專題講座初中數(shù)學(xué)中函數(shù)課堂教學(xué)設(shè)計

1、專題講座初中數(shù)學(xué)中函數(shù)課堂教學(xué)設(shè)計函數(shù)是刻畫和研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，也是初中數(shù)學(xué)里代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它在初中數(shù)學(xué)中具有較強的綜合性。在教學(xué)中，學(xué)生常常覺得函數(shù)抽象深奧，高不可攀，老師也覺得函數(shù)難講，講了學(xué)生也理解不了，理解了也不會解題。事實果真如此難教又難學(xué)嗎？本文就初中函數(shù)教學(xué)中三個常見問題，談?wù)勗诮虒W(xué)設(shè)計方面一些方法和實踐。 一、函數(shù)教學(xué)中基于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)方式的研究 數(shù)學(xué)知識的教學(xué)有兩條線：一條是明線，即數(shù)學(xué)知識；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法。單獨教授知識無益于課本的復(fù)讀，利用數(shù)學(xué)思想進行教學(xué)和學(xué)習(xí)，才能真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提高。 數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)

2、的認(rèn)識，它是形成數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)能力的橋梁，是靈活運用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法解決有關(guān)問題的靈魂。 日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在數(shù)學(xué)的精神、思想和方法一文中曾寫道：學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識，因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué)，所以，通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。因此，在函數(shù)教學(xué)中，我們不僅要在教會函數(shù)知識上下功夫，而且還應(yīng)該追求解決問題的“常規(guī)方法”基本函數(shù)知識中所蘊含的思想方法，要從數(shù)學(xué)思想方法的高度進行函數(shù)教

3、學(xué)。 在函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)突出“類比”的思想和“數(shù)形結(jié)合”的思想。 1 注重“類比教學(xué)” 不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認(rèn)識來認(rèn)識與它相似的另一事物，這種認(rèn)識事物的思維方法就是類比法， 利用類比的思想進行教學(xué)設(shè)計實施教學(xué) , 可稱為“類比教學(xué)” . 在函數(shù)教學(xué)中我們期望的是通過對前面知識的學(xué)習(xí)方法的傳授，達(dá)到對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，使學(xué)生達(dá)到舉一反三，觸類旁通的目的，讓學(xué)生順利地由 “ 學(xué)會 ” 到 “ 會學(xué) ” ，真正實現(xiàn) “ 教是為了不教 ” 的目的 有經(jīng)驗的老師都會發(fā)現(xiàn)，初中學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)在概念

4、的得來、圖象性質(zhì)的研究、及基本解題方法上都有著本質(zhì)上的相似。因此采用類比的教學(xué)方法不但省時、省力，還有助于學(xué)生的理解和應(yīng)用。是一種既經(jīng)濟又實效的教學(xué)方法。下面我就舉例說明如何采用類比的方法實現(xiàn)函數(shù)的教學(xué)。 首先是正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)特例，也是初中數(shù)學(xué)中的一種簡單最基本的函數(shù)。但是，我們有些教師卻因為正比例函數(shù)過于簡單，而輕視。匆匆給出概念，然后應(yīng)用。等到講到一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)又感到力不從心，學(xué)生接受起來概念模糊，性質(zhì)混亂，解題方法不明確。造成這種困擾的原因是因為忽視正比例函數(shù)的基礎(chǔ)作用，我們應(yīng)該借助正比例函數(shù)這個最簡單的函數(shù)載體，把函數(shù)研究經(jīng)典流程完整呈現(xiàn)，正所謂“麻雀雖小，五

5、臟俱全”。再學(xué)習(xí)其他函數(shù)時，在此基礎(chǔ)上類比學(xué)習(xí)，循序漸進，螺旋上升。 正比例函數(shù)教學(xué)流程 （一）環(huán)節(jié)一：概念的建立 通過對問題的處理用函數(shù) y=200x 來反映燕鷗的行程與時間的對應(yīng)規(guī)律引入新課。學(xué)生自覺思考教師提問，共同得出每個問題的函數(shù)關(guān)系式。引導(dǎo)學(xué)生觀察以上函數(shù)關(guān)系式的特點得出正比例函數(shù)的描述定義及解析式特點。 （二）環(huán)節(jié)二 ：函數(shù)圖象 這個環(huán)節(jié)是教學(xué)的重點，由學(xué)生先動手按“列表描點連線”的過程畫函數(shù) y=2x 和 y= 2x 的圖象，相互交流比較然后教師利用多媒體展示畫函數(shù)圖象的過程并通過比較使學(xué)生正確掌握畫函數(shù)圖象的方法。 （三）環(huán)節(jié)三：探究函數(shù)性質(zhì) 讓學(xué)生觀察函數(shù)圖象并引導(dǎo)學(xué)生通過

6、比較來歸納正比例函數(shù)的性質(zhì)，這個環(huán)節(jié)是本課的難點，教師要引導(dǎo)學(xué)生從圖象的形狀，從左往右的升降情況，經(jīng)過的象限及自變量變化時函數(shù)值的變化規(guī)律。這幾個方面來歸納，最終得出正比例函數(shù)的性質(zhì)。 （四）環(huán)節(jié)四：概念的歸納 將觀察、探究出的函數(shù)圖象的特征、函數(shù)的性質(zhì)等做出系統(tǒng)的歸納。 （五） 環(huán)節(jié)五： 概念的應(yīng)用 這個環(huán)節(jié)主要加深學(xué)生對知識點的理解，突出待定系數(shù)法的解題方法。 從這五個環(huán)節(jié)的設(shè)定上，大家不難看出，我們在研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的過程也是經(jīng)歷這樣的六個環(huán)節(jié)，所以用類比的教學(xué)方式是在降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，卻能提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，而且程度比較好的學(xué)生可以嘗試自主學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函

7、數(shù)。 歸納：函數(shù)探究的內(nèi)容與方法 研究的對象 - 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 研究的方法 - 畫圖象、分析圖象、探究坐標(biāo)變化規(guī)律、歸納函數(shù)性質(zhì) 關(guān)注的問題 - 圖象的位置、發(fā)展趨勢、與坐標(biāo)軸的交點、函數(shù)的增減性 類比進行反比例函數(shù)的教學(xué) 例如 17.1.2 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué) 具體教學(xué)過程如下： T ：正比例函數(shù) y=6x 的圖象是什么形狀？ S1 ：通過原點的直線（為將要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)圖象作鋪墊） T ：那么反比例函數(shù) 的圖象會是什么形狀呢？我們采用什么辦法畫呢 S2 ：描點法。 （問題一） T ：我們學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)用幾點法描畫？ S3 ：兩點法。 （追問） T ：為什么呢？ S4 ：根據(jù)

8、兩點確定一條直線。 （追問） T ：你確定反比例函數(shù)的圖象是直線嗎？ S5 ：不能確定。 （追問） T ：因此我們需要描多少點？ S6 ：盡量多些。正負(fù)對稱 10 12 個點比較合適 （問題二） T ：描點法畫函數(shù)圖象的基本步驟？ S7 ： T ：對于 我們?nèi)绾瘟斜砣↑c？ S8 ：再次突出描點左右對稱取點的思維過程。 教師示范了 的圖象畫法，再讓同學(xué)們嘗試畫出 的圖象 （問題三） T ：你能比較出 和 的圖象有什么共同特征？ S9 ：兩只曲線，關(guān)于原點對稱（雙曲線） （追問） T 結(jié)合你的圖象和列表 和 之間的不同點？ S10 ： 在一、三象限， 在二、四象限。 （追問） T ：你能猜想 的圖

9、象規(guī)律嗎，注意類比正比例函數(shù)的圖象規(guī)律？ S11 ：當(dāng) k>0, 圖象過一三象限，當(dāng) K<0 ，圖象過二、四象限。 （追問） T 請再畫一組 的圖象，驗證你的猜想 （問題四） T ：通過以上的猜想和驗證，你能總結(jié)出反比例函數(shù)圖象的位置規(guī)律嗎？ S12 ：歸納 S13 ：糾錯 S14 ：改正 這是本課時的引入部分，教師通過問題串，把反比例函數(shù)圖象的定義、圖象規(guī)律與正比例函數(shù)圖象聯(lián)系在一起，教師的設(shè)計思路就是采用類比的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生通過類比的數(shù)學(xué)思想，自主的學(xué)習(xí)反比例函數(shù)圖象的定義與性質(zhì)，學(xué)得自然，輕松。 T ：能否把反比例函數(shù)圖象特征總結(jié)一下？ 類比正比例函數(shù)圖象的特征： 

10、0; 反比例函數(shù) 正比例函數(shù) 圖象     位置     增減性     T ：你有什么啟發(fā)？你發(fā)現(xiàn)了什么？ 顯然是教師采用了類比教學(xué)思路的結(jié)果，開啟了學(xué)生思維的大門，找到了學(xué)習(xí)新知的有效方法與途徑。 對于類比推理的研究最具影響的是波利亞波利亞在他的著作怎樣解題、數(shù)學(xué)與猜想、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中，通過對數(shù)學(xué)史上一些著名猜想的剖析，再現(xiàn)了一些重大發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生的淵源及過程，認(rèn)為歸納和類比是兩種最基本的猜測方法，并以此為據(jù)提出了合情推理的一般模式認(rèn)為類比就是某種類型的相似性通過具體的例子論述了合情推理 ( 歸納、類比 ) 在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和解題方面的作用他還

11、結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際呼吁： “ 要教學(xué)生猜想，要教合情推理。 因此我也在此呼呼：初中函數(shù)要有整體設(shè)計的意識，就是上好正比例函數(shù)，類比學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)。 2. 注重“數(shù)學(xué)結(jié)合”的教學(xué) 數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。而數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題。它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面，利用它可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長。 函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現(xiàn)著函數(shù)的“數(shù)形結(jié)合”。函數(shù)圖象就是將變化抽象的函數(shù)“拍照”下來研究的有效工具，函數(shù)教學(xué)離不

12、開函數(shù)圖象的研究。在借助圖象研究函數(shù)的過程中，我們需要注意以下幾點原則： （ 1 ）讓學(xué)生經(jīng)歷繪制函數(shù)圖象的具體過程。首先，對于函數(shù)圖象的意義，只有學(xué)生在親身經(jīng)歷了列表、描點、連線等繪制函數(shù)圖象的具體過程，才能知道函數(shù)圖象的由來，才能了解圖象上點的橫、縱坐標(biāo)與自變量值、函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生利用函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)性質(zhì)打好基礎(chǔ)。其次，對于具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象的認(rèn)識，學(xué)生通過親身畫圖，自己發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的形狀、變化趨勢，感悟不同函數(shù)圖象之間的關(guān)系，為發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象間的規(guī)律，探索函數(shù)的性質(zhì)做好準(zhǔn)備。 （ 2 ）切莫急于呈現(xiàn)畫函數(shù)圖象的簡單畫法。首先，在探索具體函數(shù)形狀時，不

13、能取得點太少，否則學(xué)生無法發(fā)現(xiàn)點分布的規(guī)律，從而猜想出圖象的形狀；其次，教師過早強調(diào)圖象的簡單畫法，追求方法的“最優(yōu)化”，縮短了學(xué)生知識探索的經(jīng)歷過程。所以，在教新知識時，教師要允許學(xué)生從最簡單甚至最笨拙的方法做起，漸漸過渡到最佳方法的掌握，達(dá)到認(rèn)識上的最佳狀態(tài)。 （ 3 ）注意讓學(xué)生體會研究具體函數(shù)圖象規(guī)律的方法。初中階段一般采用兩種方法研究函數(shù)圖象：一是有特殊到一般的歸納法，二是控制參數(shù)法。 下面我就具體函數(shù)教學(xué)過程中如何體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想舉例說明： 一次函數(shù)的圖象教學(xué)設(shè)計片斷猜想一次函數(shù)的圖象會是什么形狀？ 驗證：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象 . y=3x,y=3x-3,y=-

14、2x,y=-2x-3歸納（不完全歸納法）：一次函數(shù)的圖象是一條直線，當(dāng) k>0 時，直線從左到右呈“起飛”狀，即呈上升趨勢，經(jīng)過一、三象限；當(dāng) k<0 時，直線從左到又呈“降落”狀，即呈下降趨勢，經(jīng)過二、四象限 . 思考：不同的一次函數(shù)，他們圖象的形狀是相同的，但位置卻各不相同，那么一次函數(shù)的圖象的位置與什么有關(guān)呢？ 確定研究方法。通過學(xué)生的觀察、思考、交流以及教師的點撥，學(xué)生最終得出：一次函數(shù)圖象的位置與解析式中的待定參數(shù) k 與 b 的取值有關(guān)。教師進一步指出：在研究含有兩個參數(shù)的問題時，要先固定一個，進而能明晰地研究出另一個參數(shù)在“數(shù)”上的變化，導(dǎo)致“形”上的差異。 進一步觀

15、察剛才畫的四個一次函數(shù)圖象，思考： k 相同， b 不同的一次函數(shù)圖象之間有何關(guān)系？ k 不同， b 相同的一次函數(shù)圖象之間有何關(guān)系？ 歸納： k 相同， b 不同的一次函數(shù)圖象相互平行，將直線 y=kx 向上或向下平移 b 個單位可得直線 y=kx+b;k 不同， b 相同的一次函數(shù)圖象相交于點（ 0 ， b ） . 在這個教學(xué)設(shè)計中，由于學(xué)生明確了函數(shù)圖象的研究方法，參與了研究過程，因而對于知識的理解是深刻的、牢固的、靈活的，更重要的是學(xué)生體驗到了一種研究函數(shù)圖象的一般方法，提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和思維水平。 二、函數(shù)教學(xué)過程中幾個難點的處理： 作為初中數(shù)學(xué)中的難點，函數(shù)抽象而富于變化，

16、在一線教學(xué)中老師普遍認(rèn)為有以下幾個問題是教學(xué)中的難點，老師不好講，學(xué)生不好學(xué)。下面我具體舉一些教學(xué)設(shè)計給各位老師參考看是如何突破我們教學(xué)中的難點的： 1 反比例函數(shù)的增減性問題。 在反比例函數(shù)教學(xué)時，反比例函數(shù)的增減性是個難點。不僅 k 的正負(fù)上反比例函數(shù)的增減性和正比例函數(shù)的增減性相反，而且自變量的取值范圍上有斷點。下面我們看看這個教學(xué)設(shè)計是如何突破難點的？ 反比例函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計片斷 （ 1 ）回顧反比例函數(shù)圖象特征 （ 2 ）畫出反比例函數(shù) 圖象，并結(jié)合圖象，思考下列問題 : （問題一） T ：當(dāng)圖象上的一個點，沿著第一象限的圖象從左向右運動時，點的坐標(biāo)怎樣變化 ? 這說明在第一象限內(nèi)

17、，當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標(biāo)的變化） （追問） T ：當(dāng)圖象上的一個點，沿著第三象限的圖象從左向右運動時，點的坐標(biāo)怎樣變化？這說明在第三象限內(nèi)，當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標(biāo)的變化） （追問） T: 當(dāng)點 A （ x1,y1）在第一象限圖象上，點 B( x2,y2) 在第三象限的圖象上， x1與 x2的大小關(guān)系如何？ y1與 y2呢？此時中的結(jié)論還成立嗎 ? （問題二） T ：一般的，反比例函數(shù) ，當(dāng) k>0 時，隨著 x 的增大， y 的值怎樣變化呢 ? （追問） T: 如何用符號語言描述呢？ （追問） T: 你能從解析式

18、出發(fā)給出證明嗎？ （問題三） T:(6) 你能從 的圖象中 y 隨 x 的變化是如何增減的嗎？ （問題四） T: （ 7 ）畫出反比例函數(shù) 圖象，并結(jié)合圖象，思考下列問題 在上面的教學(xué)設(shè)計中，教師借助幾何畫板課件，幫助學(xué)生形象直觀的理解了反比例函數(shù)圖象的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)變化過程中的特殊點的，自然的歸納出反比例函數(shù)增減性的性質(zhì)及自變量的取值范圍，并且通過結(jié)合符號語言和解析式全方位詮釋增減性的意義。學(xué)生不但理解而且記憶，而且途徑全面，更好的感受到函數(shù)的三種表示方法的整體一致性。 2 用函數(shù)來求解方程（組）、不等式問題 用函數(shù)來求解方程（組）、不等式問題比較難教，因為學(xué)生會覺得，用函數(shù)的方法求方程（組

19、）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復(fù)雜、繁瑣多了，那為什么還要學(xué)習(xí)呢？如果學(xué)生意識不到所學(xué)數(shù)學(xué)知識的價值與意義，勢必影響學(xué)習(xí)效率。教材安排用函數(shù)的觀點看方程（組）、不等式，一方面是為了加強數(shù)學(xué)知識間的橫縱聯(lián)系，體現(xiàn)函數(shù)在初中代數(shù)中的統(tǒng)領(lǐng)作用；另一方面從函數(shù)的角度，由“數(shù)”到“形”的對方程（組）、不等式加深認(rèn)識，從而站在更高的角度上，提高了學(xué)生對舊認(rèn)識的深度。在教學(xué)設(shè)計中要注意以下幾點： （ 1 ）從“數(shù)”與“形”兩方面體現(xiàn)函數(shù)與方程（組）、不等式的聯(lián)系 從“數(shù)”來看，就是從函數(shù)值看，求方程的解，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)函數(shù)值為零時，求相應(yīng)自變量的值；求不等式的解集，就是當(dāng)函數(shù)值大于零（或小于零）時

20、，求對應(yīng)的自變量的取值范圍；求方程組的解，就是當(dāng)兩個函數(shù)的函數(shù)值相等時，求對應(yīng)的自變量和函數(shù)值 . 從“形”來看，就是從函數(shù)圖象看，求方程的解，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo)；求不等式的解集，可轉(zhuǎn)化為求在 x 軸上方（或下方）的圖象對應(yīng)的自變量取值范圍（或一個函數(shù)圖象在另一個函數(shù)圖象的上方或下方的部分對應(yīng)的自變量取值范圍）；求方程組的解集，可轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象交點的橫縱坐標(biāo)。 （ 2 ）抓住數(shù)與形的轉(zhuǎn)換點理解函數(shù)與方程（組）、不等式的聯(lián)系 眾所周知，函數(shù)圖象就是點的集合，函數(shù)圖象上的每一個點的坐標(biāo)，就是一組自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值，因此數(shù)與形的轉(zhuǎn)換點就是圖象上的點及其坐標(biāo)。教學(xué)中抓住

21、這一轉(zhuǎn)換點，能有效的促進對函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系的理解。 一次函數(shù)與一元一次不等式教學(xué)設(shè)計片斷 （一）如何解決下面兩個問題，并思考這兩個問題之間有何關(guān)系？ 解不等式： 5x+6>3x+10 ； 當(dāng)自變量為 x 何值時，函數(shù) y=2x-4 的值大于 0 ？ 歸納：這兩個問題實際上是同一個問題，問題可以轉(zhuǎn)化為問題求解 （二）你能從函數(shù) y=2x-4 的圖象中，發(fā)現(xiàn)問題的解集嗎？ 為了促進學(xué)生的理解，教師可從以下幾個方面點撥 : 函數(shù)值與函數(shù)圖象上的點的什么是對應(yīng)的？函數(shù) y=2x-4 的圖象上，符合函數(shù)值大于 0 的點在哪一部分？ 這部分點的什么，就是使函數(shù) y=2x-4 的值大于

22、0 的自變量 x 的取值范圍？ 歸納：函數(shù) y=2x-4 圖象在 x 軸上方的部分所對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值范圍，就是問題得解集 （三）函數(shù) y=2x-4 圖象在 x 軸下方的部分所對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值范圍，是哪個不等式的解集？ （四）你能進一步得到“解不等式 ax+b>0 與“求自變量 x 在什么范圍內(nèi)，一次函數(shù)函數(shù) y=ax+b 的值大于 0 ” 有什么關(guān)系嗎？ 在上面的教學(xué)設(shè)計中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生按照“函數(shù)值大于 0 圖象上點的縱坐標(biāo)大于 0 位于 x 軸上方的點橫坐標(biāo)的取值范圍自變量的取值范圍”的思維脈絡(luò)，緊扣數(shù)與形的結(jié)合點，不僅讓學(xué)生真正理解了函數(shù)與不等式的關(guān)系，更重要的是使學(xué)生真正做

23、到了用數(shù)形結(jié)合的方法分析問題。 （ 3 ）使學(xué)生明確學(xué)習(xí)函數(shù)與方程（組）、不等式的意義。有些學(xué)生可能覺得，用函數(shù)的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復(fù)雜、繁瑣多了，那為什么還要學(xué)習(xí)呢？如果學(xué)生意識不到所學(xué)數(shù)學(xué)知識的價值與意義，勢必影響學(xué)習(xí)效率。因此，在教學(xué)中首先應(yīng)使學(xué)生體會到以下兩點： 解方程（組）與解不等式的問題，都可以化歸為函數(shù)問題，所以函數(shù)統(tǒng)率著方程、不等式； 從函數(shù)的角度分析問題的研究方法，對于后續(xù)學(xué)習(xí)有重要作用。 3自變量的取值范圍 自變量的取值范圍，是解函數(shù)問題的難點和考點。正確求出自變量取值范圍，正確理解問題，并化歸為解不等式或不等式組。這需要學(xué)生掌握函數(shù)

24、的思想，不等式的實際應(yīng)用，全面考慮取值的實際意義。 容易講的枯燥無趣，最后變成公式化記憶，但學(xué)生總是此題會，彼題又錯，效果往往不好。我們看這個教學(xué)設(shè)計，生動活潑而且理解深刻。 八年級 7.2 認(rèn)識函數(shù)（ 2 ） 例 1 等腰三角形 ABC 的周長為 80 ，底邊 BC 長為 y ，腰 AB 長為 x ， 求：（ 1 ） y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式 學(xué)生嘗試做題 S1 ： y=80-2x S2 ： x=(80-y)/2 T ：題目是 y 關(guān)于 x ，其中關(guān)于相當(dāng)于等于，所以應(yīng)該寫成 y=80-2x T ：把你的學(xué)號作為三角形的腰長，請計算相應(yīng)的底邊 y 值 學(xué)生快速的計算 教師在黑板上列出相關(guān)的

25、值： x=0 （教師的學(xué)號為 0 ） y=80 x=10 y=60 x=20 y=40 x=30 y=20 x=40 y=0 x=50 y= -20 x=51 y= -22 （問題一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底邊，你看到這組數(shù)據(jù)有什么話要說么？ S1 ：不能是負(fù)與 0 ，所以最后三個不行。 （追問 1 ） T ：能分享你結(jié)論的理由么？ S1 ： y 是底邊，需要大于 0 T ：自變量的取值需要符合函數(shù)的實際意義 這時下面有個同學(xué)在悄悄的說，第一個也不行。 （追問 2 ） T ：能說說你的理由么？ S2 ：因為 x 是等腰三角形的腰長，也是大于 0 的。T ：自變量的取值

26、必須滿足自變量的實際意義 這時，課堂中學(xué)生都在用質(zhì)疑的眼神重新觀察題目，重新思考，這時教師讓學(xué)生進行討論。經(jīng)過一段時間的討論，有學(xué)生舉手了。 S3 ：第 2 、 3 個也不行 （追問 3 ） T ：為什么？ S2 ：不能構(gòu)成三角形 （問題二） T ：那么 x 能不能任意取呢？ S ：不能 （問題三） T ：那應(yīng)該從哪幾個方面求 x 的取值范圍呢？ S1 ： 20<x<40 T ：你解釋一下你是怎么想到的？ S1 ：三角形任意兩邊之和大于第三邊 T ：我們一起來梳理此題求 x 的取值范圍的方法 教師板書： 求 x 的取值范圍 （ 1 ）自變量 x 的實際意義 x>0 T ：剛才

27、同學(xué)們考慮到了函數(shù) y 的取值范圍，而 y=80-2x ，所以還要考慮與 x 相關(guān)的量的意義 板書（ 2 ）與 x 相關(guān)的量的意義 y>0 （問題四） T ：除了這兩個量還要考慮到什么呢？ S ：三角形任何兩邊之和大于第三邊 板書（ 3 ）在實際情境中滿足限制的條件 T ：等腰三角形只要考慮 x+x>y 實際問題解析式求函數(shù)值沖突反思探究歸納。 在這里，是第一次求自變量的取值范圍，而學(xué)生對自變量的取值范圍的求解還沒有形成一種常規(guī)的思路，所以，老師通過實際的操作（ 80cm 長的紅絲線），讓學(xué)生在動手實踐中了解腰、底邊、底角、頂角、面積等之間的變化情況，然后列出底邊與腰長之間的函數(shù)解

28、析式，再給定一個自變量（學(xué)生學(xué)號作為腰長）求出相應(yīng)的函數(shù)值，一方面復(fù)習(xí)了函數(shù)的有關(guān)概念變量、常量、函數(shù)，另一方面也讓學(xué)生學(xué)習(xí)了列簡單問題中的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式，已知自變量的值，求相應(yīng)的函數(shù)值，更重要的是通過學(xué)號作為三角形的腰長，計算相應(yīng)的底邊 y 值，教師通過遞進式提問，讓學(xué)生在具體的、特殊的數(shù)值中發(fā)現(xiàn)矛盾，產(chǎn)生沖突，引起進一步探索的求知欲，提問、追問、反問，學(xué)生的解釋、說理，由特殊到一般，最后總結(jié)出求自變量的取值范圍的通性通法，有一種水到渠成、一氣呵成的氣勢。 4 實際應(yīng)用問題 學(xué)習(xí)函數(shù)的主要目的之一就是在復(fù)雜的實際生活中建立有效的函數(shù)模型，利用函數(shù)的知識解決問題。這也是新課標(biāo)所倡導(dǎo)

29、的學(xué)習(xí)，因此新教材大力倡導(dǎo)函 數(shù)與實際的應(yīng)用。 對于學(xué)生來說，實際應(yīng)用是個難點。在實際應(yīng)用問題的教學(xué)中注意把握以下 幾點： （ 1 ）切實體現(xiàn)教材設(shè)計意圖。教材安排有關(guān)應(yīng)用函數(shù)解決實際問題的教學(xué)活動，其目的 主要有三 : 進一步訓(xùn)練學(xué)生的建模能力；進一步提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合分析問題、解決問題的能力；使學(xué)生體會函數(shù)是解決生活實際問題的有效模型，進一步提高學(xué)生解決實際問題的能力。在教學(xué)設(shè)計中要體現(xiàn)以上意圖。 （ 2 ）要根據(jù)學(xué)生實際。對于學(xué)生而言，函數(shù)已經(jīng)覺得很難，再用函數(shù)解決實際問題，他們會覺得難上加難，因此在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生實際水平，對于難度較大、綜合性較強的 問題要通過有效的設(shè)計，分步引導(dǎo)，將復(fù)

30、雜問題分解為若干個簡單問題，步步深入，有易到難的尋求答案。 例 4 A 地有肥料 200 噸， B 地有肥料 300 噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運往 C 、 D 兩地。如果從 A 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 20 元和 25 元；從 B 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 15 元和 24 元 . 現(xiàn) C 鄉(xiāng)需要肥料 240 噸， D 鄉(xiāng)需要肥料 260 噸 , 怎樣調(diào)運總費用最少？最少費用是多少？ 分析：本題的難點有三處：難點一是如何讓學(xué)生想到可用函數(shù)解決這類問題；難點二是如何從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中，列出函數(shù)解析式；難點三是如何分析出函數(shù)的最小值；難點四是將數(shù)學(xué)的解還原為實際

31、問題的解決方案。為了突破難點，不妨采用如下的教學(xué)設(shè)計： 畫出示意圖，幫助學(xué)生理解題意 調(diào)運費用和哪些量有關(guān)？這些量有何關(guān)系？ 這些量是變量還是常量？ （通過這個問題，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)調(diào)用費用是一 個變量，并且與四個變量有關(guān)，這四個變量相 互聯(lián)系，其他變量都可以用另一個變量表示，既然 是和兩個變量有關(guān)的問題，符合函數(shù)特征，利用函 數(shù)的圖形和性質(zhì)可以確定最小值） 設(shè)總運費為 y ， A 地運往 C 地的肥料量為 x ，填充下表： y= _+ _+ _+_ 怎樣利用函數(shù)解析式求最小運費呢？ （教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，求最小運費就是求解析式中函數(shù) y 的最小值， 一方面從解析式中可以發(fā)現(xiàn)， y 隨 x 的增大而

32、增大，所以求 y 的最 值需先求 x 的取值范圍；另一方面也可畫出函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過 觀察圖象，發(fā)現(xiàn) y 的最小值） 當(dāng)調(diào)運費用最少時，其他的調(diào)運量多少？請你確定出使運費最少的調(diào)用方案 . 歸納總結(jié)： 為什么本題可用函數(shù)的方法解決 ? 用函數(shù)解決實際問題的一般步驟是什么？ 怎樣列出函數(shù)解析式？ 函數(shù)的最值可用哪些方法求出？ 在實際問題中，求自變量的取值范圍有何作用？ 對研究其他函數(shù)圖象時，學(xué)生的自主分析能力的提高也很有好處。 三、函數(shù)教學(xué)的幾個值得注意的問題： 1 容易出現(xiàn)“只見樹木，不見森林”的斷裂式教學(xué) 初中函數(shù)所考察的題目，大家公認(rèn)二次函數(shù)最難。因此老師在教授這個函數(shù)時，也是最賣力，配備了大量的習(xí)題練習(xí)。但是老師教的辛苦，學(xué)生學(xué)得也不輕松，不但要理解那么難的曲線函數(shù)，還要做更難的習(xí)題。所以最后得到的結(jié)論是，“二次函數(shù)太難了，不是所有學(xué)生都能掌握的”。其實則不然，造成這種局面的原因就是把二次函數(shù)孤立起來，一棵參天大樹高不可攀，是因為你忘卻了函數(shù)是片森林，二次函數(shù)應(yīng)該根植在“函數(shù)森林”中。 不但二次函數(shù)如此，很多老師每逢講一個具體函數(shù)，都讓學(xué)生重新經(jīng)歷函數(shù)探索，猜想，設(shè)計很多環(huán)節(jié)去猜想函數(shù)具備哪些性質(zhì)，學(xué)生卻因這些性質(zhì)