考研數(shù)三(1987-1997年)歷年真題

1、1997年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5分，每小題3分，滿(mǎn)分15分.把答案在題中橫線(xiàn)上.)(1)設(shè) y = f(lnx)ef(x),其中 f 可微,則 dv =1,虧 ii 若 f(x)2.1xf (x)dx,則 f(x)dx 二1 + xL0L° 差分方程Vy Vt =t2t的通解為 .2 2 2 若二次型f(X1,X2,X3)=2X1 +X2 +X3 +2X1X2 +tX2x3是正定的，則t的取值范圍是 .X 和丫的簡(jiǎn) 設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0,32),而X1|,X9和Y1| ,Y9分別是來(lái)自總體單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量IJ = X1亠

2、川 服從分布(2分),參數(shù)為.7丫2+川+把所選項(xiàng)前的二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 字母填在題后的括號(hào)內(nèi))1 -COSXx x(1)設(shè) f (x)sin t dt, g(x),則當(dāng) Xr 0時(shí)，f (x)是 g(x)的 ()1056(A)(C)低階無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小(B)(D)高階無(wú)窮小同階但不等價(jià)的無(wú)窮小(-：,0)內(nèi) f (x) .0 ,且 f (x) ：0 ,則在(A)f (x) 0, f (x) <0(B)f (x) 0, f (x) 0(C)f (x) <0, f (x) <0(D)f (x) <

3、 0, f (x) 0 設(shè)向量組：1, ：2, ：'3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則下列向量組中，線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是(A) >2, >2 *3, >3 - >1(B) 2, >2 比3, 2匕心3(C) 2： 2, 2： 2 3： 3, 33 *(D) ： 1： 2： 3, 2：1 3： 2 22： 3, 3： 15： 2 5： 3設(shè)代B為同階可逆矩陣，則(A) AB 二 BA(B)()存在可逆矩陣P,使PAPB(C)存在可逆矩陣C ,使CTAC=B (D)存在可逆矩陣P 和 Q ,使 PAQ 二 B1 p(x =_1.； = PY 二-1, Px =12()pfx 二Y = 1

4、pIxY =1 二丄4C D生產(chǎn)函數(shù),即有(5)設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立且同分布：1=P(Y =1,則下列各式中成立的是21(A) P：X =Y =-(B)21(C) pfx Y = 0(D)4三、(本題滿(mǎn)分6分) 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱(chēng)函數(shù)1Q(x)二A、K(1 -、.兒匸為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，而稱(chēng)函數(shù)Q =AK L為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)C D生產(chǎn)函數(shù)).試證明：但x 、0時(shí)，固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)?叫0&) = Q .四、(本題滿(mǎn)分5分)設(shè)u = f (x, y, z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)y = y(x)和z = z(x)分別由方程exy-J.»。和e所確定,

5、求-.五、(本題滿(mǎn)分6分)一商家銷(xiāo)售某種商品的價(jià)格滿(mǎn)足關(guān)系p =7-0.2x(萬(wàn)元/噸),x為銷(xiāo)售量(單位：噸),商品的成本函數(shù)C =3x1 (萬(wàn)元).(1) 若每銷(xiāo)售一噸商品，政府要征稅t(萬(wàn)元),求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷(xiāo)售量；(2) t為何值時(shí)，政府稅收總額最大六、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)f (x)在0,=：)上連續(xù)、單調(diào)不減且 f (0) - 0 ,試證函數(shù)(1 x-tnf (t)dt,若 x 0, F (x)二 x 0i0,若 x=0,在0, ：)上連續(xù)且單調(diào)不減(其中n0).七、(本題滿(mǎn)分6分)從點(diǎn)R(1,0)作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)y =x2于點(diǎn)Q(1,1);再?gòu)腝1作這條拋物線(xiàn)的切線(xiàn)

6、與x軸交于P2,然后又從P2作x軸的垂線(xiàn),交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q2,依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列的點(diǎn)P,Q1； F2,Q2；ili；Pn,Qn；IU 求OR ；(2)求級(jí)數(shù)Qf+QzB中川+QnPn+|的和.其中n(n _1)為自然數(shù)，而M,M2表示點(diǎn)M,與M2之間的距離八、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)f t在0, ：)上連續(xù)，且滿(mǎn)足方程2f (t) =e4;t +x2fff (-Jx2 +y2)dxdy，求 f (t). 連t22九、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)A為n階非奇異矩陣，ot為n維列向量，b為常數(shù)記分塊矩陣廠(chǎng)一 E0亠_AP =T十A，Q = I T1，/-a Ab其中A ”是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位

7、矩陣.(1) 計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ ；(2) 證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是：亠 =b.十、(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值是1,2,3；矩陣A的屬于特征值1,2 的特征向量分別是=(-1,-1,1)丁, ：(1,-2, -1)T.(1) 求A的屬于特征值3的特征向量；(2) 求矩陣A.十一、(本題滿(mǎn)分7分)1 1假設(shè)隨機(jī)變量 X的絕對(duì)值不大于1 ； P X = T, P X =1;在事件84 -1 ：X : 1出現(xiàn)的條件下，X在(-1,1)內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比.試求X的分布函數(shù) F(x) =PX 乞 x.十二、(本題滿(mǎn)分6分)游客乘電梯從底層到電視塔頂層

8、觀光；電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行假設(shè)一游客在早晨八點(diǎn)的第 X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在0,60上均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望十三、(本題滿(mǎn)分6分)兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先開(kāi)動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自行開(kāi)動(dòng)試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T的概率密度f(wàn)(t)、數(shù)學(xué)期望和方差1996年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.)(1)設(shè)方程x = yy確定y是x的函數(shù),則dy=.1 設(shè)xf (x)dx =arcsinx+C ,則dx =.

9、f(x) 設(shè)Xo，y。是拋物線(xiàn)y二ax2 bxc上的一點(diǎn)，若在該點(diǎn)的切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系是設(shè)-111 1H 11xj1qa2a31H anx21A =2a12a2a；|H a；q,X =X3+,B =1卜+n*<na2*ndia31WR! in A.Han 一+Xn 一1其中a： Haj(i式j(luò)；i，j =12川，n).則線(xiàn)性方程組 N X = B的解是.J的置信度為,把所選項(xiàng)前的 設(shè)由來(lái)自正態(tài)總體XN(»0.92)容量為9的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，得樣本均值 X =5,則未知參數(shù)0.95的置信區(qū)間為.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

10、有一項(xiàng)符合題目要求字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)累次積分cos V02d °f(rcosr,rsin)rdr 可以寫(xiě)成()(A)1y-y20dy 0f (x, y)dx(B)11了°dy 0f (x, y)dx(C)1 10dx0f(x,y)dy(D)1xx2JdxJ0 0f(x, y)dy(2)下述各選項(xiàng)正確的是()QOQOQO(A)若瓦u2和瓦v；都收斂，則E(Un+vn)2收斂n =1n=1n =1QOQOQO(B)EUnVn收斂,則Z u：與無(wú)v；都收斂n ztn =1n =1oO1(C)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)送un發(fā)散,則Un A n三n0cO(D)若級(jí)數(shù)7 Un收斂，且Un

11、 -Vn(n =1,2j|l),則級(jí)數(shù)V也收斂n Mn M(3) 設(shè)n階矩陣A非奇異(n - 2), A”是矩陣A的伴隨矩陣，則()(A) (Af-AA(B)An An _2n -2(C) (A丁 =|A _ A(D)(Ay = |AA 設(shè)有任意兩個(gè)n維向量組r,|(Cm和若存在兩組不全為零的數(shù)'11，-m和僉,|( ,km ,使('1 * kJ ：1|( ( m kmm ( 1 - K) ： 1 訂 H，( ' m - 如)：m = 0 ,則()(A)1,| 1( Cm和-1|, ：m都線(xiàn)性相關(guān)(B) 1,|1(, : m 和-1|, ：m 都線(xiàn)性無(wú)關(guān)(C) 11,川

12、，m m 冷- “川 l,m - -m 線(xiàn)性無(wú)關(guān)(D) >1，|l(,m訂，冷1：1川l,m - : m線(xiàn)性相關(guān) 已知0 : P(B)"且PA2 B =P(A B) P(A2 B),則下列選項(xiàng)成立的是()(A) P A A2 ：B =P(A B) P(A B)(B) P A1B A2-P(A1B) P(A2B)(C) P(A+A2 )=P(A| B)+P(A?| B)(D) P B 二 P A P(B A) P(AJP(B ©g(x)_e設(shè)f (x)=三 x0,三、(本題滿(mǎn)分6分)X=0,其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(0) =1,g(0) = -1.x = 0,(

13、1)求 f (x)；(2)討論f (x)在(-：,：)上的連續(xù)性四、(本題滿(mǎn)分6分)x設(shè)函數(shù)z = f (u),方程u =(u)亠I p(t)dt確定u是x, y的函數(shù)，其中f (u),(u)可微；p(t) ,(u)連續(xù)，且(u) =1.求 p(yz p(xz.CxCy五、(本題滿(mǎn)分6分)六、(本題滿(mǎn)分5分)設(shè)f(x)在區(qū)間0,1上可微，且滿(mǎn)足條件f(1) = 2 jxf(x)dx試證：存在：(0,1)使 f( ) f ( ) =0.七、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)某種商品的單價(jià)為p時(shí),售出的商品數(shù)量 Q可以表示成Q=-c,其中a、b、p +bc均為正數(shù)，且a bc.(1) 求p在何范圍變化時(shí)，使相應(yīng)銷(xiāo)

14、售額增加或減少(2) 要使銷(xiāo)售額最大，商品單價(jià)p應(yīng)取何值？最大銷(xiāo)售額是多少？八、(本題滿(mǎn)分6分)九、（本題滿(mǎn)分8分）0 10 010 0 0設(shè)矩陣A =.0 0 y 10 0 12（1）已知A的一個(gè)特征值為3,試求y ; 求矩陣P , 使 （AP）T（AP）為對(duì)角矩陣十、（本題滿(mǎn)分8分）設(shè)向量：仆是齊次線(xiàn)性方程組 AX =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量1不是方程組AX =0的解，即 - 0 .試證明：向量組 二卩亠：S卩亠：£2,丨1（,卩亠：3線(xiàn)性無(wú)關(guān)十一、（本題滿(mǎn)分7分）假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)

15、生一次故障仍可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少 ？十二、（本題滿(mǎn)分6分）考慮一元二次方程 x2 Bx 0,其中B、C分別是將一枚色子（骰子）接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) .求該方程 有實(shí)根的概率 p和有重根的概率 q.十三、（本題滿(mǎn)分6分）假設(shè)X1,X2H,Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本；已知 EXk =ak（k =123,4）.1 n 2 證明：當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量Zn = 7 X：近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù).n i:1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.把答案

16、填在題中橫線(xiàn)上.)(1) 設(shè) f(x)二，則 f (X)工 .1 +X(2) 設(shè) z =xyf (丫), f (u)可導(dǎo)，則 xzx yzy 二x設(shè) f (Inx)=1 x,則 f(x)二0 0 0、設(shè)A= 220 , A1*是A的伴隨矩陣，則(Aj=<3 4 5設(shè)X1,X2l(,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(F2 )的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中參數(shù)丿和n nX =_H Xj,Q2=2： (Xi -X)2,則假設(shè)H0：P=0的t檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量t=.n i 生i 4,把所選項(xiàng)前的二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)

17、f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足條件|m f (1)；f(1-X) = _1,則曲線(xiàn)y二f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線(xiàn)斜率為(A) 2(B)(2)下列廣義積分發(fā)散的是1 1(A)dx'sin x: 2(C)0 e dx(B)(D)(C) 設(shè)矩陣Am n的秩為r(A)二m ： n, Em為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()(A) A的任意m個(gè)行向量必線(xiàn)性無(wú)關(guān)(B) A的任意一個(gè)m階子式不等于零(C) 若矩陣B滿(mǎn)足BA =0,則B = 0(D) A通過(guò)初等行變換,必可以化為(Em,0)的形式 設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布,記U =X -Y,V =X Y,則隨機(jī)變量U與V必然()(A)不獨(dú)立

18、 (B)獨(dú)立 (C)相關(guān)系數(shù)不為零(D)相關(guān)系數(shù)為零 設(shè)隨即變量 X服從正態(tài)分布 N(巴L),則隨的增大，概率px円成" ()(A)單調(diào)增大 (B)單調(diào)減少(C)保持不變(D) 增減不定三、（本題滿(mǎn)分6分）2（仁 COSX）,X1L.XX 20 cost dt.x 0x =0,試討論f （x）在x = 0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性X 0四、（本題滿(mǎn)分6分）已知連續(xù)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件f（x）=。'行 1 dt - e2x,求f（x）.五、（本題滿(mǎn)分6分）將函數(shù)y = |n（1 -x -2x2）展成X的幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間六、（本題滿(mǎn)分5分）,2 2、計(jì)算；：；minx,ye&qu

19、ot; y）dxdy 七、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q =Q（P）,收益函數(shù)為R = pQ,其中p為產(chǎn)品價(jià)格,Q為需求量（產(chǎn)品的產(chǎn)量）,Q（p）為單調(diào)減函數(shù)如果當(dāng)價(jià)格為p0,對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為Q0時(shí),邊際收益dRdQ=a 0,收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng)dRdp=c ： 0 ,需求對(duì)價(jià)格的彈性E p 二 b 1.求 p0 和 Q0.八、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)f (x)、g(x)在區(qū)間_a,a ( a . 0)上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)，且f (x)滿(mǎn)足條件f(x) f (_x) =A( A為常數(shù)).aa(1) 證明 f(x)g(x)dx 二 A g(x)dx ；.a-031(2) 利用 的結(jié)論計(jì)算定積分

20、&|sinxarctanexdx.九、(本題滿(mǎn)分9分)已知向量組(I )冷，2,； ( n ) ：'1'2/'3/'4 ；(川)：'1/'2/'3/'5,如果各向量組的秩分別為 r(I) =r(ll) =3, r(III) -4.證明:向量組冷，2,3,4的秩為4.十、(本題滿(mǎn)分10分)2 2已知二次型 f (x-i, x2, x3) =4x2 -3x3 4x2 -4x3 8x2x3.(1) 寫(xiě)出二次型f的矩陣表達(dá)式；(2) 用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣.十一、(本題滿(mǎn)分8分)假設(shè)一廠(chǎng)家生產(chǎn)的每臺(tái)儀

21、器，以概率0.70可以直接出廠(chǎng)；以概率 0.30需進(jìn)一步調(diào)試經(jīng)調(diào)試后以概率 0.80可以出廠(chǎng)；以概率 0.20定為不合格品不能出廠(chǎng).現(xiàn)該廠(chǎng)新生產(chǎn)了n(n 一2)臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立).求：(1) 全部能出廠(chǎng)的概率:-;(2)其中恰好有兩臺(tái)不能出廠(chǎng)的概率一：；(3) 其中至少有兩臺(tái)不能出廠(chǎng)的概率v.十二、(本題滿(mǎn)分8分)已知隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合概率密度為4xy,f（x，y）t,其他,求X和Y聯(lián)合分布函數(shù)F(x, y).1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題已知、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.)f (x) = _1,則 limxf(

22、x0 - 2x) - f (x0 - x) 設(shè)方程exy+v2=cosx確定v為x的函數(shù)，則巴=.dx-00a100a2LL00設(shè)A = |MMMM，其中 q H0,i =1,2,L ,n，則 Aa000Lan A.400L0 _(5)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(X)=!2x,I。，0 ： x ： 1,其他，以Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件X空1出現(xiàn)的次數(shù)，則PY=2”.； =2，把所選項(xiàng)前的二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)2 X2 X 1(1)曲線(xiàn)v =ex arctan的漸近線(xiàn)有()(x+1)(x-

23、2)條()收斂性與有關(guān)(A) 1 條 (B) 2條(C) 3條 (D) 4a 設(shè)常數(shù)0,而級(jí)數(shù)v a2收斂，則級(jí)數(shù)a (-1)n 一“n =1n dJ n '(A) 發(fā)散 (B)條件收斂(C)絕對(duì)收斂(D) 設(shè)A是m n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B =AC的秩為斤，則()(A)r *(B)r : r1(C)r- R(D)r與r-i的關(guān)系由C而定 設(shè) 0 cP(A) <d,0 c P(B) c1,P(A B)+P(AB) =1，則()(A)事件A和B互不相容(B)事件A和B相互對(duì)立(C) 事件A和B互不獨(dú)立(D)事件A和B相互獨(dú)立2 設(shè)Xi,X2,L,Xn是來(lái)自正

24、態(tài)總體 N(d二)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X是樣本均值，記S2 二丄' (Xin -1 ij2 2 1 n 2 -X)2, S；(Xi _X)2,1 nS2*)2,n-1 ij1 nS：區(qū))2,n i 二n i 4則服從自由度為n-1的t分布的隨機(jī)變量是()(A) tX - 1X - 1(B)X - 1(C) tS3.n(D)S4三、(本題滿(mǎn)分6分)計(jì)算二重積分 JJ(x+y)dxdy,其中 D =<(x,y) x2 + y2 蘭x + y+1.D四、(本題滿(mǎn)分5分)y 4y 4y = 0,設(shè)函數(shù)y = y( x)滿(mǎn)足條件求廣義積分y( x) dxly(0)=2,y(0)=-4,0五、(

25、本題滿(mǎn)分5分)X Ff 已知 f (x, y) = x2 arctan-y2arctan仝，求 xycxcy六、(本題滿(mǎn)分5分)設(shè)函數(shù)f (x)可導(dǎo)，且f (0) =0, F(x)二f(Xn -tn)dt,求 limflF(x)2nx七、(本題滿(mǎn)分8分)已知曲線(xiàn)y=a；x(a 0)與曲線(xiàn)y =l n-、x在點(diǎn)(x0, y0)處有公共切線(xiàn),求:(1)常數(shù)a及切點(diǎn)(x0, y0)；(2) 兩曲線(xiàn)與x軸圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 Vx.八、(本題滿(mǎn)分6分)假設(shè)f (x)在a, ：)上連續(xù)，f "(x)在a,內(nèi)存在且大于零，記F(x“3 血(xa),x a證明F(x)在a,=

26、 內(nèi)單調(diào)增加.九、(本題滿(mǎn)分11分) 設(shè)線(xiàn)性方程組XiawX3 二 ai23Xi a?X2 *2X3 二 a?,23Xi83X283X3=83,x1 a4X2 a：x3 = a；（i）證明：若ai,a2,a3,a4兩兩不相等，則此線(xiàn)性方程組無(wú)解; 設(shè)ai =a3二k,a2 =a4二k（k =0）,且已知 冷2是該方程組的兩個(gè)解，其中-Hf11,P2 =1J 一-d寫(xiě)出此方程組的通解十、（本題滿(mǎn)分8分）0 0 i設(shè)A = x i y有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 ，求X和y應(yīng)滿(mǎn)足的條件i 0 0 一、（本題滿(mǎn)分8分）假設(shè)隨機(jī)變量 Xi,X2, X3,X4相互獨(dú)立，且同分布PXj =0；=0.6,PXj

27、 =i ；=0.4（i =i,2,3,4）,求行列式x = XiX3X2的概率分布X4十二、（本題滿(mǎn)分8分）假設(shè)由自動(dòng)線(xiàn)加工的某種零件的內(nèi)徑X （毫米）服從正態(tài)分布 N（ji）,內(nèi)徑小于i0或大于i2的為不合格品，其余為合格品，銷(xiāo)售每件合格品獲利 關(guān)系：，銷(xiāo)售每件不合格品虧損.已知銷(xiāo)售利潤(rùn)T （單位：元）與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑 X有如下-1，X M0，T 二巨。，i0 - X -i2，-5， X 12.問(wèn)平均內(nèi)徑 取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大1993年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分,把答案填在題中橫線(xiàn)上.)(1)limsin2 二x 5x

28、3 x已知y = f綸2l3x+2 丿,f，(x ) = arctan x2,則型dxX=0級(jí)數(shù)響的和為n衛(wèi) 2設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣A*的秩為.)(1)設(shè) f x 二 xsin 占,【0,x7則x =0,(A)極限不存在(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(B)(D)極限存在但不連續(xù)可導(dǎo)設(shè)f x為連續(xù)函數(shù)，且F x = 1lnxf t dt,則F x等于(A) 1 f ln x $ f xx(B)-f ln x f x(C)(lnx)2f Qx(D)f (lnx)- f '丄lx丿設(shè)總體X的方差為1,根據(jù)來(lái)自X的容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，測(cè)得樣本均值為5,則X的數(shù)學(xué)期望的置信度 近似等于

29、0.95的置信區(qū)間為二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選 項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)A與對(duì)角陣相似的()充分而非必要條件 既非充分也非必要條件(A) A是必然事件(B)P(B A) 9n階方陣A具有n個(gè)不同的特征值是(A)充分必要條件(B)(C)必要而非充分條件(D)假設(shè)事件A和B滿(mǎn)足P(B A) =1,則(D)設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為(x),且7-xH (x). F(x)是X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a ,有()a(A) F(_a) =1_ (/("dx.(B)1 a .F(-a) =2 - 0(x)dx(C)

30、 F (a)二 F (a)(D)F(_a) =2F(a) 一1三、(本題滿(mǎn)分5分)設(shè)z = f x,y是由方程z - y-X xez_y公=0所確定的二元函數(shù)，求dz.四、(本題滿(mǎn)分7分)x -a已知lim ix x a二4x2e °xdx,求常數(shù)a的值.a(即產(chǎn)量),p為y = f (x)相交五、(本題滿(mǎn)分9分)、 2 1設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C二aq bq c,需求函數(shù)為q (dp),其中C為成本，q為需求量e單價(jià)，a,b,c, d,e都是正的常數(shù)，且d b,求：(1) 利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn)；(2) 需求對(duì)價(jià)格的彈性；(3) 需求對(duì)價(jià)格彈性的絕對(duì)值為1時(shí)的產(chǎn)量.六、(本題滿(mǎn)分

31、8分)假設(shè):(1)函數(shù)y二f (x)(0空x ： ：)滿(mǎn)足條件f (0) =0和0乞f (x)乞ex -1;(2) 平行于y軸的動(dòng)直線(xiàn) MN與曲線(xiàn)y = f(x)和y二ex -1分別相交于點(diǎn) R和F2;(3) 曲線(xiàn)y二f(x),直線(xiàn)MN與x軸所圍封閉圖形的面積 S恒等于線(xiàn)段RF2的長(zhǎng)度.求函數(shù)y = f (x)的表達(dá)式.七、(本題滿(mǎn)分6分)假設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，過(guò)點(diǎn)A(0, f (0)與B(1,f(1)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)于點(diǎn) C(c, f (c),其中 0 ： c ：1.證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使f ( J = 0.八、(本題滿(mǎn)分10分) k為何值時(shí)，

32、線(xiàn)性方程組 Xi X2 kx3 = 4, I2_Xr kx2 x3 = k ,J Xi - X2 ' 2X3 = -4有惟一解，無(wú)解,有無(wú)窮多組解？在有解情況下，求出其全部解九、(本題滿(mǎn)分9分) 設(shè)二次型f = xj x； x32. x1x22' x2x3 2x1x3經(jīng)正交變換X =PY化成f2yf,其中X =任 兀,X3)T和Y =(yi, y?, y3)T是三維列向量,P是3階正交矩陣.試求常數(shù): /.十、(本題滿(mǎn)分8分) 設(shè)隨機(jī)變量 X和Y同分布，X的概率密度為l3x2,0cxv2,f(x)二 80, 其他.(1)已知事件A,Xa?和B=；Y 9獨(dú)立，且P AU B二3.

33、求常數(shù)a.41(2)求的數(shù)學(xué)期望X2、(本題滿(mǎn)分8分)假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N t服從參數(shù)為t的泊松分布(1)求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；(2)求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.1992年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分,把答案填在題中橫線(xiàn)上.)(1)設(shè)商品的需求函數(shù)為 Q =100 -5P ,其中Q, P分別表示為需求量和價(jià)格,如果商品需求彈性的絕對(duì)值大于1,則商品價(jià)格的取值范圍是級(jí)數(shù)二0的收斂域?yàn)閚4、 1交換積分次序 o dyf(x, y)dx =設(shè)A為m階方陣，B為n

34、階方陣，且A=a, B|=b,C =將C,C,E,E,I,N,S等七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么，恰好排成英文單詞SCIENCE勺概率為二、選擇題(本題共5小題，每小題3分,滿(mǎn)分15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).),只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選(1)設(shè) F(x)x2xf (t)dt,其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，則lim F(x)等于x-a ax r(A) a2(B)a2f (a)不存在(C) 0當(dāng)Xr 0時(shí)，下面四個(gè)無(wú)窮小量中，哪一個(gè)是比其他三個(gè)更高階的無(wú)窮小量(D)(A) x2(B)1 COSX(C)'.1-x2-1(D)x -ta nx設(shè)A為m n矩陣，齊

35、次線(xiàn)性方程組(A) A的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)(C) A的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān) 設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則Ax =0僅有零解的充分條件是(B)(D)A的列向量線(xiàn)性相關(guān)A的行向量線(xiàn)性相關(guān)()(A) P(C)乞 P(A) P(B) -1(B)P(C) _ P(A) P(B) -1(C) P(C)=P(AB)(D)p(c)= p(aUb)設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量X11X2|,Xn獨(dú)立同分布2 1 n,D(X1)*,XXi,n yS2* -X)2,則n T i #(A)S是二的無(wú)偏估計(jì)量(B)S是二的最大似然估計(jì)量(C) S是二的相合估計(jì)量(即一致估計(jì)量)(D)S與X相互獨(dú)立三、（本題滿(mǎn)分5分）In cos(

36、x1) j設(shè)函數(shù) f (x)二 1 -sin x21，x =1,問(wèn)函數(shù)f （x）在x = 1處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改函數(shù)在X二1處的定義使X = 1.之連續(xù)四、（本題滿(mǎn)分5分）計(jì)算I昨叫.五、（本題滿(mǎn)分5分）_2設(shè)Z二Si n（xy） （X,x）,求'Z,其中（u,v）有二階偏導(dǎo)數(shù)ydx說(shuō)六、（本題滿(mǎn)分5分）求連續(xù)函數(shù)f(x),使它滿(mǎn)足七、（本題滿(mǎn)分6分）求證：當(dāng)x_1時(shí)，arcta n x -八、（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)曲線(xiàn)方程y =e(x _0).X2f(x)+2 0 f (t)dt =x1 2x 二 arccos 2 = 2 1 x 4（1）把曲線(xiàn)y二e： x軸，y軸和直線(xiàn)x= C0

37、）所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積V();求滿(mǎn)足V(a) < lim V()的a.（2）在此曲線(xiàn)上找一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)與兩個(gè)坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積（3）九、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)矩陣A與B相似,其中-_-2 0 0-1 0 01A =2x2,B =0 2 0311 一L0 0 yj（1）求x和y的值.求可逆矩陣P,使得PAP = B.十、（本題滿(mǎn)分6分）已知三階矩陣 B = 0,且B的每一個(gè)列向量都是以下方程組的解Xi2x2 -2x3 = 0,2xi _ X2 ：. ；.X3 = 0,3xiX2 -X3 = 0.（1）求九的值；（2） 證明B =

38、0.、（本題滿(mǎn)分6分）（A 0）設(shè)A B分別為m n階正定矩陣，試判定分塊矩陣 C=是否是正定矩陣<0 B丿十二、（本題滿(mǎn)分7分）假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差 xLn（0,102）,試求100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率：，并利用泊松分布求出:的近似值（要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字）.附表1234567e入0.3680.135 0.0500.0180.007 0.002 0.001十三、（本題滿(mǎn)分5分）一臺(tái)設(shè)備由三大部分構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù) ，試求X的數(shù)學(xué)期望

39、EX和方差DX .十四、（本題滿(mǎn)分4分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為0 x y, f（x，八0,其他，（1）求隨機(jī)變量X的密度f(wàn)X（x）; （2） 求概率PX 丫汨.1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題（本題滿(mǎn)分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.）(1)si nxy設(shè) z = e ,貝U dz 二設(shè)曲線(xiàn)f x = x a與g x = bx2 c都通過(guò)點(diǎn):-1,0 ,且在點(diǎn)-1,0有公共切線(xiàn)，則a二設(shè) f (x )=xex,則 f C x)在點(diǎn)處取極小值設(shè)A和B為可逆矩陣，X =(0為分塊矩陣，則X二二設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)二 PX mx二0,X &#

40、163; 1,一1 蘭 X < 1,|0.8,1 蘭x c3,I1,xK3.則X的概率分布為二、選擇題（本題滿(mǎn)分15分,每小題 題后的括號(hào)內(nèi).）（1）3分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在F列各式中正確的是(A) lim 1 - T十Ixx1(B)lim 1 -xX )0 -(C) lim 1 -1x二-e(D)lim 1x =：-x-x1設(shè)0乞an （n =1,2,川）則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是nQO(A)、ann注(B)QOO0' (-1)nan (C)二.- an經(jīng)(D)、(T)na：n A設(shè)A為n階可逆矩陣，是A的一個(gè)特征根,則A的伴隨矩陣

41、A 的特征根之一是（）(A)A (B)4a(C)(D)An設(shè)A和B是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是（）（A） A與B不相容(B)A與B相容(C) P AB =P APB(D)P A-Bi=P A對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和Y,若E（XYH E（X） E（Y）,則(A) D(XY) =D(X) D(Y)(B)D(X Y) =D(X) D(Y)（C） X和Y獨(dú)立(D)X和Y不獨(dú)立三、（本題滿(mǎn)分5分）求極限limXx 2xe ee,其中n是給定的自然數(shù).四、（本題滿(mǎn)分5分）計(jì)算二重積分I = ydxdy,其中D是由x軸，y軸與曲線(xiàn)Dx .y -1所圍成的區(qū)域，a O,b O.

42、五、（本題滿(mǎn)分求微分方程5分)dyxydx-x2y2滿(mǎn)足條件yx=g =2e的特解.六、（本題滿(mǎn)分假設(shè)曲線(xiàn)Li: y =1-x2 Ox乞1、x軸和y軸所圍區(qū)域被曲線(xiàn)2L2: y= ax分為面積相等的兩部分,其中a是大于零的常數(shù)，試確定a的值.七、（本題滿(mǎn)分8分）某廠(chǎng)家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷(xiāo)售,售價(jià)分別為p,和P2 ;銷(xiāo)售量分別為 qi和q2;需求函數(shù)分別為q1 = 24 - 0.2 5 和 q2 = 10 - 0.05 p2，總成本函數(shù)為 C = 35 40 q q2 試問(wèn)：廠(chǎng)家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，能使其獲得的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少?八、（本題滿(mǎn)分6分）1試證明函數(shù)f（x）二（

43、1）x在區(qū)間（0,=）內(nèi)單調(diào)增加.x九、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)有三維列向量問(wèn)取何值時(shí)，（1）:可由123線(xiàn)性表示，且表達(dá)式唯一 ？（2）:可由123線(xiàn)性表示，且表達(dá)式不唯一 ？（3）:不能由線(xiàn)性表示?2 2 2考慮二次型f =為-4x2 - 4x3 2 - XjX2 _2X|X3 4x2x3 .問(wèn)取何值時(shí)，f為正定二次型.卜一、（本題滿(mǎn)分6分）試證明n維列向量組1,2,11（,n線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是T1T芒2T:-1 ：-2TJ.2J.2IIIIIIT宀：nT>2 ： n-0,T-1Tn - 2III其中表示列向量_：丁的轉(zhuǎn)置,i =1,2川1, n.十二、（本題滿(mǎn)分5分）一汽車(chē)沿一街道

44、行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等 ，以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù).求X的概率分布十三、（本題滿(mǎn)分6分）假設(shè)隨機(jī)變量 X和Y在圓域X2 y2 _ r2上服從聯(lián)合均勻分布（1）求X和Y的相關(guān)系數(shù) ;（2）問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？十四、（本題滿(mǎn)分5分）設(shè)總體X的概率密度為p(x;')=axax0,x 0,xZ,其中0是未知參數(shù),a 0是已知常數(shù).試根據(jù)來(lái)自總體 X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2l（,Xn,求'的最大似然估計(jì)量 ?.1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題滿(mǎn)

45、分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.)(1) 極限 lim( Jn +3亦 _ Jn 府)= 設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，f (0) =0, f (0) =b,若函數(shù)f(x) asin xF(x)二xA,在x =0處連續(xù)，則常數(shù)A= 曲線(xiàn)y=x2與直線(xiàn)y=x+2所圍成的平面圖形的面積為 xi + x2 = 3,x2 + 尢=a2(4) 若線(xiàn)性方程組'有解,則常數(shù)31,32,33,34應(yīng)滿(mǎn)足條件 .X3 +% =-比，N +x, =34(5) 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為 80 ,則該射手的命中率為 81二、選擇題(本題滿(mǎn)分15分，每小題3分.每小

46、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在 題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù) f(x)二 x tanx esinx,則 f (x)是()(A)偶函數(shù) (B)無(wú)界函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù) 設(shè)函數(shù)f (x)對(duì)任意x均滿(mǎn)足等式f(1 x) =af(x),且有f (0) =b,其中a,b為非零常數(shù)，則()(A) f (x)在x =1處不可導(dǎo)(B)f (x)在x=1處可導(dǎo)，且f(1) = a(C) f (x)在 x =1 處可導(dǎo)，且 f(1) = b (D)f (x )在 x=1 處可導(dǎo)，且 f(1) = ab 向量組1,2l(,s線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分條件是()(A) ：'1,

47、2,川，s均不為零向量(B) -1, - 2, HL ： s中任意兩個(gè)向量的分量不成比例(C) ：仆：匕,川，亠中任意一個(gè)向量均不能由其余S-1個(gè)向量線(xiàn)性表示(D) ：'1, ： 2, HL ： s中有一部分向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)(4)設(shè)代B為兩隨機(jī)事件，且B A,則下列式子正確的是()(B)P AB 二 P A(C) P(BA)=P(B)(D)(5)設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為P BAi=P(B) P Am-1 1PX =m1 12 2m-11PY = m1122則下列式子正確的是 ()1(A) X 二丫 (B) PX 二丫1=0 (C) pfx =Y(D) pCx=Y?-12三、

48、計(jì)算題(本題滿(mǎn)分20分,每小題5分.)x Int2(1)求函數(shù)I (x)2dt在區(qū)間e,e2上的最大值.e t2 -2t +1y222 計(jì)算二重積分xe dxdy,其中D是曲線(xiàn)y = 4x和y = 9x在第一象限所圍成的區(qū)域.D(3) 求級(jí)數(shù)一比23L的收斂域.n £ n 求微分方程y ： ycos x = (ln x)e "sinx的通解.四、(本題滿(mǎn)分9分)某公司可通過(guò)電臺(tái)及報(bào)紙兩種形式做銷(xiāo)售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,銷(xiāo)售收入R(萬(wàn)元)與電臺(tái)廣告費(fèi)用治(萬(wàn)元)及報(bào)紙廣告費(fèi)用X2(萬(wàn)元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式 ：R =15 14x132x2 -8皿2 -2x2 -1

49、0x；.(1) 在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；(2) 若提供的廣告費(fèi)用為1.5萬(wàn)元,求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.五、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)f (x)在閉區(qū)間0, c上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(0, c)內(nèi)存在且單調(diào)減少；f (0H 0,試應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式：f (a F)乞f (a) f(b),其中常數(shù)a、b滿(mǎn)足條件Oa乞babc.六、(本題滿(mǎn)分8分) 已知線(xiàn)性方程組為 X2 x3 x4 x5 =a,3x1 2x2 x3 怡3x5 二 0, x? 2x3 2x4 6x5 二 b,5x1 4x2 3x3 3x4x5 二 2,(1) a b為何值時(shí)，方程組有解？(2) 方程組有解時(shí)，求出方程組的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系;(3) 方程組有解時(shí)，求出方程組的全部解.已知對(duì)于n階方陣A,存在自然數(shù)k,使得Ak=0,試證明矩陣E_A可逆,并寫(xiě)出其逆矩陣的表達(dá)式（E為n階單位陣）.八、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)A是n階矩陣，和匕是A的兩個(gè)不同的特征值,Xi,X2是分別屬于'1和、2的特征向量試證明Xi X2不是A的特征向量九、（本題滿(mǎn)分4分）從0,1,2, |,9十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同數(shù)字，試求下列事件的概率:A =三個(gè)數(shù)字中不含 0和5 ； A2 =三個(gè)數(shù)字中不含0或5.十、（本題滿(mǎn)分5分） 一電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成為：（1）問(wèn)X和Y是否獨(dú)立