考研數(shù)三(1987-1997年)歷年真題

1、1997年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5分，每小題3分，滿分15分.把答案在題中橫線上.)(1)設(shè) y = f(lnx)ef(x),其中 f 可微,則 dv =1,虧 ii 若 f(x)2.1xf (x)dx,則 f(x)dx 二1 + xL0L° 差分方程Vy Vt =t2t的通解為 .2 2 2 若二次型f(X1,X2,X3)=2X1 +X2 +X3 +2X1X2 +tX2x3是正定的，則t的取值范圍是 .X 和丫的簡 設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0,32),而X1|,X9和Y1| ,Y9分別是來自總體單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量IJ = X1亠

2、川 服從分布(2分),參數(shù)為.7丫2+川+把所選項(xiàng)前的二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 字母填在題后的括號內(nèi))1 -COSXx x(1)設(shè) f (x)sin t dt, g(x),則當(dāng) Xr 0時，f (x)是 g(x)的 ()1056(A)(C)低階無窮小等價無窮小(B)(D)高階無窮小同階但不等價的無窮小(-：,0)內(nèi) f (x) .0 ,且 f (x) ：0 ,則在(A)f (x) 0, f (x) <0(B)f (x) 0, f (x) 0(C)f (x) <0, f (x) <0(D)f (x) <

3、 0, f (x) 0 設(shè)向量組：1, ：2, ：'3線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是(A) >2, >2 *3, >3 - >1(B) 2, >2 比3, 2匕心3(C) 2： 2, 2： 2 3： 3, 33 *(D) ： 1： 2： 3, 2：1 3： 2 22： 3, 3： 15： 2 5： 3設(shè)代B為同階可逆矩陣，則(A) AB 二 BA(B)()存在可逆矩陣P,使PAPB(C)存在可逆矩陣C ,使CTAC=B (D)存在可逆矩陣P 和 Q ,使 PAQ 二 B1 p(x =_1.； = PY 二-1, Px =12()pfx 二Y = 1

4、pIxY =1 二丄4C D生產(chǎn)函數(shù),即有(5)設(shè)兩個隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立且同分布：1=P(Y =1,則下列各式中成立的是21(A) P：X =Y =-(B)21(C) pfx Y = 0(D)4三、(本題滿分6分) 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱函數(shù)1Q(x)二A、K(1 -、.兒匸為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，而稱函數(shù)Q =AK L為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)(簡稱C D生產(chǎn)函數(shù)).試證明：但x 、0時，固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)?叫0&) = Q .四、(本題滿分5分)設(shè)u = f (x, y, z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)y = y(x)和z = z(x)分別由方程exy-J.»。和e所確定,

5、求-.五、(本題滿分6分)一商家銷售某種商品的價格滿足關(guān)系p =7-0.2x(萬元/噸),x為銷售量(單位：噸),商品的成本函數(shù)C =3x1 (萬元).(1) 若每銷售一噸商品，政府要征稅t(萬元),求該商家獲最大利潤時的銷售量；(2) t為何值時，政府稅收總額最大六、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f (x)在0,=：)上連續(xù)、單調(diào)不減且 f (0) - 0 ,試證函數(shù)(1 x-tnf (t)dt,若 x 0, F (x)二 x 0i0,若 x=0,在0, ：)上連續(xù)且單調(diào)不減(其中n0).七、(本題滿分6分)從點(diǎn)R(1,0)作x軸的垂線，交拋物線y =x2于點(diǎn)Q(1,1);再從Q1作這條拋物線的切線

6、與x軸交于P2,然后又從P2作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)Q2,依次重復(fù)上述過程得到一系列的點(diǎn)P,Q1； F2,Q2；ili；Pn,Qn；IU 求OR ；(2)求級數(shù)Qf+QzB中川+QnPn+|的和.其中n(n _1)為自然數(shù)，而M,M2表示點(diǎn)M,與M2之間的距離八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f t在0, ：)上連續(xù)，且滿足方程2f (t) =e4;t +x2fff (-Jx2 +y2)dxdy，求 f (t). 連t22九、(本題滿分6分)設(shè)A為n階非奇異矩陣，ot為n維列向量，b為常數(shù)記分塊矩陣廠一 E0亠_AP =T十A，Q = I T1，/-a Ab其中A ”是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位

7、矩陣.(1) 計(jì)算并化簡PQ ；(2) 證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是：亠 =b.十、(本題滿分10分)設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值是1,2,3；矩陣A的屬于特征值1,2 的特征向量分別是=(-1,-1,1)丁, ：(1,-2, -1)T.(1) 求A的屬于特征值3的特征向量；(2) 求矩陣A.十一、(本題滿分7分)1 1假設(shè)隨機(jī)變量 X的絕對值不大于1 ； P X = T, P X =1;在事件84 -1 ：X : 1出現(xiàn)的條件下，X在(-1,1)內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比.試求X的分布函數(shù) F(x) =PX 乞 x.十二、(本題滿分6分)游客乘電梯從底層到電視塔頂層

8、觀光；電梯于每個整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行假設(shè)一游客在早晨八點(diǎn)的第 X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在0,60上均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學(xué)期望十三、(本題滿分6分)兩臺同樣自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先開動其中一臺，當(dāng)其發(fā)生故障時停用而另一臺自行開動試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T的概率密度f(t)、數(shù)學(xué)期望和方差1996年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)方程x = yy確定y是x的函數(shù),則dy=.1 設(shè)xf (x)dx =arcsinx+C ,則dx =.

9、f(x) 設(shè)Xo，y。是拋物線y二ax2 bxc上的一點(diǎn)，若在該點(diǎn)的切線過原點(diǎn)，則系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是設(shè)-111 1H 11xj1qa2a31H anx21A =2a12a2a；|H a；q,X =X3+,B =1卜+n*<na2*ndia31WR! in A.Han 一+Xn 一1其中a： Haj(i式j(luò)；i，j =12川，n).則線性方程組 N X = B的解是.J的置信度為,把所選項(xiàng)前的 設(shè)由來自正態(tài)總體XN(»0.92)容量為9的簡單隨機(jī)樣本，得樣本均值 X =5,則未知參數(shù)0.95的置信區(qū)間為.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

10、有一項(xiàng)符合題目要求字母填在題后的括號內(nèi).)(1)累次積分cos V02d °f(rcosr,rsin)rdr 可以寫成()(A)1y-y20dy 0f (x, y)dx(B)11了°dy 0f (x, y)dx(C)1 10dx0f(x,y)dy(D)1xx2JdxJ0 0f(x, y)dy(2)下述各選項(xiàng)正確的是()QOQOQO(A)若瓦u2和瓦v；都收斂，則E(Un+vn)2收斂n =1n=1n =1QOQOQO(B)EUnVn收斂,則Z u：與無v；都收斂n ztn =1n =1oO1(C)若正項(xiàng)級數(shù)送un發(fā)散,則Un A n三n0cO(D)若級數(shù)7 Un收斂，且Un

11、 -Vn(n =1,2j|l),則級數(shù)V也收斂n Mn M(3) 設(shè)n階矩陣A非奇異(n - 2), A”是矩陣A的伴隨矩陣，則()(A) (Af-AA(B)An An _2n -2(C) (A丁 =|A _ A(D)(Ay = |AA 設(shè)有任意兩個n維向量組r,|(Cm和若存在兩組不全為零的數(shù)'11，-m和僉,|( ,km ,使('1 * kJ ：1|( ( m kmm ( 1 - K) ： 1 訂 H，( ' m - 如)：m = 0 ,則()(A)1,| 1( Cm和-1|, ：m都線性相關(guān)(B) 1,|1(, : m 和-1|, ：m 都線性無關(guān)(C) 11,川

12、，m m 冷- “川 l,m - -m 線性無關(guān)(D) >1，|l(,m訂，冷1：1川l,m - : m線性相關(guān) 已知0 : P(B)"且PA2 B =P(A B) P(A2 B),則下列選項(xiàng)成立的是()(A) P A A2 ：B =P(A B) P(A B)(B) P A1B A2-P(A1B) P(A2B)(C) P(A+A2 )=P(A| B)+P(A?| B)(D) P B 二 P A P(B A) P(AJP(B ©g(x)_e設(shè)f (x)=三 x0,三、(本題滿分6分)X=0,其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(0) =1,g(0) = -1.x = 0,(

13、1)求 f (x)；(2)討論f (x)在(-：,：)上的連續(xù)性四、(本題滿分6分)x設(shè)函數(shù)z = f (u),方程u =(u)亠I p(t)dt確定u是x, y的函數(shù)，其中f (u),(u)可微；p(t) ,(u)連續(xù)，且(u) =1.求 p(yz p(xz.CxCy五、(本題滿分6分)六、(本題滿分5分)設(shè)f(x)在區(qū)間0,1上可微，且滿足條件f(1) = 2 jxf(x)dx試證：存在：(0,1)使 f( ) f ( ) =0.七、(本題滿分6分)設(shè)某種商品的單價為p時,售出的商品數(shù)量 Q可以表示成Q=-c,其中a、b、p +bc均為正數(shù)，且a bc.(1) 求p在何范圍變化時，使相應(yīng)銷

14、售額增加或減少(2) 要使銷售額最大，商品單價p應(yīng)取何值？最大銷售額是多少？八、(本題滿分6分)九、（本題滿分8分）0 10 010 0 0設(shè)矩陣A =.0 0 y 10 0 12（1）已知A的一個特征值為3,試求y ; 求矩陣P , 使 （AP）T（AP）為對角矩陣十、（本題滿分8分）設(shè)向量：仆是齊次線性方程組 AX =0的一個基礎(chǔ)解系，向量1不是方程組AX =0的解，即 - 0 .試證明：向量組 二卩亠：S卩亠：£2,丨1（,卩亠：3線性無關(guān)十一、（本題滿分7分）假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)

15、生一次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元求一周內(nèi)期望利潤是多少 ？十二、（本題滿分6分）考慮一元二次方程 x2 Bx 0,其中B、C分別是將一枚色子（骰子）接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) .求該方程 有實(shí)根的概率 p和有重根的概率 q.十三、（本題滿分6分）假設(shè)X1,X2H,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本；已知 EXk =ak（k =123,4）.1 n 2 證明：當(dāng)n充分大時，隨機(jī)變量Zn = 7 X：近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù).n i:1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.把答案

16、填在題中橫線上.)(1) 設(shè) f(x)二，則 f (X)工 .1 +X(2) 設(shè) z =xyf (丫), f (u)可導(dǎo)，則 xzx yzy 二x設(shè) f (Inx)=1 x,則 f(x)二0 0 0、設(shè)A= 220 , A1*是A的伴隨矩陣，則(Aj=<3 4 5設(shè)X1,X2l(,Xn是來自正態(tài)總體N(F2 )的簡單隨機(jī)樣本，其中參數(shù)丿和n nX =_H Xj,Q2=2： (Xi -X)2,則假設(shè)H0：P=0的t檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量t=.n i 生i 4,把所選項(xiàng)前的二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設(shè)

17、f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件|m f (1)；f(1-X) = _1,則曲線y二f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線斜率為(A) 2(B)(2)下列廣義積分發(fā)散的是1 1(A)dx'sin x: 2(C)0 e dx(B)(D)(C) 設(shè)矩陣Am n的秩為r(A)二m ： n, Em為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()(A) A的任意m個行向量必線性無關(guān)(B) A的任意一個m階子式不等于零(C) 若矩陣B滿足BA =0,則B = 0(D) A通過初等行變換,必可以化為(Em,0)的形式 設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布,記U =X -Y,V =X Y,則隨機(jī)變量U與V必然()(A)不獨(dú)立

18、 (B)獨(dú)立 (C)相關(guān)系數(shù)不為零(D)相關(guān)系數(shù)為零 設(shè)隨即變量 X服從正態(tài)分布 N(巴L),則隨的增大，概率px円成" ()(A)單調(diào)增大 (B)單調(diào)減少(C)保持不變(D) 增減不定三、（本題滿分6分）2（仁 COSX）,X1L.XX 20 cost dt.x 0x =0,試討論f （x）在x = 0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性X 0四、（本題滿分6分）已知連續(xù)函數(shù)f（x）滿足條件f（x）=。'行 1 dt - e2x,求f（x）.五、（本題滿分6分）將函數(shù)y = |n（1 -x -2x2）展成X的幕級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間六、（本題滿分5分）,2 2、計(jì)算；：；minx,ye&qu

19、ot; y）dxdy 七、（本題滿分6分）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q =Q（P）,收益函數(shù)為R = pQ,其中p為產(chǎn)品價格,Q為需求量（產(chǎn)品的產(chǎn)量）,Q（p）為單調(diào)減函數(shù)如果當(dāng)價格為p0,對應(yīng)產(chǎn)量為Q0時,邊際收益dRdQ=a 0,收益對價格的邊際效應(yīng)dRdp=c ： 0 ,需求對價格的彈性E p 二 b 1.求 p0 和 Q0.八、(本題滿分6分)設(shè)f (x)、g(x)在區(qū)間_a,a ( a . 0)上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)，且f (x)滿足條件f(x) f (_x) =A( A為常數(shù)).aa(1) 證明 f(x)g(x)dx 二 A g(x)dx ；.a-031(2) 利用 的結(jié)論計(jì)算定積分

20、&|sinxarctanexdx.九、(本題滿分9分)已知向量組(I )冷，2,； ( n ) ：'1'2/'3/'4 ；(川)：'1/'2/'3/'5,如果各向量組的秩分別為 r(I) =r(ll) =3, r(III) -4.證明:向量組冷，2,3,4的秩為4.十、(本題滿分10分)2 2已知二次型 f (x-i, x2, x3) =4x2 -3x3 4x2 -4x3 8x2x3.(1) 寫出二次型f的矩陣表達(dá)式；(2) 用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣.十一、(本題滿分8分)假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀

21、器，以概率0.70可以直接出廠；以概率 0.30需進(jìn)一步調(diào)試經(jīng)調(diào)試后以概率 0.80可以出廠；以概率 0.20定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n 一2)臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立).求：(1) 全部能出廠的概率:-;(2)其中恰好有兩臺不能出廠的概率一：；(3) 其中至少有兩臺不能出廠的概率v.十二、(本題滿分8分)已知隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合概率密度為4xy,f（x，y）t,其他,求X和Y聯(lián)合分布函數(shù)F(x, y).1994年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題已知、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)f (x) = _1,則 limxf(

22、x0 - 2x) - f (x0 - x) 設(shè)方程exy+v2=cosx確定v為x的函數(shù)，則巴=.dx-00a100a2LL00設(shè)A = |MMMM，其中 q H0,i =1,2,L ,n，則 Aa000Lan A.400L0 _(5)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(X)=!2x,I。，0 ： x ： 1,其他，以Y表示對X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件X空1出現(xiàn)的次數(shù)，則PY=2”.； =2，把所選項(xiàng)前的二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 字母填在題后的括號內(nèi).)2 X2 X 1(1)曲線v =ex arctan的漸近線有()(x+1)(x-

23、2)條()收斂性與有關(guān)(A) 1 條 (B) 2條(C) 3條 (D) 4a 設(shè)常數(shù)0,而級數(shù)v a2收斂，則級數(shù)a (-1)n 一“n =1n dJ n '(A) 發(fā)散 (B)條件收斂(C)絕對收斂(D) 設(shè)A是m n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B =AC的秩為斤，則()(A)r *(B)r : r1(C)r- R(D)r與r-i的關(guān)系由C而定 設(shè) 0 cP(A) <d,0 c P(B) c1,P(A B)+P(AB) =1，則()(A)事件A和B互不相容(B)事件A和B相互對立(C) 事件A和B互不獨(dú)立(D)事件A和B相互獨(dú)立2 設(shè)Xi,X2,L,Xn是來自正

24、態(tài)總體 N(d二)的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值，記S2 二丄' (Xin -1 ij2 2 1 n 2 -X)2, S；(Xi _X)2,1 nS2*)2,n-1 ij1 nS：區(qū))2,n i 二n i 4則服從自由度為n-1的t分布的隨機(jī)變量是()(A) tX - 1X - 1(B)X - 1(C) tS3.n(D)S4三、(本題滿分6分)計(jì)算二重積分 JJ(x+y)dxdy,其中 D =<(x,y) x2 + y2 蘭x + y+1.D四、(本題滿分5分)y 4y 4y = 0,設(shè)函數(shù)y = y( x)滿足條件求廣義積分y( x) dxly(0)=2,y(0)=-4,0五、(

25、本題滿分5分)X Ff 已知 f (x, y) = x2 arctan-y2arctan仝，求 xycxcy六、(本題滿分5分)設(shè)函數(shù)f (x)可導(dǎo)，且f (0) =0, F(x)二f(Xn -tn)dt,求 limflF(x)2nx七、(本題滿分8分)已知曲線y=a；x(a 0)與曲線y =l n-、x在點(diǎn)(x0, y0)處有公共切線,求:(1)常數(shù)a及切點(diǎn)(x0, y0)；(2) 兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 Vx.八、(本題滿分6分)假設(shè)f (x)在a, ：)上連續(xù)，f "(x)在a,內(nèi)存在且大于零，記F(x“3 血(xa),x a證明F(x)在a,=

26、 內(nèi)單調(diào)增加.九、(本題滿分11分) 設(shè)線性方程組XiawX3 二 ai23Xi a?X2 *2X3 二 a?,23Xi83X283X3=83,x1 a4X2 a：x3 = a；（i）證明：若ai,a2,a3,a4兩兩不相等，則此線性方程組無解; 設(shè)ai =a3二k,a2 =a4二k（k =0）,且已知 冷2是該方程組的兩個解，其中-Hf11,P2 =1J 一-d寫出此方程組的通解十、（本題滿分8分）0 0 i設(shè)A = x i y有三個線性無關(guān)的特征向量 ，求X和y應(yīng)滿足的條件i 0 0 一、（本題滿分8分）假設(shè)隨機(jī)變量 Xi,X2, X3,X4相互獨(dú)立，且同分布PXj =0；=0.6,PXj

27、 =i ；=0.4（i =i,2,3,4）,求行列式x = XiX3X2的概率分布X4十二、（本題滿分8分）假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X （毫米）服從正態(tài)分布 N（ji）,內(nèi)徑小于i0或大于i2的為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利 關(guān)系：，銷售每件不合格品虧損.已知銷售利潤T （單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑 X有如下-1，X M0，T 二巨。，i0 - X -i2，-5， X 12.問平均內(nèi)徑 取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)limsin2 二x 5x

28、3 x已知y = f綸2l3x+2 丿,f，(x ) = arctan x2,則型dxX=0級數(shù)響的和為n衛(wèi) 2設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣A*的秩為.)(1)設(shè) f x 二 xsin 占,【0,x7則x =0,(A)極限不存在(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(B)(D)極限存在但不連續(xù)可導(dǎo)設(shè)f x為連續(xù)函數(shù)，且F x = 1lnxf t dt,則F x等于(A) 1 f ln x $ f xx(B)-f ln x f x(C)(lnx)2f Qx(D)f (lnx)- f '丄lx丿設(shè)總體X的方差為1,根據(jù)來自X的容量為100的簡單隨機(jī)樣本，測得樣本均值為5,則X的數(shù)學(xué)期望的置信度 近似等于

29、0.95的置信區(qū)間為二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選 項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)A與對角陣相似的()充分而非必要條件 既非充分也非必要條件(A) A是必然事件(B)P(B A) 9n階方陣A具有n個不同的特征值是(A)充分必要條件(B)(C)必要而非充分條件(D)假設(shè)事件A和B滿足P(B A) =1,則(D)設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為(x),且7-xH (x). F(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)a ,有()a(A) F(_a) =1_ (/("dx.(B)1 a .F(-a) =2 - 0(x)dx(C)

30、 F (a)二 F (a)(D)F(_a) =2F(a) 一1三、(本題滿分5分)設(shè)z = f x,y是由方程z - y-X xez_y公=0所確定的二元函數(shù)，求dz.四、(本題滿分7分)x -a已知lim ix x a二4x2e °xdx,求常數(shù)a的值.a(即產(chǎn)量),p為y = f (x)相交五、(本題滿分9分)、 2 1設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C二aq bq c,需求函數(shù)為q (dp),其中C為成本，q為需求量e單價，a,b,c, d,e都是正的常數(shù)，且d b,求：(1) 利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤；(2) 需求對價格的彈性；(3) 需求對價格彈性的絕對值為1時的產(chǎn)量.六、(本題滿分

31、8分)假設(shè):(1)函數(shù)y二f (x)(0空x ： ：)滿足條件f (0) =0和0乞f (x)乞ex -1;(2) 平行于y軸的動直線 MN與曲線y = f(x)和y二ex -1分別相交于點(diǎn) R和F2;(3) 曲線y二f(x),直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積 S恒等于線段RF2的長度.求函數(shù)y = f (x)的表達(dá)式.七、(本題滿分6分)假設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，過點(diǎn)A(0, f (0)與B(1,f(1)的直線與曲線于點(diǎn) C(c, f (c),其中 0 ： c ：1.證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使f ( J = 0.八、(本題滿分10分) k為何值時，

32、線性方程組 Xi X2 kx3 = 4, I2_Xr kx2 x3 = k ,J Xi - X2 ' 2X3 = -4有惟一解，無解,有無窮多組解？在有解情況下，求出其全部解九、(本題滿分9分) 設(shè)二次型f = xj x； x32. x1x22' x2x3 2x1x3經(jīng)正交變換X =PY化成f2yf,其中X =任 兀,X3)T和Y =(yi, y?, y3)T是三維列向量,P是3階正交矩陣.試求常數(shù): /.十、(本題滿分8分) 設(shè)隨機(jī)變量 X和Y同分布，X的概率密度為l3x2,0cxv2,f(x)二 80, 其他.(1)已知事件A,Xa?和B=；Y 9獨(dú)立，且P AU B二3.

33、求常數(shù)a.41(2)求的數(shù)學(xué)期望X2、(本題滿分8分)假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N t服從參數(shù)為t的泊松分布(1)求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；(2)求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下，再無故障運(yùn)行8小時的概率Q.1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)商品的需求函數(shù)為 Q =100 -5P ,其中Q, P分別表示為需求量和價格,如果商品需求彈性的絕對值大于1,則商品價格的取值范圍是級數(shù)二0的收斂域?yàn)閚4、 1交換積分次序 o dyf(x, y)dx =設(shè)A為m階方陣，B為n

34、階方陣，且A=a, B|=b,C =將C,C,E,E,I,N,S等七個字母隨機(jī)地排成一行，那么，恰好排成英文單詞SCIENCE勺概率為二、選擇題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中 項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).),只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選(1)設(shè) F(x)x2xf (t)dt,其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，則lim F(x)等于x-a ax r(A) a2(B)a2f (a)不存在(C) 0當(dāng)Xr 0時，下面四個無窮小量中，哪一個是比其他三個更高階的無窮小量(D)(A) x2(B)1 COSX(C)'.1-x2-1(D)x -ta nx設(shè)A為m n矩陣，齊

35、次線性方程組(A) A的列向量線性無關(guān)(C) A的行向量線性無關(guān) 設(shè)當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則Ax =0僅有零解的充分條件是(B)(D)A的列向量線性相關(guān)A的行向量線性相關(guān)()(A) P(C)乞 P(A) P(B) -1(B)P(C) _ P(A) P(B) -1(C) P(C)=P(AB)(D)p(c)= p(aUb)設(shè)n個隨機(jī)變量X11X2|,Xn獨(dú)立同分布2 1 n,D(X1)*,XXi,n yS2* -X)2,則n T i #(A)S是二的無偏估計(jì)量(B)S是二的最大似然估計(jì)量(C) S是二的相合估計(jì)量(即一致估計(jì)量)(D)S與X相互獨(dú)立三、（本題滿分5分）In cos(

36、x1) j設(shè)函數(shù) f (x)二 1 -sin x21，x =1,問函數(shù)f （x）在x = 1處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改函數(shù)在X二1處的定義使X = 1.之連續(xù)四、（本題滿分5分）計(jì)算I昨叫.五、（本題滿分5分）_2設(shè)Z二Si n（xy） （X,x）,求'Z,其中（u,v）有二階偏導(dǎo)數(shù)ydx說六、（本題滿分5分）求連續(xù)函數(shù)f(x),使它滿足七、（本題滿分6分）求證：當(dāng)x_1時，arcta n x -八、（本題滿分9分）設(shè)曲線方程y =e(x _0).X2f(x)+2 0 f (t)dt =x1 2x 二 arccos 2 = 2 1 x 4（1）把曲線y二e： x軸，y軸和直線x= C0

37、）所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積V();求滿足V(a) < lim V()的a.（2）在此曲線上找一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的切線與兩個坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積（3）九、（本題滿分7分）設(shè)矩陣A與B相似,其中-_-2 0 0-1 0 01A =2x2,B =0 2 0311 一L0 0 yj（1）求x和y的值.求可逆矩陣P,使得PAP = B.十、（本題滿分6分）已知三階矩陣 B = 0,且B的每一個列向量都是以下方程組的解Xi2x2 -2x3 = 0,2xi _ X2 ：. ；.X3 = 0,3xiX2 -X3 = 0.（1）求九的值；（2） 證明B =

38、0.、（本題滿分6分）（A 0）設(shè)A B分別為m n階正定矩陣，試判定分塊矩陣 C=是否是正定矩陣<0 B丿十二、（本題滿分7分）假設(shè)測量的隨機(jī)誤差 xLn（0,102）,試求100次獨(dú)立重復(fù)測量中，至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率：，并利用泊松分布求出:的近似值（要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字）.附表1234567e入0.3680.135 0.0500.0180.007 0.002 0.001十三、（本題滿分5分）一臺設(shè)備由三大部分構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù) ，試求X的數(shù)學(xué)期望

39、EX和方差DX .十四、（本題滿分4分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為0 x y, f（x，八0,其他，（1）求隨機(jī)變量X的密度fX（x）; （2） 求概率PX 丫汨.1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題（本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.）(1)si nxy設(shè) z = e ,貝U dz 二設(shè)曲線f x = x a與g x = bx2 c都通過點(diǎn):-1,0 ,且在點(diǎn)-1,0有公共切線，則a二設(shè) f (x )=xex,則 f C x)在點(diǎn)處取極小值設(shè)A和B為可逆矩陣，X =(0為分塊矩陣，則X二二設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)二 PX mx二0,X &#

40、163; 1,一1 蘭 X < 1,|0.8,1 蘭x c3,I1,xK3.則X的概率分布為二、選擇題（本題滿分15分,每小題 題后的括號內(nèi).）（1）3分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在F列各式中正確的是(A) lim 1 - T十Ixx1(B)lim 1 -xX )0 -(C) lim 1 -1x二-e(D)lim 1x =：-x-x1設(shè)0乞an （n =1,2,川）則下列級數(shù)中肯定收斂的是nQO(A)、ann注(B)QOO0' (-1)nan (C)二.- an經(jīng)(D)、(T)na：n A設(shè)A為n階可逆矩陣，是A的一個特征根,則A的伴隨矩陣

41、A 的特征根之一是（）(A)A (B)4a(C)(D)An設(shè)A和B是任意兩個概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是（）（A） A與B不相容(B)A與B相容(C) P AB =P APB(D)P A-Bi=P A對于任意兩個隨機(jī)變量 X和Y,若E（XYH E（X） E（Y）,則(A) D(XY) =D(X) D(Y)(B)D(X Y) =D(X) D(Y)（C） X和Y獨(dú)立(D)X和Y不獨(dú)立三、（本題滿分5分）求極限limXx 2xe ee,其中n是給定的自然數(shù).四、（本題滿分5分）計(jì)算二重積分I = ydxdy,其中D是由x軸，y軸與曲線Dx .y -1所圍成的區(qū)域，a O,b O.

42、五、（本題滿分求微分方程5分)dyxydx-x2y2滿足條件yx=g =2e的特解.六、（本題滿分假設(shè)曲線Li: y =1-x2 Ox乞1、x軸和y軸所圍區(qū)域被曲線2L2: y= ax分為面積相等的兩部分,其中a是大于零的常數(shù)，試確定a的值.七、（本題滿分8分）某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售,售價分別為p,和P2 ;銷售量分別為 qi和q2;需求函數(shù)分別為q1 = 24 - 0.2 5 和 q2 = 10 - 0.05 p2，總成本函數(shù)為 C = 35 40 q q2 試問：廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多少?八、（本題滿分6分）1試證明函數(shù)f（x）二（

43、1）x在區(qū)間（0,=）內(nèi)單調(diào)增加.x九、（本題滿分7分）設(shè)有三維列向量問取何值時，（1）:可由123線性表示，且表達(dá)式唯一 ？（2）:可由123線性表示，且表達(dá)式不唯一 ？（3）:不能由線性表示?2 2 2考慮二次型f =為-4x2 - 4x3 2 - XjX2 _2X|X3 4x2x3 .問取何值時，f為正定二次型.卜一、（本題滿分6分）試證明n維列向量組1,2,11（,n線性無關(guān)的充分必要條件是T1T芒2T:-1 ：-2TJ.2J.2IIIIIIT宀：nT>2 ： n-0,T-1Tn - 2III其中表示列向量_：丁的轉(zhuǎn)置,i =1,2川1, n.十二、（本題滿分5分）一汽車沿一街道

44、行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號顯示的時間相等 ，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù).求X的概率分布十三、（本題滿分6分）假設(shè)隨機(jī)變量 X和Y在圓域X2 y2 _ r2上服從聯(lián)合均勻分布（1）求X和Y的相關(guān)系數(shù) ;（2）問X和Y是否獨(dú)立？十四、（本題滿分5分）設(shè)總體X的概率密度為p(x;')=axax0,x 0,xZ,其中0是未知參數(shù),a 0是已知常數(shù).試根據(jù)來自總體 X的簡單隨機(jī)樣本X1,X2l（,Xn,求'的最大似然估計(jì)量 ?.1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題滿

45、分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)(1) 極限 lim( Jn +3亦 _ Jn 府)= 設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，f (0) =0, f (0) =b,若函數(shù)f(x) asin xF(x)二xA,在x =0處連續(xù)，則常數(shù)A= 曲線y=x2與直線y=x+2所圍成的平面圖形的面積為 xi + x2 = 3,x2 + 尢=a2(4) 若線性方程組'有解,則常數(shù)31,32,33,34應(yīng)滿足條件 .X3 +% =-比，N +x, =34(5) 一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為 80 ,則該射手的命中率為 81二、選擇題(本題滿分15分，每小題3分.每小

46、題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在 題后的括號內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù) f(x)二 x tanx esinx,則 f (x)是()(A)偶函數(shù) (B)無界函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù) 設(shè)函數(shù)f (x)對任意x均滿足等式f(1 x) =af(x),且有f (0) =b,其中a,b為非零常數(shù)，則()(A) f (x)在x =1處不可導(dǎo)(B)f (x)在x=1處可導(dǎo)，且f(1) = a(C) f (x)在 x =1 處可導(dǎo)，且 f(1) = b (D)f (x )在 x=1 處可導(dǎo)，且 f(1) = ab 向量組1,2l(,s線性無關(guān)的充分條件是()(A) ：'1,

47、2,川，s均不為零向量(B) -1, - 2, HL ： s中任意兩個向量的分量不成比例(C) ：仆：匕,川，亠中任意一個向量均不能由其余S-1個向量線性表示(D) ：'1, ： 2, HL ： s中有一部分向量線性無關(guān)(4)設(shè)代B為兩隨機(jī)事件，且B A,則下列式子正確的是()(B)P AB 二 P A(C) P(BA)=P(B)(D)(5)設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為P BAi=P(B) P Am-1 1PX =m1 12 2m-11PY = m1122則下列式子正確的是 ()1(A) X 二丫 (B) PX 二丫1=0 (C) pfx =Y(D) pCx=Y?-12三、

48、計(jì)算題(本題滿分20分,每小題5分.)x Int2(1)求函數(shù)I (x)2dt在區(qū)間e,e2上的最大值.e t2 -2t +1y222 計(jì)算二重積分xe dxdy,其中D是曲線y = 4x和y = 9x在第一象限所圍成的區(qū)域.D(3) 求級數(shù)一比23L的收斂域.n £ n 求微分方程y ： ycos x = (ln x)e "sinx的通解.四、(本題滿分9分)某公司可通過電臺及報紙兩種形式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,銷售收入R(萬元)與電臺廣告費(fèi)用治(萬元)及報紙廣告費(fèi)用X2(萬元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式 ：R =15 14x132x2 -8皿2 -2x2 -1

49、0x；.(1) 在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；(2) 若提供的廣告費(fèi)用為1.5萬元,求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.五、(本題滿分6分)設(shè)f (x)在閉區(qū)間0, c上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)f (x)在開區(qū)間(0, c)內(nèi)存在且單調(diào)減少；f (0H 0,試應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式：f (a F)乞f (a) f(b),其中常數(shù)a、b滿足條件Oa乞babc.六、(本題滿分8分) 已知線性方程組為 X2 x3 x4 x5 =a,3x1 2x2 x3 怡3x5 二 0, x? 2x3 2x4 6x5 二 b,5x1 4x2 3x3 3x4x5 二 2,(1) a b為何值時，方程組有解？(2) 方程組有解時，求出方程組的導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系;(3) 方程組有解時，求出方程組的全部解.已知對于n階方陣A,存在自然數(shù)k,使得Ak=0,試證明矩陣E_A可逆,并寫出其逆矩陣的表達(dá)式（E為n階單位陣）.八、（本題滿分6分）設(shè)A是n階矩陣，和匕是A的兩個不同的特征值,Xi,X2是分別屬于'1和、2的特征向量試證明Xi X2不是A的特征向量九、（本題滿分4分）從0,1,2, |,9十個數(shù)字中任意選出三個不同數(shù)字，試求下列事件的概率:A =三個數(shù)字中不含 0和5 ； A2 =三個數(shù)字中不含0或5.十、（本題滿分5分） 一電子儀器由兩個部件構(gòu)成為：（1）問X和Y是否獨(dú)立