公式和simpson公式計算積分公式計算積分 10dxe-x解：解：a0, b1, f (x) = e -x ，

8、由由 simpson 公式可公式可得得 6323. 0461)()(4)(615 . 002 eeebffafabSba 6839. 021)()(210 eebfafabT由由梯形公式可梯形公式可得得 與精確值與精確值 0.6321 相比相比得誤差分別為得誤差分別為 0.0518 和和 0.0002。編輯課件11復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式q 提高積分計算精度的常用兩種方法提高積分計算精度的常用兩種方法 用用 復(fù)合公式復(fù)合公式 用用 非等距節(jié)點非等距節(jié)點q 復(fù)合求積公式：復(fù)合求積公式：將積分區(qū)間分割成多個小區(qū)間，然將積分區(qū)間分割成多個小區(qū)間，然后在每個后在每個小區(qū)間小區(qū)間上使用低次牛頓科特斯求積

9、公式。上使用低次牛頓科特斯求積公式。q 將將a, b 分成分成 n 等分等分 xi , xi+1 ，其中節(jié)點，其中節(jié)點(i = 0, 1, , n)nabhhiaxi ,編輯課件12復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式q 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式:)()(2d )(d )(110101 iibaninixxxfxfhxxfxxfii )()(2)(2d )(11bfxfafhxxfniibaTnq 余項：余項： 103)(12niinfhTfI 103)(12niifh 10)(1)(niifnf )(122 fhab ， (a, b)編輯課件13復(fù)合復(fù)合simpson公式公式q 復(fù)合復(fù)合simpson公

10、式公式: )()(2)(4)(6d )(111021bfxfxfafhxxfniiniibaSn)()(4)(6d )(11021 iiibanixfxfxfhxxfq 余項：余項： 10)4(5)(2880niinfhSfI 10)4(5)(2880niifh 10)4()4()(1)(niifnf )(2880)4(4 fhab ， (a, b)kx21 kx1 kx44444編輯課件14復(fù)合科特斯公式復(fù)合科特斯公式q 復(fù)合復(fù)合cotes公式公式:Cnq 余項：余項： )(12)(32)(790d )(10102141niiniibaxfxfafhxxf )(7)(14)(32111043

11、bfxfxfniinii)(4945)( 2)6(6 fhabCfIn ， (a, b)編輯課件15舉例（二）舉例（二）解：解：q 例：例：設(shè)設(shè) ，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合形公式和復(fù)合simpson公式計算積分公式計算積分 xxxfsin)( 10dsinxxxxi01/82/83/84/85/86/87/81.0f (xi )10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.8419456909. 0)()(2)(16187108 xfxfxfTii )()()()(4)(241753104xfxfxfxfxfS 946

12、0832. 0)()()()(28642 xfxfxfxf編輯課件16h 很小時的誤差很小時的誤差 103)(12niinfhTfI i (xi, xi+1 ) 102)(121niinhfhTfI xxfbad )(121 (h 0)定積分定義定積分定義即即 )()(122afbfhTfIn 同理同理 )()(21801)3()3(4afbfhSfIn )()(49452)5()5(6afbfhCfIn 編輯課件17 收斂速度與誤差估計收斂速度與誤差估計定義定義 若一個積分公式的誤差滿足若一個積分公式的誤差滿足 且且C 0，則稱該公式是則稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 ChfRphli

13、m0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例：例：計算計算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502運算量基運算量基本相同本相同編輯課件18Q: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 n ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12)(1222afbfhdxxfhba 上例中若要求上例中若要求 ，則，則610|

14、nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949.0 h即：取即：取 n = 409編輯課件19通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷對分不斷對分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 時，時，T512 = 3.14159202注意到區(qū)間再次對分時注意到區(qū)間再次對分時412)()(12122fRhafbffRnn 412 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用來判斷迭代可用來判斷迭代 是否停止。是否停止。Q: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 n ?編輯課件202.3 龍貝格算法龍貝格算法n梯形法的遞推化梯形法的遞推化n龍

15、貝格算法龍貝格算法n理查森外推加速法理查森外推加速法編輯課件211 梯形法的遞推化梯形法的遞推化方法思路方法思路 : :復(fù)化求積方法可提高求積精度，實際計算復(fù)化求積方法可提高求積精度，實際計算時可以將步長逐次分半。時可以將步長逐次分半。在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間 x xk k,x,xk+1k+1 經(jīng)過二分只增加了一經(jīng)過二分只增加了一個分點個分點x xk+1/2k+1/2=1/2(x=1/2(xk k+x+xk+1k+1),),用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為求得該子區(qū)間上的積分值為)()(2)(412/1kkkxfxfxfh編輯課件22注意，這里h=(a+b)/n代表二分前的

16、步長。將每個子區(qū)間上的積分值相加得1010214)()()(21nknkkhkkhxfxfxfT從而可導(dǎo)出下列遞推公式從而可導(dǎo)出下列遞推公式10)(22121nkknxfhTT1 梯形法的遞推化梯形法的遞推化編輯課件23 龍貝格算法龍貝格算法龍貝格積分法是在計算梯形和序列的龍貝格積分法是在計算梯形和序列的基礎(chǔ)上應(yīng)用了線性外推的加速方法，基礎(chǔ)上應(yīng)用了線性外推的加速方法，由此構(gòu)成的一種具有超線性收斂的自由此構(gòu)成的一種具有超線性收斂的自動積分法動積分法 編輯課件24基本思想基本思想根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項表達式可知),(),(122bafhabTIn ),(),()(12222bafabTIhn ，則

17、有假定)()(ff 412nnTITI編輯課件25將上式移項整理，可得將上式移項整理，可得)(3122nnnTTTI可以做這樣的補償可以做這樣的補償nnnnnnSTTTTTT3134)(31222基本思想基本思想編輯課件26同理同理1612nnSISI由此得到由此得到nnnCSSI15115162同理同理nnnCCR63163642基本思想基本思想編輯課件27由此法，可得如下三角形數(shù)表由此法，可得如下三角形數(shù)表梯形梯形辛卜生辛卜生柯特斯柯特斯龍貝格龍貝格T0T3T2T1S0 S2S1 C0 C1 D0基本思想基本思想編輯課件28樣條插值積分樣條插值積分q 用三次樣條插值函數(shù)用三次樣條插值函數(shù)

18、S(x) 近似被積函數(shù)近似被積函數(shù) f (x) ，從而得到樣條插值積分公式。從而得到樣條插值積分公式。nabh(i = 0, 1, , n) 將將a, b 分分 n 等分等分 ， ，hiaxi 設(shè)設(shè) S(xi)mi ，則，則 S (x) 在在 xi , xi+1 上為滿足以下條件上為滿足以下條件的三次多項式：的三次多項式：)()( ),()(11iiiixfxSxfxS11)( ,)(iiiimxSmxS，由三次由三次 Hermite 插值多項式公式插值多項式公式（P.46）可得可得)()(2)(1)(213iiixfxxhxxhxS1122212)()(1)(1iiiiiimxxxxhmxxxxh)()(2)(11123iiixfxxhxxh編輯課件29樣條插值積分（續(xù)）樣條插值積分（續(xù)）于是有于是有)(8)()(21)(1121iiiiimmhxfxfxS 由于由于 S (x) 在在 xi , xi+1 上為三次多項式，所以上為三次多項式，所以simpson公式精確成立，即公式精確成立，即)(12)()(2