函數的連續(xù)性(課件)

1、四、函數的連續(xù)性四、函數的連續(xù)性1.函數的增量函數的增量.x,xxx),x(Ox,)x(O)x( f0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內有定義內有定義在在設函數設函數 .)(),()(0的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數數xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy (一一)、連續(xù)的定義、連續(xù)的定義2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義.x)x(f),x(f)x(flim ,DxD,f(x)y 9 . 200 xx00連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱若若的的定定義義域域為為設設函函數數定定義義 .)x( fx0的連續(xù)點的連續(xù)點稱為稱為:A)x(

2、flim0 xx定義的區(qū)別在于定義的區(qū)別在于與與 .x)x( f )1(:A)x( flim0 xx0可以無定義可以無定義在在 )x( fA)x( fA)2(00 或或,xxx0 設設),()(0 xfxfy , 0 xxx0 就是就是. 0y)x( f)x( f0 就是就是0ylim )x( f)x( flim9 . 20 x0 xx0 可寫成可寫成中中定義定義.x)x(f, 0ylim ,DxD,f(x)y :9 . 200 x0連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱若若的的定定義義域域為為設設函函數數可可寫寫成成定定義義 201yxxx例： 證明在處連續(xù)22000020020limlimlim2() 0

3、xxxyxxxxxxyxxx證明：在處連續(xù)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數試證函數 xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2.9知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數 xxf),0()(lim0fxfx 3.單側連續(xù)單側連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數若函數xxfxfxfxaxf 性質性質2.14)x( f)0 x( f)0 x( fx)x( f0000 處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且

4、內有定義內有定義在在若函數若函數xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數故函數 xxf4.連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間:b, a)x( f上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.若若f(x)在定義域內連續(xù)在定義域內連續(xù),則稱則稱f(x)為連續(xù)函數為連續(xù)函數.

5、定理定理2.3: 基本初等函數在定義域內都是連續(xù)的基本初等函數在定義域內都是連續(xù)的.f(x)在在(a,b)內連續(xù)內連續(xù):連續(xù)連續(xù)在在00 x)x( f),b, a(x 連續(xù)連續(xù)在在)b, a()x( f )1()a( f)x( flim )2(ax )b( f)x( flim )3(bx (二二)、函數的間斷點及類型、函數的間斷點及類型:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數函數xxf;)()1(0處處有有定定義義在在點點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()().()(lim)3()(lim)2(.,

6、)() 1 (,)(:00000000或間斷點的不連續(xù)點為并稱點或間斷處不連續(xù)在點函數則稱存在但不等于不存在無定義但在的去心鄰域內有定義在處滿足下面三條件之一在設定義xfxxxfxfxfxfxxxfxxfyxxxx._,_)1x)(2x(4x2)x(xf(x) 32間斷點為間斷點為個個的間斷點個數為的間斷點個數為例例 1x=2例例4 4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數討論函數 xxxxxxfoxy.)(,)(00的第一類間斷點的第一類間斷點為函數為函數則稱點則稱點在在存存處的左、右極限都處的左、右極限都在點在點如果如果xfxxxf1.第一類間斷點第一類間斷點1)跳躍間

7、斷點跳躍間斷點)0()0(00 xfxf2)可去間斷點可去間斷點.)x( fxx)x( f )2( ),x( fA)1(,A)x( flim000 xx0的可去間斷點的可去間斷點為函數為函數則稱點則稱點處無定義處無定義在點在點或或但但 注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義數的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.例例5 5的連續(xù)性的連續(xù)性在在討論函數討論函數1x, 1x, x11x, 1x0, 1,x2)x( f oxy112xy 1xy2 2)(lim1 xfx),1(f .0為函數的可去間斷點為函數的可去間斷點 x, 2)1( f令

8、令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy1122.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數為函數則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為函數的第二類間斷點x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例7 7.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數討論函數 xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1s

9、inlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.點這種情況稱為振蕩間斷注意注意 不要以為函數的間斷點只能是不要以為函數的間斷點只能是個別的幾個點個別的幾個點. , 0, 1)(是是無無理理數數時時當當是是有有理理數數時時當當xxxDy狄利克雷函數狄利克雷函數在定義域在定義域R內每一點處都間斷，且都是第二類間斷點。內每一點處都間斷，且都是第二類間斷點。 , 1, 1)(是是無無理理數數時時當當是是有有理理數數時時當當xxxf在定義域在定義域 R內每一點處都間斷內每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù)但其絕對值處處連續(xù).12/16例例8 8.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處

10、連續(xù)在在函數函數取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解xcoslim)00( f0 x , 1 )xa(lim)00( f0 x , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數 xxf, 1 a(三三)、連續(xù)函數的性質、連續(xù)函數的性質.x)0)x(g()x(g)x( f),x(g)x( f),x(g)x( f,x)x(g),x( f000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數若函數 .x)x( f),x(f),0)x( f ( )x( f1:02連續(xù)連續(xù)在在可得可得 例如例如,), 0()0,

11、(1內連續(xù)內連續(xù)在在 xu,),(sin內連續(xù)內連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內連續(xù)內連續(xù)在在 xy結論結論: : 一切初等函數在其一切初等函數在其定義區(qū)間定義區(qū)間內都是連續(xù)的內都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間. .)x()x( f)x( flim00 xx0定義區(qū)間定義區(qū)間故有故有 .x)x(g f,)x(gu)u( f,xg(x) 0000連續(xù)連續(xù)在在則則點連續(xù)點連續(xù)在在點連續(xù)點連續(xù)在在若若 復合函數的連續(xù)性復合函數的連續(xù)性(四四)、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質定理定理1 (有界性定理有界性定理)設設f(x)在在a

12、,b上連續(xù)上連續(xù),則則f(x) 在在a,b上有界上有界.)b, a(),b, ab, a(b, a:結論未必成立結論未必成立或或改成改成若若注意注意1 , 0(x1y:在在如如 連續(xù)但無界連續(xù)但無界例如例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數是函數則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數上有定義的函數對于在區(qū)間對于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 定義定義:定理定理2 (最大最大、最小值定理最小值定理)設設f(x)在在a,b上連續(xù)上連

13、續(xù),則則f(x) 在在a,b上可取到最大值上可取到最大值,最小值最小值.)( f)x( fminm, )( f)x( fmaxM,2b,ax21b,ax1 即即ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211 2.若區(qū)間內有間斷點若區(qū)間內有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.Th3 (介值定理介值定理)c)x( f,b, ax,M,mc,m,M,b, a)x( f00 使使一定一定則則最小值最小值分別為其最大分別為其最大連續(xù)連續(xù)在在設設MCmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy

14、.)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 幾何解釋幾何解釋:定義定義: :.)(, 0)(000的零點的零點稱為函數稱為函數則則使使如果如果xfxxfx .),(0)(內至少存在一個實根內至少存在一個實根在在即方程即方程baxf 推論推論(零點存在定理零點存在定理)0)x( f),b, a(x, 0)b( f)a( f ,b, a)x( f00 使使則則連續(xù)連續(xù)在在設設ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側軸的不同側端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(

15、xfy 注意注意(1) 若若f(x)在在a,b上單調上單調,則只有唯一零點則只有唯一零點.ab1 xyo)(xfy (2)若若a,b改為改為(a,b)結論未必成立結論未必成立. 2x 12x1 x 1x 1)x( f:如如在在(1,2)連續(xù)連續(xù),但但Th2.6不成立不成立.xyo)(xfy 211-1例例1 1.)1 , 1(x22x內必有實根內必有實根在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 證證,x2)x( f2x 令令,1 , 1)x( f上連續(xù)上連續(xù)在在則則 , 021)1( f 又又, 01)1( f 由零點定理由零點定理,使使),1 , 1( , 0)( f.)1 , 1(x22x內必有實根內

16、必有實根在區(qū)間在區(qū)間方程方程 例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即000)(),1 , 0(:0,1,x1,f(x)0,0,1f(x) 3xxfx使證且滿足連續(xù)在設例x)x( f)x(F 令令證證:在在0,1連續(xù)連續(xù),01-f(1)F(1)0,f(0)F(0) 由零點定理由零點定理使使),1 , 0(x0 000

17、x)f(x , 0)x(F 即即(五五)、 小結小結1.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數區(qū)間上的連續(xù)函數;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x連續(xù)函數的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數的和差積商的連續(xù)性.復合函數的連續(xù)性復合函數的連續(xù)性.初等函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性.求

18、極限的又一種方法求極限的又一種方法.反函數的連續(xù)性反函數的連續(xù)性.四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數連續(xù)函數這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內內連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內內必必有有零零點點.思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數例函數 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內連續(xù)內連續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內內無無零零點點.一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個正根，并且它不超過少有一個正根，并且它不超過ba . . 二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)， bxxxan 21 則在則在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21 . . 練練 習習 題題思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？但