立體幾何與空間向量學(xué)案

1、空間向量及線性運(yùn)算例3、如圖，在空間四邊形 ABCD中，E是線段AB的中點(diǎn),【本課重點(diǎn)】1、理解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運(yùn)算及性質(zhì)；2、通過(guò)平面向量向空間向量的推廣，體會(huì)數(shù)學(xué)的類比和歸納的思想方法【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1、 在空間，既有 又有的量叫空間向量.空間向量可以用 表示;的長(zhǎng)度叫向量的模；凡是方向相同且長(zhǎng)度相等的有向線段表示同一向量或.2、 已知空間向量 a, b，在空間任取一點(diǎn) 0,作0A=a, AB=b，則a，b二；作 OA =a, OB =b，貝y a b =;作 0A =a, OP = 0A（， R），則菇工.3、 空間向量的加法和數(shù)運(yùn)算滿足運(yùn)算律：（1） ;（1）若CF =2

2、FD，連接EF , CE , AF , BF化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量: aC CB "Bd ;若F為CD的中點(diǎn)，求證:EF =】(AD BC).2C(2)； (3)4、如果表示空間向量的有向線段互相或，那么這些向量叫或向量a與b平行,記為.5、對(duì)空間任意兩個(gè)向量a與b（ao）, b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù) 人，使【典例練講】例1、如圖，M,N,P,Q,R,S為平行六面體 ABCD-ABGD1所在棱中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.(1)AB BC AB AD AA1AB AD 1CC： (4)2-(AB AD AAJ3BC - BB1 - BDMN

3、PQ RS例4、已知六面體 ABCD - ABC1D1是平行六面體（如圖）1T T 2T（1）化簡(jiǎn)一 AA BCAB，并在圖上標(biāo)出結(jié)果；23（2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCGB對(duì)角線BG上的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn) G ）,設(shè) MNABADAA,試求，一：，的值例2、如圖，在長(zhǎng)方體OADB -CA1D1B1 中，0A =3 , 0B =4 , 0C =2 , 01 =0J =0K =1，點(diǎn) E,F 分別DiCi是DBQ1B1的中點(diǎn)。設(shè)01 =i , OJ=j , OK =k。試用向量 i, j,k表示 OD1、B10A1、0E、OF .A1共面向量定理例3、證明：三個(gè)向量丄3飛，二4；總覽

4、池并1石總共面.【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1、叫共面向量.2、 在平面向量中，向量 b與向量a（a廠0）共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得b = 'a ；在空間向量中，已 知向是b與a不共線，那 么向量p與向量a， b共面的充要 條件是 存在有序?qū)崝?shù)組（x,y）,使得P =.3、 已知空間四點(diǎn) 0、A、B、C滿足OC=o（OA + POB，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是 .4、 已知A、BC三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)0在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使0A=.例4、（ 1）對(duì)于空間某一點(diǎn) O，空間四個(gè)點(diǎn)A、B C、D （無(wú)三點(diǎn)共線）分別對(duì)應(yīng)著向量0A、"ob、"Oc、5、 設(shè)

5、空間任意一點(diǎn) 0和不共線的三點(diǎn)A、B、C,若點(diǎn)P滿足向量關(guān)系0P二xOA yOB - zOC （其中x+y+z=1） 試問(wèn)：P、A、B、C四點(diǎn)是否共面？并證明你的結(jié)論 .OD，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件為存在四個(gè)不全為零實(shí)數(shù)使得 ：0A ： OB OC 、0D = 0，且：:.=0 ;【典例練講】例1、正方體ABCD-ABC.D,，E和F點(diǎn)分別為面 ABGD,與BBGC的中心，判斷下列幾組向量是否（2）設(shè)空間任意一點(diǎn) O和不共線三點(diǎn)A、B C，若點(diǎn)P滿足向量關(guān)系 OP = xOA，yOB zOC，當(dāng)x, y,z為共面向量:滿足什么條件時(shí)，能夠使得P, A, B, C四點(diǎn)共面.C1C

6、C1）BG, AD1Q1D ；（2）A例2、如圖，已知矩形 ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn) M , N分別在對(duì)角線BD, AE上,且 BMBD，ANAE .求證：MN / 平面 CDE .33空間向量基本定理例3、已知空間四邊形 OABC，其對(duì)角線為OB,AC，點(diǎn)M , N分別是對(duì)邊OA, BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在直線MN上，且MG二2GN，試用基底向量oA,ob,oc表示向量用a,b,c作為基底，則向量MN可表示為OG可表示為例4、如圖，在平行六面體ABCD-ABCP中，點(diǎn)E,F,G分別是忌，DD，而的中點(diǎn)，請(qǐng)選擇3、如圖，已知空間四邊形 OABC，其對(duì)角線OB, AC，M , N分別

7、是對(duì)邊OA, BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，表示向量OG =且MG -3GN，用基底向量 OA,OB,Oc【典例練講】恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明：(1)EG / AC ；(2)平面EFG/平面ABC .例1、如圖，在平行六面體 ABCDABCiD,中，已知T 4 T 4>DA 二 a， DC 二 b， DD c，點(diǎn)G是側(cè)面B,BCG的中心，試用向量a,b,c表示下列向量:【本課重點(diǎn)】空間向量基本定理及其運(yùn)用【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】* - *1、如果3個(gè)向量8(2忌不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p =。ei(2,e3 稱為空間的一個(gè) ， 巴(2(3叫做。當(dāng)ei,e2,e3兩兩互相

8、垂直時(shí)稱為 ,當(dāng)ei,e2,es為兩兩垂直的單位向量時(shí)稱為 .通常用表示.2、已知空間四邊形 OABC,點(diǎn)M ,N分別是OA, BC的中點(diǎn)，G在AN上，且AG=2GN, OA二a, OB二b, OC二C ,例2、在正方體OADB-CADB沖，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn)，M是OD 與 CE的交點(diǎn)，T TT j T I(1)試分別用向量 OA,OB,OC表示向量OD和OM ;(2 )OI,OJ,OK分別為OA,OB,OC方向上的單位向量,試用 Ol ,OJ,OK 表示 OA,OB,OC .空間向量的坐標(biāo)表示使 d = - a b亠丫 c.【本課重點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)表示、運(yùn)算及空間向量平行的坐標(biāo)表示【預(yù)

9、習(xí)導(dǎo)引】1、若 A(Xi,yi,Zi)， B(X2,y2,Z2)那么 AB = 2、設(shè) a=(Xi,yi,Zi)，b =(X2,y2,Z2),， R,那么(1) a +b =(2) )a -b =(3) 入a =:(3) 若 a / b(a H 0)，貝U13、已知向量 a = (8, x, x), b= (x,1,2),其中 x>0若 a/ b，貝U x 的值為4、給出命題：若=入a若a, b,a與b共線，則a與b所在的直線平行；若 a與b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)OM=10A+10B+3 OC，則點(diǎn) mC三點(diǎn)不共線，0是平面ABC外一點(diǎn),入，使b定在平面ABC上，且在 ABC的內(nèi)部.其中

10、真命題是 【典例練講】例 4、( 1)、已知向量 a = (2,4,5) , b=(3,x,y)，若 a/b，求 x, y 的值；(2)、已知空間四點(diǎn) A(2,3,1) , B(2,5,3) , C(10,0,10)和 D(8,4,9)，求證：四邊形ABCD為梯形.E、F、G、H、例1、已知ABCD -是棱長(zhǎng)為2的正方體,P為正方體的中心，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(1) 、試寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 、x軸，y軸，z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？例 2、( 1、已知 a = (1,3,8), b=(3,10,4)，求 a+b , ab, 3a , 3a 2b.(2、已知A, B , C三點(diǎn)坐

11、標(biāo)分別為(2,-1,2), (4,5, -1), (-2,2,3),求滿足下列條件的P點(diǎn)的坐標(biāo):11 - OP (AB-AC): AP (AB-AC).22(1 2b-1)2，空間向量的數(shù)量積(1)【本課重點(diǎn)】空間向量數(shù)量積、夾角及求法【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1、 設(shè)a,b是空間兩個(gè)非零向量， 過(guò)空間任一點(diǎn) 0作OA = a ,OB = b，則NAOB叫向量a與b的,記作,范圍為.若< a,b >=0,則向量 a 與 b； 若< 2, b >=兀，則向量 a 與b；若<a,b>=衛(wèi),則向量a與b互相，記為a丄b. a丄b二22、 設(shè)a, b是空間兩個(gè)非零向量，把| a

12、|b | cos< a,b >叫做向量a與b的數(shù)量積，記為 .并規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：例2、已知向量Lb，向量c與説的夾角均為60，且|畀1，仏2 , |強(qiáng)3，試求：(Ik，；(2)；(3).I 4444 443、已知a,b是空間兩個(gè)向量，若a =3, b =2， a +b = 7,則a,b的夾角為例3、如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB=AC=1, ACD = 90，將它沿著對(duì)角線 AC折起，使AB與CD成60 角，求BD間的距離.4、如圖所示，空間四邊形 OABC中，0A _ BC,OB _ AC.求證：0C _ AB.1，點(diǎn)E、F分別

13、是AB,AD的中點(diǎn)，計(jì)算：EF BA，典例練講】例1、如圖，已知空間四邊形 ABCD的每條邊和對(duì)角線都等于EF BD，EF DC.C例4、在三棱錐 O-ABC中，已知側(cè)棱 OA, OB，OC兩兩垂直，求證：底面ABC是銳角三角形(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和 AB的長(zhǎng)度;(2) AB與AC的夾角的正弦值；【本課重點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】*1、設(shè)，b=(X2,y2,Z2)則(1)|a| =；a b =；f -* f(3) cos< a, b >=;(4) a 丄 b 二 = .2、若 A(Xi , yi,Zi)， B(X2,y2,Z2),貝U AB中點(diǎn) M的坐標(biāo)為 求二A

14、BC的面積；(4)到 C點(diǎn)的距離為1的P ( x,y,z )的坐標(biāo)x, y, z滿足的條件AB =; | AB |=.4 4 _-I 43、“ a bcO”是“ ca,b>為鈍角”的 條件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分也不必要”)444 44、已知 a=(11,1 t,t), b = (2,t,t)，則 ba 的最小值為 .【典例練講】例 1、a =(3,5,V), b= (2,1,8)，計(jì)算：(1) 2a 3b, 3a-4b , ab , |a|, 12a 3b|cos：a,b ;(3)求向量2a 3b與a的夾角;(4)確定,"的關(guān)系，使-b與

15、z軸垂直例4、在棱長(zhǎng)為 1的正方體 ABCD-ABGD中，E,F分別是 DD,BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且1CG CD , H是C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量法解決下列冋題：4(1)求證：EF _ B1C ; 求EF與C1G所成角的余弦值； 求FH的長(zhǎng).例 2、已知 a =(1,5, -1) , b = (-2,3,5).4 444(1) 若 (ka b)/(a -3b)，求 k 的值；4 4 T T(2) 若(ka，b) _(a-3b)，求 k 的值(1)寫出直線AB的一個(gè)方向向量；【本課重點(diǎn)】直線的方向向量和平面的法向量若點(diǎn)M(x,y,z)在直線AB上，求x, y, z滿足的關(guān)系式；【預(yù)習(xí)導(dǎo)引

16、】.z, “，亠"設(shè)平面g經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)，且與直線 AB垂直，點(diǎn)P(x,y,z)是平面a內(nèi)一點(diǎn)，求x,y,z滿足的關(guān)系式;1、直線l上的叫做直線l的萬(wàn)向向量.求到A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn) Q(x,y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的關(guān)系式.2、 如果表示非零向量n的有向線段所在直線與平面a,那么稱向量 n與平面°，記著,此時(shí)，把向量 n叫做平面°的3、下列說(shuō)法正確的是.(1)一條直線的所有方向向量都互相平行；(2) 一個(gè)平面的所有法向量都互相平行(3)平面的法向量一定是非零向量；(4) 向量n是平面:-的法向量，向量a是與平面平行或在平面:-內(nèi)，則有n g =0.4、

17、(1)在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中，下列向量中不是y軸的方向向量的是 1CD (0,1,0)；國(guó)(0,-1,0);30,-1);(0,1,1)2(2)過(guò)空間三點(diǎn)A(1,1,0), B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一個(gè)法向量為 【典例練講】例1、(1)在正方體 ABCD-A 1B1C1D1中，求證：DB是平面ACD 1的法向量；(2)已知：A(1,2,1), B(3,2,3), C(5,3,1),求平面ABC的一個(gè)單位法向量.例4、在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A 1B1C1D1中，E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn)，則在棱 BB1上是否存在點(diǎn)M，使得UM 平面EFB1 ?若存在，指出點(diǎn)

18、M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例2、在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面 :-經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)，平面爲(wèi)的法向量是e = (a,b,c) , M(x,y,z)是平面二內(nèi)的任意一點(diǎn)，求 x, y, z滿足的關(guān)系式【本課重點(diǎn)】用向量語(yǔ)言表述線線、空間線面關(guān)系的判定(1)線面、面面的平行和垂直關(guān)系； 用向量方法判定空間線面的平行和垂直關(guān)系.【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1設(shè)兩直線 匚的方向向量分別為 e,e2 ;平面、，一:込的法向量分別為ni,門2,那么：(1) li 打二; li 丄打二;(2) li / 8 二;li 丄口1 = ； 8 / G2 二 ； S 丄口2 = .2、設(shè)a,b分別是直線li,l2的方向

19、向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)i,l2的位置關(guān)系：(i) a =(2,i,2),b =(6,3,6) ； (2) a = (i,2,2),b = (-2,3,2) ；3、 設(shè)u,v分別是平面:,-的法向量，根據(jù)下列條件，判斷:，-的位置關(guān)系：(i) (-2,2,5), v =(6,4,4) ； (2) u =(i,2,-2),v =(-2,4,4)；(3) u =(2,-3,5),v =(-3,i, V).4、已知直線l的方向向量a =(-1,0, -2)，平面:-的一個(gè)法向量為e =(4,0, m)，若直線l與平面垂直,則實(shí)數(shù)m =.【典例練講】例i、證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的

20、一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線也垂直(三垂線定理)例2、證明：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.(直線與平面垂直例 3、如圖，在直三棱柱 ABC ABG 中，NACB=90，Z BAC=30 , BC=i,AA,= J6 ,M 是棱 CG 的中點(diǎn),求證：AiB_AM.例4、已知正方體 ABCD-ABiGDi中，E,F分別為BBi、CD的中點(diǎn)，求證：DiF_面ADE.的判定定理)n空間線面關(guān)系的判定例3、如圖，平行六面體 ABCD-ABiGDi的底面ABCD是菱形，且必C1CBC1CDBC 0 .【本課重點(diǎn)】用向量方法判定空間線面的平行和垂直關(guān)系【預(yù)習(xí)導(dǎo)引

21、】1、 長(zhǎng)方體ABCD-ABiCiDi中，AD=AA, AB=2AD點(diǎn)E是線段 CD的中點(diǎn)，貝U DE與平面EBC的位置關(guān)系是 .2、 正三棱柱 ABC-ABiCi的各棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn) D是BC上一點(diǎn)，AD丄CQ，則平面 ADC與平面BCCB的位置關(guān)系.3、在正方體 ABCDAiBiCiDi中，點(diǎn)M是棱AAi的中點(diǎn)，點(diǎn) 0是BDi的中點(diǎn)，貝V OM是異面直線 AAi與B0的.TIT T T4、已知 AB =(i,5,-2), BC =(3,i,z),若 AB _ BC,BP = (x-i, y,-3),且 BP _ 平面 ABC,則實(shí)數(shù) x,y,z分別為.【典例練講】例i、在四棱椎 P-ABCD

22、中，底面 ABCD是一直角梯形，.bad =90 , AD/ BC, AB=BC=aAD=2a,且PA丄底面ABCD, PD與底面成30°角，AE± PD, E為垂足，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系：44 十工4 一求證：BE丄PD；設(shè)n =(i,p,q)，滿足n _平面PCD，求n的坐標(biāo).cd(i)求證：GC_BD ; (2 )當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使 AiC_CiBD平面，請(qǐng)給出證明GC例4、如圖所示，在三棱錐 P-ABC中，AB _ BC，AB二BC二kPA,，點(diǎn)O, D分別是AC, PC的中點(diǎn)，OP _平面ABC .(i)求證：OD /平面PBA ; (2)當(dāng)k為何值時(shí)，O

23、在平面PBC內(nèi)的射影恰好為 丄PBC的重心？例2 :在棱長(zhǎng)為i的正方體 ABCD AiBiCiDi中.(1) 若E、F分別為棱 AB和BC的中點(diǎn)，試在 BBi上找一點(diǎn)M，使得DiM _平面EFBi ；(2) 若PQ是AC與CiD的公垂線段，試確定點(diǎn) P在AC上及點(diǎn)Q在GD上的位置.【本課重點(diǎn)】向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算二BC =2 , AD = 1，求面SCD與面SBA所成二面角的大小【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1兩條異面直線所成的角與它們的方向向量的夾角2、斜線與平面所成角是斜線與平面法向量的夾角 3、兩個(gè)平面所成的二面角與兩個(gè)平面的法向量的夾角空間角的計(jì)算例 3、如圖，ABCD是直角梯形，&

24、#163; ABC =90 , AD / BC , SA _ 平面 ABCD , SA = AB14、設(shè)a,b分別是兩條異面直線 hi的方向向量，且cos：a,b -,則異面直線人丄所成角為25、 正方體ABCD kBCD 1 1中，M是AB的中點(diǎn)，貝V DBi與CM所成角的余弦值為 .【典例練講】1例 1、在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，Ei、F分別在 Ab、GD上，且 EBAB,1DFi = CiDi,P 為 BC 中點(diǎn).4(1)求BEi與DF所成角的大小；求直線FiP和平面Di AC所成角的大小求二面角Ai - BD - Ci的大小.4例4、已知四棱錐 P-ABCD,底面ABC

25、D為菱形，PA!平面ABCD, Z ABC = 60 ,E, F分別是BC PC的中點(diǎn).(1)證明：AE± PD;若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為6，求二面角E AF C的余弦值.2例 2、如圖，在直三棱柱 ABO A1B1O1 中，001 =4 , OA =4 , OB =3 , AOB =90 , D 是線段 AiBi的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BBi上的一點(diǎn)，若OP _BD，求OP與底面AOB所成角的余弦值A(chǔ)iB空間角的計(jì)算(2)在PC上是否存在點(diǎn) E,使得PB_面ADE.4. 在直二面角-1 - -中，A丄,B - , A、B都不在I上，AB與所成角為x, AB與

26、所成角為y,例4、如圖所示，四棱錐 P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中 BD是圓的直徑,2 2 2AB與l所成角為 z,貝U cos x+cos y -cos z的值為.典例練講】例1、如圖所示，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為 2和6，高為75的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸00,折.ABD =60； , BDC 二 45 , PD 垂直底面 ABCD , PD 二 2 2R, E, F 分別是 PB, CD 上的點(diǎn)，且成直二面角，如圖(2)所示，求證：AC_BOt ;求二面角OAC Oi的大小.PE DFEB 一 FC ,過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交PC于G .求BD與平面ABP

27、所成角二的正弦值;(2)證明： EFG是直角三角形；PE i當(dāng)時(shí)，求 EFG的面積.EB 2EGA尸F(xiàn)【本課重點(diǎn)】向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1若 NAPB =NBPC = NCPA =60°，貝U PA與面 PBC所成角為 ；若/APB =NBPC =NCPA =120°，貝U PA與面 PBC所成角為 .2 .若/APB ZBPC /CPA =90° , Q為異于P的一點(diǎn)，PQ與平面PAB平面PBC平面PAC所成角分別為 a、 B、 ？，貝U cos2 ° + cos2 B 十cos2 ? =.3.共點(diǎn)的三條直線 PA PB PC兩兩垂直，它們與平面 ABC所成角為：、 ，則sin2a +sin2 目 +sin2 丫 =例2、在直三棱柱 ABC AiBiCi中，底面 ABC是等腰直角三角形, -ACB =90，側(cè)棱AAi=2 , D E分別是CCi與AiB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是