華南理工信號與系統(tǒng)課件-第7章

1、第第7章章 采樣采樣Sampling本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1.如何用連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間樣本來表示連如何用連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間樣本來表示連續(xù)時(shí)間信號續(xù)時(shí)間信號采樣定理。采樣定理。2.如何從采樣所得到的樣本重建連續(xù)時(shí)間信號。如何從采樣所得到的樣本重建連續(xù)時(shí)間信號。3.欠采樣導(dǎo)致的后果欠采樣導(dǎo)致的后果頻譜混疊。頻譜混疊。4.連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理。連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理。5.離散時(shí)間信號的采樣、抽取及內(nèi)插。離散時(shí)間信號的采樣、抽取及內(nèi)插。6.頻域采樣。頻域采樣。7.0 引言引言:( Introduction ) 在日常生活中，常可以看到用離散時(shí)間信號表在日常生活中，?？梢钥吹接秒x散時(shí)

2、間信號表示連續(xù)時(shí)間信號的例子。如傳真的照片、電視屏幕示連續(xù)時(shí)間信號的例子。如傳真的照片、電視屏幕的畫面、電影膠片等等，這些都表明連續(xù)時(shí)間信號的畫面、電影膠片等等，這些都表明連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號之間存在著密切的聯(lián)系。在一定條與離散時(shí)間信號之間存在著密切的聯(lián)系。在一定條件下，可以用離散時(shí)間信號代替連續(xù)時(shí)間信號而并件下，可以用離散時(shí)間信號代替連續(xù)時(shí)間信號而并不丟失原來信號所包含的信息。不丟失原來信號所包含的信息。例例1. 一幅新聞?wù)掌环侣務(wù)掌植糠糯蠛蟮膱D片局部放大后的圖片例例2. 另一幅新聞?wù)掌硪环侣務(wù)掌植糠糯蠛蟮膱D片局部放大后的圖片1. 在什么條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號可以用它的離

3、在什么條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號可以用它的離散時(shí)間樣本來代替而不致丟失原有的信息。散時(shí)間樣本來代替而不致丟失原有的信息。2. 如何從連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間樣本不失真地恢如何從連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間樣本不失真地恢復(fù)成原來的連續(xù)時(shí)間信號。復(fù)成原來的連續(xù)時(shí)間信號。3. 如何對一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行離散時(shí)間處理。如何對一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行離散時(shí)間處理。4. 對離散時(shí)間信號如何進(jìn)行采樣、抽取，及內(nèi)插。對離散時(shí)間信號如何進(jìn)行采樣、抽取，及內(nèi)插。 研究連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號之間的關(guān)系研究連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號之間的關(guān)系主要包括主要包括 :7.1 用樣本表示連續(xù)時(shí)間信號用樣本表示連續(xù)時(shí)間信號: 采樣定理采

4、樣定理一一. 采樣采樣: Sampling Theorem of Sampling 在某些離散的時(shí)間點(diǎn)上提取連續(xù)時(shí)間信號值的在某些離散的時(shí)間點(diǎn)上提取連續(xù)時(shí)間信號值的過程稱為過程稱為采樣。采樣。 是否任何信號都可以由它的離散時(shí)間樣本是否任何信號都可以由它的離散時(shí)間樣本來表示？來表示？ 對一維連續(xù)時(shí)間信號采樣的例子：對一維連續(xù)時(shí)間信號采樣的例子： 在沒有任何條件限制的情況下，從連續(xù)時(shí)間在沒有任何條件限制的情況下，從連續(xù)時(shí)間信號采樣所得到的樣本序列不能唯一地代表原來信號采樣所得到的樣本序列不能唯一地代表原來的連續(xù)時(shí)間信號。的連續(xù)時(shí)間信號。 此外，對同一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號，當(dāng)采樣間隔此外，對同一個(gè)連續(xù)時(shí)間

5、信號，當(dāng)采樣間隔不同時(shí)也會不同時(shí)也會 得到不同的樣本序列。得到不同的樣本序列。二二. .采樣的數(shù)學(xué)模型：采樣的數(shù)學(xué)模型：在時(shí)域：在時(shí)域：在頻域在頻域: :三三. .沖激串采樣沖激串采樣( (理想采樣理想采樣):):)()()(tstxtxsnssnTttxtstxtx)()()()()()()(nssnTtnTx)()()(jSjXjXs21nsnTtts)()( 可見，可見，在時(shí)域?qū)B續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行沖激串采在時(shí)域?qū)B續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行沖激串采樣，就相當(dāng)于在頻域?qū)⑦B續(xù)時(shí)間信號的頻譜以樣，就相當(dāng)于在頻域?qū)⑦B續(xù)時(shí)間信號的頻譜以 為周期進(jìn)行延拓。為周期進(jìn)行延拓。s在頻域由于在頻域由于)()()(kssT

6、kTjSts22ksskssskjXTkTjXjSjXjX)()()()()()(122121說明：說明：采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 由原信號的頻譜由原信號的頻譜 的無限個(gè)頻移組成，幅值為原頻譜的無限個(gè)頻移組成，幅值為原頻譜 的的 ，頻移角頻率為，頻移角頻率為 （n n0, 0, 1, 1, 2 2 ） if if ，各相鄰的頻譜不會重疊，這，各相鄰的頻譜不會重疊，這 時(shí)能從采樣信號的頻譜中得到原信號的頻譜，時(shí)能從采樣信號的頻譜中得到原信號的頻譜， 即從采樣信號即從采樣信號 中恢復(fù)原信號中恢復(fù)原信號 。 if ，頻移后的相鄰頻譜互相重疊，頻移后的相鄰頻譜互相重疊， 無法恢復(fù)原信號。無法恢復(fù)原

7、信號。四四. Nyquist 采樣定理（時(shí)域）采樣定理（時(shí)域）: 一個(gè)截止頻率為一個(gè)截止頻率為 的連續(xù)時(shí)間帶限信號的連續(xù)時(shí)間帶限信號 , ,如果以如果以 的頻率進(jìn)行理想采樣，則的頻率進(jìn)行理想采樣，則 可以可以唯一的由其樣本唯一的由其樣本 來確定。來確定。 M( )x t( )x t2sM以沖激采樣為例，研究如何從采樣信號恢復(fù)原信號以沖激采樣為例，研究如何從采樣信號恢復(fù)原信號 在工程實(shí)際應(yīng)用中，在工程實(shí)際應(yīng)用中，理想濾波器是不可能實(shí)理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的。而非理想濾波器現(xiàn)的。而非理想濾波器一定有過渡帶，因此，一定有過渡帶，因此，實(shí)際采樣時(shí)實(shí)際采樣時(shí), , 必須大必須大于于 。s2M為了從已采樣

8、信號為了從已采樣信號 中恢復(fù)原信號中恢復(fù)原信號 ，需滿足如下兩個(gè)條件需滿足如下兩個(gè)條件: 1. 必須是帶限的，最高頻率分量為必須是帶限的，最高頻率分量為 。 2. 采樣間隔采樣間隔(周期周期)不能是任意的，必須保證采樣不能是任意的，必須保證采樣頻率頻率 ；或采樣間隔；或采樣間隔 。其中其中 為采樣頻率。為采樣頻率。()X j( )x tM2sMMsTNyquistNyquist頻率：最低允許的采樣頻率頻率：最低允許的采樣頻率NyquistNyquist間隔：最大允許的采樣間隔間隔：最大允許的采樣間隔Ms2MsT 低通濾波器的截止頻率必須滿足低通濾波器的截止頻率必須滿足: :()McsM 為了補(bǔ)

9、償采樣時(shí)頻譜幅度的減小，濾波器應(yīng)具為了補(bǔ)償采樣時(shí)頻譜幅度的減小，濾波器應(yīng)具有有 倍的通帶增益。倍的通帶增益。T例：確定下列信號的例：確定下列信號的Nyquist率率1）2）3）)cos()cos()(tttx40002120001tttx)sin()(400024000tttx)sin()(五五. 零階保持采樣零階保持采樣:信號的樣本經(jīng)零階保持后，所得到的信號是一個(gè)信號的樣本經(jīng)零階保持后，所得到的信號是一個(gè)階梯形信號。階梯形信號。 在一個(gè)給定的瞬時(shí)對在一個(gè)給定的瞬時(shí)對 采樣，并保持這一樣采樣，并保持這一樣本值直到下一個(gè)樣本被采到為止。本值直到下一個(gè)樣本被采到為止。( )x t0( )x t 零

10、階保持采樣在原理上可以用沖激串采樣，零階保持采樣在原理上可以用沖激串采樣，再級聯(lián)一個(gè)零階保持系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。再級聯(lián)一個(gè)零階保持系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。 為了從為了從 能恢復(fù)能恢復(fù) ，就要求零階保持后再級，就要求零階保持后再級聯(lián)一個(gè)系統(tǒng)聯(lián)一個(gè)系統(tǒng) 。0( )x t( )x t()rH j若若 則則12cs以以 表示理想低通濾波器的特性，則表示理想低通濾波器的特性，則:()H j內(nèi)插內(nèi)插：由樣本值重建某一函數(shù)的過程。由樣本值重建某一函數(shù)的過程。一一. 理想內(nèi)插理想內(nèi)插:（利用（利用LP的單位沖激響應(yīng)的內(nèi)插）的單位沖激響應(yīng)的內(nèi)插） 7.2 利用內(nèi)插從樣本重建信號利用內(nèi)插從樣本重建信號Reconstruction o

11、f a Signal from Its Samples Using Interpolation 理想內(nèi)插以理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)作理想內(nèi)插以理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)作為內(nèi)插函數(shù)為內(nèi)插函數(shù)這種內(nèi)插稱為這種內(nèi)插稱為時(shí)域中的帶限內(nèi)插。時(shí)域中的帶限內(nèi)插。二二. 零階保持內(nèi)插零階保持內(nèi)插: 零階保持內(nèi)插的內(nèi)插函數(shù)是零階保持系統(tǒng)的單零階保持內(nèi)插的內(nèi)插函數(shù)是零階保持系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)位沖激響應(yīng) 。0( )h t三三. 一階保持內(nèi)插一階保持內(nèi)插(線性內(nèi)插線性內(nèi)插)：其內(nèi)插函數(shù)是三其內(nèi)插函數(shù)是三角形脈沖。角形脈沖。一階保持內(nèi)插的結(jié)果（采樣間隔為一階保持內(nèi)插的結(jié)果（采樣間隔為T/4） 對連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行

12、離散時(shí)間處理的系統(tǒng)可視對連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行離散時(shí)間處理的系統(tǒng)可視為三個(gè)環(huán)節(jié)的級連。為三個(gè)環(huán)節(jié)的級連。( )cx t( )cy t()H j7.4 連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals 將一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散時(shí)間信號，以將一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散時(shí)間信號，以及從信號的離散時(shí)間表示重建連續(xù)時(shí)間信號所依據(jù)的及從信號的離散時(shí)間表示重建連續(xù)時(shí)間信號所依據(jù)的理論基礎(chǔ)：理論基礎(chǔ)：采樣定理采樣定理用于實(shí)現(xiàn)用于實(shí)現(xiàn)C/D轉(zhuǎn)換的器件稱為模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換的器件稱為模擬數(shù)字(A/D)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)

13、換器 用于實(shí)現(xiàn)用于實(shí)現(xiàn)D/C轉(zhuǎn)換的器件稱為數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換的器件稱為數(shù)字模擬(D/A)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 一一. C/D 轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換: 時(shí)域分析時(shí)域分析：樣本的沖激串樣本的沖激串樣本的離散樣本的離散時(shí)間序列時(shí)間序列頻域分析頻域分析:用用 表示連續(xù)時(shí)間頻率變量，用表示連續(xù)時(shí)間頻率變量，用 表示離散時(shí)間頻率變量表示離散時(shí)間頻率變量即從即從 到到 的轉(zhuǎn)換過程中，在頻率軸上引入的轉(zhuǎn)換過程中，在頻率軸上引入了一個(gè)了一個(gè) 倍的變化！倍的變化！ 可見，可見，沖激串到序列的變換過程，在時(shí)域是一沖激串到序列的變換過程，在時(shí)域是一個(gè)對時(shí)間歸一化的過程；個(gè)對時(shí)間歸一化的過程；在頻域是一個(gè)頻率去歸一在頻域是一個(gè)頻率去歸一化的過程

14、?；倪^程。 和和 的頻域關(guān)系可表示為：的頻域關(guān)系可表示為： 以以 為周期重復(fù)線性頻域尺度變換為周期重復(fù)線性頻域尺度變換二二. D/C 轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換：三三. 連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理:分析：分析： If 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) 是恒等系統(tǒng)；是恒等系統(tǒng)；Then 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 也是恒等系統(tǒng)。也是恒等系統(tǒng)。圖（圖（a） 假定假定 ，有，有 ，在滿足采，在滿足采樣定理時(shí)有樣定理時(shí)有 ， ，整個(gè)系統(tǒng)，整個(gè)系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)，表明是恒等系統(tǒng)，表明D/C是是C/D的逆系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。 ()1jdHe( )( )ccy tx t等效的連續(xù)時(shí)間濾波器的頻率響應(yīng)就是該離散時(shí)間濾

15、等效的連續(xù)時(shí)間濾波器的頻率響應(yīng)就是該離散時(shí)間濾波器在一個(gè)周期內(nèi)的特性，只是頻率軸有一個(gè)線性尺波器在一個(gè)周期內(nèi)的特性，只是頻率軸有一個(gè)線性尺度變化（度變化（ ）。）。2s2s由上圖：由上圖：式（式（b） 對于帶限輸入信號，利用圖（對于帶限輸入信號，利用圖（a）和式（）和式（b）可實(shí)現(xiàn)利用離散時(shí)間濾波器處理連續(xù)信號。可實(shí)現(xiàn)利用離散時(shí)間濾波器處理連續(xù)信號。例：數(shù)字微分器例：數(shù)字微分器（連續(xù)時(shí)間帶限微分器的離散實(shí)現(xiàn)）（連續(xù)時(shí)間帶限微分器的離散實(shí)現(xiàn)） 帶限微分器帶限微分器()cHjj0,ccccc()cHj0 由由 可得：當(dāng)可得：當(dāng) 時(shí)有時(shí)有2sc 一、脈沖串采樣一、脈沖串采樣7.6離散時(shí)間信號采樣離散

16、時(shí)間信號采樣Sampling of Discrete-Time Signals kssskNnkNxnsnxnx10)/2(10)/2(10/2)(11)1()(sssssssNmNmjsNmnNmjnsnNmNnmjsnjnnNjsnnjsjseXNenxNeNenxenNxenxeX 在時(shí)域，對離散時(shí)間信號以在時(shí)域，對離散時(shí)間信號以 為間隔采樣，在為間隔采樣，在頻域，信號的頻譜就在一個(gè)周期內(nèi)以頻域，信號的頻譜就在一個(gè)周期內(nèi)以 為間隔周為間隔周期性延拓。期性延拓。 要使要使 能恢復(fù)成能恢復(fù)成 ，則頻譜在周期性延拓，則頻譜在周期性延拓時(shí)不能發(fā)生混疊。為此要求：時(shí)不能發(fā)生混疊。為此要求：1. 帶

17、限于帶限于 。 2. 。M22sMNsNMcsM 此時(shí)此時(shí)可以通過離散時(shí)間理想低通濾波器實(shí)現(xiàn)對可以通過離散時(shí)間理想低通濾波器實(shí)現(xiàn)對信號信號 的恢復(fù)。截止頻率滿足：的恢復(fù)。截止頻率滿足： 恢復(fù)恢復(fù) 的過程也是一種帶限內(nèi)插過程。其的過程也是一種帶限內(nèi)插過程。其內(nèi)插函數(shù)為理想低通的單位脈沖響應(yīng)內(nèi)插函數(shù)為理想低通的單位脈沖響應(yīng) 。例：有一序列例：有一序列 ，其傅立葉變換，其傅立葉變換 具有如下具有如下 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 求對求對 采樣而不發(fā)生混疊的最低采樣率。采樣而不發(fā)生混疊的最低采樣率。)(jeX920，)(jeX二二. 離散時(shí)間抽取與內(nèi)插：離散時(shí)間抽取與內(nèi)插：Discrete-Time Decimat

18、ion and Interpolation在實(shí)際應(yīng)用中，直接按圖傳輸已采樣序列在實(shí)際應(yīng)用中，直接按圖傳輸已采樣序列 是很不經(jīng)濟(jì)的。因?yàn)樾蛄惺呛懿唤?jīng)濟(jì)的。因?yàn)樾蛄?在采樣點(diǎn)之間是在采樣點(diǎn)之間是0。因此，往往用一個(gè)新序列因此，往往用一個(gè)新序列 來代替，來代替， 是是由由 中每隔中每隔 點(diǎn)上的序列值構(gòu)成，即點(diǎn)上的序列值構(gòu)成，即sssbnNxnNxnx抽?。撼槿。禾崛∶康谔崛∶康?個(gè)點(diǎn)上的樣本的過程。個(gè)點(diǎn)上的樣本的過程。時(shí)域時(shí)域 、 、 、的關(guān)系如左圖的關(guān)系如左圖抽取過程在頻域的反映：抽取過程在頻域的反映：1010/ )2(/ )2(10/2/10/2)(111)1()(ssssssssssNmNmNmjsNmjkksNmNkjkNkmjskNkjNmNkmjsnnjsnnjbjbeXNekxNeekxNeeNkxenNxenxeXn0,/其它為整數(shù)ppNnNnxnxssbs10)/2()()()(ssssNmNmjNjbnnNjbnnjsjseXeXenxenxeX增增采采樣樣的的頻頻譜譜 這表明，這表明，在在時(shí)域時(shí)域?qū)扌蛄羞M(jìn)行對帶限序列進(jìn)行抽取抽取，相當(dāng)于在，相當(dāng)于在頻頻域域?qū)Σ蓸有蛄械念l譜進(jìn)行對采