含參量正常積分（課堂PPT）

1、. .1 1. .2 2. .3 3 連續(xù)性定理連續(xù)性定理 可微性定理可微性定理 可積性定理可積性定理 例題例題. .4 4,),(dcbaRyxf 是矩形域是矩形域設(shè)設(shè)上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 則積分則積分 dcyyxfd),(確定了一個(gè)定義在確定了一個(gè)定義在a, b上的函數(shù)上的函數(shù), 記作記作,d),()(baxyyxfxIdc x 稱為參變量稱為參變量, 上式稱為含參變量的積分上式稱為含參變量的積分. . .5 5一般地，設(shè)一般地，設(shè) f (x, y ) 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域),()(| ),(bxaxdyxcyxG 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù), c ( x ), d ( x ) 在在 a, b

2、 連續(xù)，定義連續(xù)，定義含參量的積分含參量的積分,d),()()()(baxyyxfxFxdxc xOy)(xdy )(xcy G下面討論含參量積分的連續(xù)性、下面討論含參量積分的連續(xù)性、可微性和可積性可微性和可積性. .6 6定理定理19.1 (連續(xù)性連續(xù)性) ),(yxf上連續(xù)上連續(xù), 則函數(shù)則函數(shù)在在a, b上連續(xù)上連續(xù).若若 ,dcbaR 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 ,d),()(baxyyxfxIdc 分析分析對(duì)任何對(duì)任何 x a, b, 要證：要證：連續(xù)性定理連續(xù)性定理)()(lim0 xIxxIx , 0 ,0 ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x就有就有 )()(xIxxI即即(積分號(hào)下取極限積分號(hào)下取極限)

3、. .7 7)()(xIxxI dcyyxfyxxfd),(),(證證設(shè)設(shè) x, x+x a, b,),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 R 上連續(xù)上連續(xù), 所以一致連續(xù)所以一致連續(xù),由于由于即即, 0 ,0 ,),( , ),(2211Ryxyx 只要只要 2121,yyxx就有就有 ),(),(2211yxfyxf, 0 ,0 ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x就有就有 )(dcdydc 這說(shuō)明這說(shuō)明.,)(上連續(xù)在baxI所以，所以，)()(xIxxI dcyyxfyxxfd| ),(),(|. .8 8同理可證同理可證, 上上連連在在矩矩形形域域若若,),(dcbaRyxf 續(xù)續(xù), baxyxfyJd),()(則

4、含參變量的積分則含參變量的積分.,上連續(xù)上連續(xù)也在也在dc. .9 9定理定理19.1 表明表明,即在定理的條件下，極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序即在定理的條件下，極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序有有于于是是對(duì)對(duì)任任意意, ,0bax dcxxyyxfd),(lim0 dcyyxfd),(0 )(lim0 xIxx)(0 xI dcxxyyxfd),(lim0是可交換的，或說(shuō)可在積分號(hào)下取極限是可交換的，或說(shuō)可在積分號(hào)下取極限 .),(yxf若若 上連續(xù)上連續(xù), 則則,dcbaR 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 在在a, b上連續(xù)上連續(xù).,d),()(baxyyxfxIdc . .1010定理定理19.2（連續(xù)性）（

5、連續(xù)性） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域),(yxf上連續(xù)，又函數(shù)上連續(xù)，又函數(shù) 與與 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，)(xc)(xd,ba則函數(shù)則函數(shù)),()(| ),(bxaxdyxcyxG ,d),()()()(baxyyxfxFxdxc 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù). .證證對(duì)積分用換元積分法，令對(duì)積分用換元積分法，令),()()(xcxdtxcy 于是于是dtxcxddy)()( 從而從而 )()(d),()(xdxcyyxfxF 10)()()(,(xcxdtxcxftxcxdd)()( . .1111)()()()()(,(xcxdxcxdtxcxf 因?yàn)橐驗(yàn)樵诰匦卧诰匦?a,

6、b 0, 1 上連續(xù)，由定理上連續(xù)，由定理 19.1得得 )()(d),()(xdxcyyxfxF在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù). .1212 12201dlimxx例例1求求解解記記 1221d)(xxI因?yàn)橐驗(yàn)?211,1, x都是都是x, 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)所以所以)( I在在0 連續(xù)，從而連續(xù)，從而 )0()(lim0II 1021dxx 10|arctan x4 . .1313定理定理19.3 (可微性可微性),(),(yxfxyxf 及其偏導(dǎo)數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)若若都在都在,上上連連續(xù)續(xù)矩矩形形域域dcbaR dcyyxfxId),()(則則且且上連續(xù)可微上連續(xù)可微在在,ba dcyyxf

7、xxId),(dd)( dcyyxfxd),(可微性定理可微性定理（積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)（積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)). .1414分析分析: dcxyyxfxxxIxxId),()()(lim0要證：要證：即即, 0, 0 使得當(dāng)使得當(dāng) | x時(shí)，有時(shí)，有 |d),()()(|dcyyxfxxxIxxI對(duì)任意的對(duì)任意的,baxxx dcyxyxfyxxfxxIxxId),(),()()(由拉格朗日中值定理，存在由拉格朗日中值定理，存在)1 , 0( 使得使得xyxxfyxfyxxfx ),(),(),( 證證: . .1515所以所以 dcyxyxfyxxfxxIxxId),(),()()( dcxyyxxf

8、d),( 因此因此|d),()()(| dcxyyxfxxIxxI|d),(),(| dcxxyyxfyxxf dcxxyyxfyxxfd| ),(),(| ,),(上上連連續(xù)續(xù)在在由由dcbayxfx 從而一致連續(xù)，即從而一致連續(xù)，即, 0, 0 只要只要 | x，有，有 | ),(),(|yxfyxxfxx. .1616因此因此|d),()()(| dcxyyxfxxIxxI dcxxyyxfyxxfd| ),(),(| )(dcdydc 故故 I ( x ) 在在 x 可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且 dcxyyxfxId),()(由由 x 的任意性，及定理的任意性，及定理 19.1知知I ( x )

9、在在 a, b有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). 在定理的條件下在定理的條件下,求導(dǎo)和求積分可交換次序求導(dǎo)和求積分可交換次序,也說(shuō)可在積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)也說(shuō)可在積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù). .1717例例2.d1)1ln(102xxxI 求求解解: 考慮含參變量考慮含參變量 t 的積分所確定的函數(shù)的積分所確定的函數(shù).d1)1ln()(102xxtxtI 顯然顯然, txxt及其對(duì)及其對(duì)21)1ln( ,)1(, 0)0(III 于是由定理于是由定理19.3xxtxxtId)1)(1()(102 xxttxtxxtd1111121022 ,1, 01, 0)1)(1(2上上連連續(xù)續(xù)在在的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) xtxx.

10、.1818112t 211t )0()1(III ttId)(10 01arctan2ln21t 012)1ln(8t tttd1)1ln(102 I 2ln4 故故2ln8 I因此得因此得 xxttxtxxtd1111121022 )1ln(212xxtarctan 10)1ln(xt 2ln21 t4 )1ln(t ttttd)1ln(42ln2111210 . .1919定理定理19.4（可微性可微性）),(),(yxfyxfx,qpbaR 如果函數(shù)如果函數(shù)在矩形在矩形上連續(xù)，上連續(xù)， ,)(),(內(nèi)的可微函數(shù)內(nèi)的可微函數(shù)上其值含于上其值含于為定義在為定義在qpbaxdxc則函數(shù)則函數(shù)

11、)()(d),()(xdxcyyxfxF在在 a, b 上可微，且上可微，且 )()(d),()(xdxcxyyxfxF)()(,()()(,(xcxcxfxdxdxf . .2020證證: 把把 F ( x )看作復(fù)合函數(shù)：看作復(fù)合函數(shù)： dcyyxfdcxHxFd),(),()(),(xcc )(xdd 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變上限定積分的求導(dǎo)法則，有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變上限定積分的求導(dǎo)法則，有 )(ddxFx )()(d),(xdxcxyyxf xxxHdd xccHddxddHdd )()(,(xdxdxf )(,(xcxf )(xc. .2121例例.).(,dsin)(2xyyxy

12、xxx 求求設(shè)設(shè)解解: )(x yyxxxdcos2 xxx2sin23 1sin2 xx2sinxxxyx xx3sin2 xx2sin xxx23sin2sin3 . .2222例例.,0)(的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè) xxf驗(yàn)證當(dāng)驗(yàn)證當(dāng) | x | 充分小時(shí)充分小時(shí), 函數(shù)函數(shù) xnttftxnx01d)()(! )1(1)( 的的 n 階導(dǎo)數(shù)存在階導(dǎo)數(shù)存在, 且且. )()()(xfxn 證證: 令令 , )()(),(1tftxtxFn ),(),(,txFtxFx及及顯顯然然在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù)在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù), 由定理由定理19.4 可得可得 xnt

13、tftxnnx02d)()(1(! )1(1)( )()(! )1(11xfxxnn xnttftxn02d)()(! )2(1. .2323 xnttftxnx02d)()(! )2(1)( 即即同理同理,d)()(! )3(1)(03 xnttftxnx xnttfx0)1(d)()( )()()(xfxn 當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)，有時(shí)，有0)0()0()0()1( n . .2424定理定理19.5 (可積性可積性) ),(yxf上連續(xù)上連續(xù), 則函數(shù)則函數(shù)在在a, b上可積上可積.若若 ,dcbaR 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 ,d),()(baxyyxfxIdc ,d),()(dcyxyxf

14、yJba 在在c, d上可積上可積.可積性定理可積性定理. .2525 dcbabadcbayyxfxxyyxfxxId),(ddd),(d)(記記 badcdcbadcxyxfyyxyxfyyJd),(ddd),(d)(統(tǒng)稱為累次積分或二次積分統(tǒng)稱為累次積分或二次積分.問(wèn)：累次積分與積分順序有關(guān)嗎？即是否有問(wèn)：累次積分與積分順序有關(guān)嗎？即是否有 badcdcbaxyxfyyyxfxd),(dd),(d. .2626定理定理19.6 ),(yxf上連續(xù)上連續(xù), 則則若若 ,dcbaR 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 badcdcbaxyxfyyyxfxd),(dd),(d證證 記記 dcuayyxfxu

15、Id),(d)(1 uadcxyxfyuId),(d)(2其中其中 ,bau （積分交換順序）（積分交換順序） uaxyxfyuHd),(),( uaxxId)( dcyyuHd),(. .2727于是于是 )(d)(dd)(1uIxxIuuIua dcyyuHuuId),(dd)(2)(d),(uIyyufdc uaxyxfyuHd),(),(,d)()(1 uaxxIuI,d),()(2 dcyyuHuI所以所以 ),()(21uIuI 從而從而 kuIuI )()(21( k 為常數(shù)為常數(shù) )當(dāng)當(dāng) u = a 時(shí)，時(shí)，, 0)()(21 aIaI于是，于是，k = 0 即得即得 )()(

16、21uIuI dcuayyxfxd),(d uadcxyxfyd),(d dcuyyuHd),(. .2828取取 u = b , 就得就得 badcdcbaxyxfyyyxfxd),(dd),(d. .2929例例4. )0(dln10baxxxxIab 求求解解:yxbayd 由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:abyxx lnxxxabln yxxxxxxIbayabdddln1010 xxyIybadd10 yyxbayd1011 yybad11 11ln ab所以交換積分順序所以交換積分順序上連續(xù)上連續(xù)在在因?yàn)橐驗(yàn)椋琤axy,1 , 0 . .3030內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(yxf上連續(xù)上連續(xù), 則函數(shù)則函數(shù)在在a, b上連續(xù)、可積上連續(xù)、可積.若若 ,dcbaR 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 ,d),()(baxyyxfxIdc ,d),()(dcyxyxfyJba 在在c, d上連續(xù)、可積上連續(xù)、可積