第五章平面向量與直線(xiàn)平面簡(jiǎn)單幾何體

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載考前突破5 平面向量與直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體（B）考點(diǎn)闡釋1.向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，并和數(shù)一樣， 也能運(yùn)算.它是一種工具， 用向量的有關(guān)知識(shí)能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問(wèn)題.向量法和坐標(biāo)法是研究和解決向量問(wèn)題的兩種方法.坐標(biāo)表示， 使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用“數(shù)” 的運(yùn)算處理 “形”的問(wèn)題，在解析幾何中有廣泛的應(yīng)用.向量法便于研究空間中涉及直線(xiàn)和平面的各種問(wèn)題.2.平移變換的價(jià)值在于可利用平移變換，使相應(yīng)的函數(shù)解析式得到簡(jiǎn)化.試題類(lèi)編一、選擇題1（.2002上海春， 13）若 a、b、c 為任意向量， m R，則下列等式不一定成立的是 （）A. （

2、a+b）+c=a+（ b+c）B. （a+b）· c=a· c+b· cC.m（ a+b） =ma+mbD. （a· b） c=a（ b· c）2.（ 2002 天津文 12，理 10）平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（ 3， 1），B（ 1，3），若點(diǎn) C 滿(mǎn)足 OCOAOB ，其中 、 R，且 + =1 ，則點(diǎn) C 的軌跡方程為（）A.3x+2y 11=0B. （x 1） 2+（ y2） 2=5C.2x y=0D. x+2y 5=03.（ 2001 江西、山西、天津文）若向量a=（ 3， 2）， b=（0， 1），則向量2b

3、a 的坐標(biāo)是（）A. （3， 4）B.（ 3， 4）C.（3， 4）D. （ 3， 4）4.（ 2001 江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線(xiàn) y2=2 x 與過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于A、B 兩點(diǎn)，則 OA OB 等于（）33C.3D. 3A.B.445.（ 2001 上海）如圖5 1，在平行六面體ABCD A1 B1C1D 1 中，M 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，若 A1 B =a， A1D1 =b， A1 A =c.則下列向量中與 B1M 相等的向量是（）1111圖 51A. a+ b+cB.a+ b+c22221111C.a b+cD. a b+c22226.（ 2001 江西、山西、天津理

4、，5）若向量 a=（ 1，1）， b=（1， 1）， c=（ 1， 2），則 c 等于（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載1313A. a+bB. a b2222C.3131babD.a+22227.(2000 江西、山西、天津理，4)設(shè) a、 b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共線(xiàn) ,則（ a· b） c（ c· a） b=0 |a| |b|<|a b| （ b· c）a（ c· a） b 不與 c 垂直（ 3a+2b）（ 3a 2b） =9|a|2 4|b|2 中，是真命題的有（）A. B.C.D.8.（ 1997 全國(guó)， 5）如果直線(xiàn) l沿 x 軸負(fù)方向

5、平移3 個(gè)單位，再沿y 軸正方向平移 1 個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置，那么直線(xiàn)l 的斜率為（）1B. 3C.1D.3A. 33二、填空題9（.2002 上海文，理 2）已知向量 a 和 b 的夾角為 120°，且 |a|=2，|b|=5，則（2a b）·a=_.10.（2001上海春， 8）若非零向量 、 滿(mǎn)足 | + |=| |，則 與 所成角的大小為_(kāi).11.（2000 上海， 1）已知向量 OA =（ 1，2），OB =（ 3，m），若 OA AB ，則 m=.12.（ 1999 上海理， 8）若將向量 a=（ 2，1）圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量 b，4則向量

6、b 的坐標(biāo)為 _.13.（1997 上海， 14）設(shè) a=（m+1）i 3j ，b=i+（ m1）j，（ a+b）（a b），則 m=_.14.（ 1996 上海， 15）已知 a+b=2i 8j， a b= 8i+16j，那么 a· b=_.15（. 1996 上海， 15）已知 O（ 0，0）和 A（6，3）兩點(diǎn)，若點(diǎn) P 在直線(xiàn) OA 上，且 OP1 ，PA2又 P 是線(xiàn)段 OB 的中點(diǎn)，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 _. 三、解答題16.（ 2003 上海春， 19）已知三棱柱 ABC A1B1C1，在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中， AB m ,3 ,0, AC m,0,0, AA1 =0 ，

7、 0， n.22（其中 m、 n>0） .如圖 5 2.（ 1）證明：三棱柱ABCA1B1C1 是正三棱柱；圖 52（ 2）若 m=2 n，求直線(xiàn) CA 1 與平面 A1ABB1 所成角的大小 .17.（ 2002 上海春， 19）如圖 5 3，三棱柱OAB O1A1B1，平面 OBB1O1平面 OAB ，O1OB=60 °， AOB=90°，且 OB=OO 1=2 ， OA=3 .求：（ 1）二面角O1 AB O 的大小；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）異面直線(xiàn)A1B 與 AO1 所成角的大小.（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）18.（ 2002 上海， 17）如圖 5 4，在

8、直三棱柱 ABO A B O中， OO =4， OA=4，OB=3， AOB=90°， D 是線(xiàn)段 A B的中點(diǎn)， P 是側(cè)棱 BB 上的一點(diǎn)，若 OPBD，求 OP 與底面 AOB 所成角的大小 .（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）圖 53圖 54圖 5519.（ 2002 天津文 9，理 18）如圖 5 5，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為 2 a.（ 1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)A、B、 A1、 C1 的坐標(biāo)；（ 2）求 AC1 與側(cè)面 ABB1A1 所成的角 .20.（ 2002 天津文 22，理 21）已知兩點(diǎn)M（ 1，0），N（ 1，0），且點(diǎn) P 使 M

9、PMN ,PMPN, NMNP 成公差小于零的等差數(shù)列.（ 1）點(diǎn) P 的軌跡是什么曲線(xiàn)？（ 2）若點(diǎn) P 坐標(biāo)為（ x0， y0）， 為 PM 與 PN 的夾角，求 tan .21.（ 2001 江西、山西、天津理）如圖 5 6，以正四棱錐 VABCD 底面中心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz，其中 Ox BC，Oy AB，E 為 VC 的中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為 2a，高為 h.（ 1）求 cos< BE, DE >；（ 2）記面 BCV 為 ，面 DCV 為 ，若 BED 是二面角 VC 的平面角，求 BED .圖 56圖 57圖 5822.（ 2001 上海春

10、）在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1 中，點(diǎn) E、 F 分別在 BB1 、DD 1 上，且AE A1B， AF A1D.（ 1）求證： A1C平面 AEF ；（ 2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角）.則在空間中有定理： 若兩條直線(xiàn)分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線(xiàn)所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等 .試根據(jù)上述定理，在AB =4，AD=3，AA 1=5 時(shí)，求平面AEF 與平面 D 1B1BD 所成角的大學(xué)習(xí)必備歡迎下載小.（用反三角函數(shù)值表示）23.（ 2001 上海）在棱長(zhǎng)為a 的正方體OABC O AB C中， E、 F 分別是棱 AB 、BC 上的動(dòng)點(diǎn)，且

11、AE=BF .如圖 5 8.（ 1）求證： A F C E.（ 2）當(dāng)三棱錐B BEF 的體積取得最大值時(shí)，求二面角B EF B 的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）24.（2000 上海春， 21）四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是一個(gè)平行四邊形，AB =2 ， 1， 4 ， AD =4 ， 2， 0 ， AP = 1， 2， 1.（ 1）求證： PA底面 ABCD ；（ 2）求四棱錐 P ABCD 的體積；（ 3）對(duì)于向量 a= x1， y1， z1 ，b= x2， y2， z2 ， c= x3， y3， z3 ，定義一種運(yùn)算：（ a× b）·c=x1y2z3+x2

12、y3z1+x3y1z2 x1y3z2 x2 y1z3 x3y2z1，試計(jì)算（ AB × AD ）· AP 的絕對(duì)值的值；說(shuō)明其與四棱錐P ABCD 體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算（AB ×AD ）· AP 的絕對(duì)值的幾何意義 .25.（ 2000 上海， 18）如圖5 9 所示四面體ABCD 中， AB、 BC、 BD 兩兩互相垂直，10，求四面體且 AB=BC=2，E 是 AC 中點(diǎn)， 異面直線(xiàn) AD 與 BE 所成的角的大小為 arccos10ABCD 的體積 .圖 59圖 510圖 51126.（ 2000 天津、江西、山西）如圖 5 10 所

13、示，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，CA=CB=1， BCA =90°，棱 AA1=2， M、 N 分別是 A1B1、 A1A 的中點(diǎn) .（ 1）求 BN 的長(zhǎng)；（ 2）求 cos< BA1 , CB1 >的值；（ 3）求證： A1B C1M.27.（ 2000 全國(guó)理， 18）如圖 511，已知平行六面體ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形且 C1CB= C1CD=BCD =60° .（ 1）證明： C1C BD ；（ 2）假定 CD =2，CC1= 3 ，記面 C1BD 為 ，面 CBD 為 ，求二面角 BD 的2學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面角的余

14、弦值；（ 3）當(dāng) CD 的值為多少時(shí)，能使A1C平面 C1BD？請(qǐng)給出證明 .CC128（.1999 上海，20）如圖 5 12，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形， BAD=90 °， AD BC， AB=BC=a， AD =2a，且 PA 底面 ABCD ， PD 與底面成 30°角 .（ 1）若 AEPD ， E 為垂足，求證： BE PD；（ 2）求異面直線(xiàn) AE 與 CD 所成角的大小 .29.（ 1995 上海， 21）如圖 5 13 在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)圖 512O 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（3 , 1 ，0），點(diǎn) D

15、 在平面 yOz 上，22且 BDC =90°， DCB=30 ° .（ 1）求向量 OD 的坐標(biāo)；圖 513（ 2）設(shè)向量AD 和 BC 的夾角為 ，求 cos 的值 .答案解析1.答案： D解析：因?yàn)椋?a· b） c=|a |·|b|· cos · c 而 a（ b· c） =|b|· |c|· cos· a 而 c 方向與 a 方向不一定同向 .評(píng)述：向量的積運(yùn)算不滿(mǎn)足結(jié)合律.2.答案： D解析：設(shè) OC =（ x， y）， OA =（ 3，1）， OB =（ 1， 3）， OA =（3

16、 ， ）， OB =（ ，3 ）又 OA + OB =（3 ， +3 ）x3（ x， y） =（ 3 ， +3 ），3y又 +=1 因此可得 x+2y=5評(píng)述：本題主要考查向量法和坐標(biāo)法的相互關(guān)系及轉(zhuǎn)換方法.3.答案： D解析：設(shè)（ x， y）=2b a=2（ 0， 1）（ 3，2） =（ 3， 4）.評(píng)述：考查向量的坐標(biāo)表示法.4.答案： B解法一：設(shè) A（x1，y1 ），B（ x2，y2），AB 所在直線(xiàn)方程為y=k（ x 1 ），則 OA OB =x1x2+y1 y2.2學(xué)習(xí)必備歡迎下載y12k( x )=0 ， x1·x2= 1 ，而 y1y2=k（ x1 1 ）k（ x2又

17、2 ，得 k2x2 （ k2+2）x+ ky22x4421 ）=k2（ x1 1 ）（ x2 1 ） =1. x1x2+y1y2= 1 1= 3 .22244解法二：因?yàn)橹本€(xiàn)2同上 .AB 是過(guò)焦點(diǎn)的弦，所以 y1· y2= p = 1.x1·x2評(píng)述：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.5.答案： A解析：B1M B1B BM A1 A(BA BC) = +cab c11 （ a+b） =112222評(píng)述：用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題，使復(fù)雜的線(xiàn)面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力 .6.答案： B解析：設(shè) c=ma

18、+nb，則（ 1， 2） =m（ 1， 1）+n（ 1， 1） =（m+n，m n） .1mn1m2n3m2n2評(píng)述：本題考查平面向量的表示及運(yùn)算.7.答案： D解析：平面向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律.故假；由向量的減法運(yùn)算可知|a|、 |b|、 |a b|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故真；因?yàn)椋?b·c）a（ c·a）b·c=（ b·c）a·c（ c·a）b·c=0 ，所以垂直 .故假；（ 3a+2b）（ 3a 2b） =9· a· a 4b· b=9|a|2 4|b|2

19、成立 .故真 .評(píng)述：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律.8.答案：A解析：設(shè)直線(xiàn) l 的方程為移 1 個(gè)單位后，直線(xiàn)方程應(yīng)為y=kx+b（此題 k 必存在），則直線(xiàn)向左平移y=k（ x+3）+b+1 即 y=kx+3 k+b+13 個(gè)單位，向上平1因?yàn)榇酥本€(xiàn)與原直線(xiàn)重合，所以?xún)煞匠滔嗤?比較常數(shù)項(xiàng)得3k+b+1= b. k=.3評(píng)述：本題考查平移變換與函數(shù)解析式的相互關(guān)系.9.答案： 13解析：（ 2ab）· a=2a2 b· a=2|a|2 |a|· |b|· cos120° =2· 4 2· 5（ 1 ） =13.2評(píng)述

20、：本題考查向量的運(yùn)算關(guān)系.10.答案： 90°解析：由 | + |=| |，可畫(huà)出幾何圖形，如圖514.學(xué)習(xí)必備歡迎下載| |表示的是線(xiàn)段AB 的長(zhǎng)度， | + |表示線(xiàn)段 OC 的長(zhǎng)度，由|AB|=|OC|平行四邊形 OACB 為矩形，故向量 與 所成的角為 90°評(píng)述：本題考查向量的概念，向量的幾何意義，向量的運(yùn)算.這些知識(shí)不只在學(xué)習(xí)向量時(shí)用到，圖 514而且在復(fù)數(shù)、 物理學(xué)中也是一些最基本的知識(shí) .11.答案： 4解析： OA = 1，2 ， OB =3 ，m ， ABOB OA =4 ，m 2 ，又 OA AB ， 1× 4+2（ m 2）=0， m=4.

21、評(píng)述：本題考查向量的概念，向量的運(yùn)算，向量的數(shù)量積及兩向量垂直的充要條件.12.答案：（2 , 32 ）22解析：設(shè) a= OA =2+i ， b= OB ，由已知 OA 、 OB 的夾角為，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意4義，得 OB = OA （ cos+isin） =（ 2+i ） (22 i)23 2i .442222 b=（2 , 32 ）22評(píng)述：本題考查向量的概念，向量與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查變通、變換等數(shù)學(xué)方法，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力 .13.答案： 2a+b=（m+2） i+（ m 4） j=（ m+2， m 4）解析：由題意，得a b=mi+（ m 2） j=（ m， m2）（

22、 a+b）（ a b），（ m+2）× m+（ m 4）（ m2） =0， m=2.評(píng)述：本題考查平面向量的加、減法,平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算,兩向量垂直的充要條件.14.答案： 63a+b=2i 8j解析：解方程組a b= 8i+16 ja= 3i+4 j=（ 3，4）得b=5i 12j=（ 5， 12） a· b=（ 3）× 5+4 ×（ 12） = 63.評(píng)述：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及求法.15.答案：（ 4， 2）016013解析：設(shè) P（ x， y），由定比分點(diǎn)公式 x22, y21，111122則 P（ 2， 1），又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，

23、可得B（ 4， 2） .學(xué)習(xí)必備歡迎下載16.（ 1）證明： BCACABm3m ,0 ， | BC |=m，22又AB m3,0,0,0,m ACm2 2 | AB |=m， | AC |=m， ABC 為正三角形 .又 AB · AA1 =0，即 AA1 AB，同理 AA1 AC， AA1平面 ABC，從而三棱柱ABCA1B1C1 是正三棱柱 .（ 2）解：取AB 中點(diǎn) O，連結(jié) CO、 A1O. COAB ，平面 ABC平面 ABB1A1， CO平面 ABB1A1，即 CA1O 為直線(xiàn) CA1 與平面 A1ABB1 所成的角 .在 RtCA 1O 中， CO=3m， CA1=

24、m2n2 ，2 sinCA1O= CO2 ，即 CA1 O=45° .CA1217.解：（ 1）取 OB 的中點(diǎn) D ，連結(jié) O1D ，則 O1D OB.平面 OBB 1O1平面 OAB， O1D 平面 OAB.過(guò) D 作 AB 的垂線(xiàn)，垂足為E，連結(jié) O1E.則 O1E AB.圖 515 DEO1 為二面角 O1 AB O 的平面角 .由題設(shè)得 O1D=3 ，sinOBA=OA21 ，OA2OB2721 DE=DBsinOBA=7在 Rt O1DE 中， tanDEO 1= 7 ， DEO1=arctan7 ，即二面角 O1 AB O 的大小為 arctan 7.（ 2）以 O 點(diǎn)

25、為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB 所在直線(xiàn)為 x、y 軸，過(guò) O 點(diǎn)且與平面 AOB 垂直的直線(xiàn)為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖5 15.則O（ 0，0，0），O1（ 0，1，3 ），A（3 ，0，0），A1（3 ，1，3 ），B（ 0，2，0）.設(shè)異面直線(xiàn) A1B 與 AO1 所成的角為 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載則 A1BOB OA1 3,1 3, O1 AOA OO1 3, 1, 3，cos =A1B O1 A1 ，| A1B | |O1A|7異面直線(xiàn) A1B 與 AO1 所成角的大小為 arccos1.718.解法一：如圖516，以 O 點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，有B（ 3，0， 0），

26、D（ 3 ，2， 4），設(shè) P（ 3，0， z），則2BD = 3 ， 2， 4 ， OP =3 ，0， z.2圖 516 BD OP， BD · OP = 9 +4z=0，z= 9 .28 BB平面 AOB， POB 是 OP 與底面 AOB 所成的角 .tanPOB=3 ， POB=arctan3.88解法二：取 O B中點(diǎn) E，連結(jié) DE 、 BE，如圖 5 17，則DE平面 OBB O， BE 是 BD 在平面 OBB O內(nèi)的射影 .又 OP BD.由三垂線(xiàn)定理的逆定理，得OP BE.在矩形 OBB O中，易得RtOBP RtBB E，BPOB9圖 517，得 BP= .B

27、EBB8（以下同解法一）19.解：（ 1）如圖5 18，以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以 AB 所在直線(xiàn)為Oy 軸，以 AA 1 所在直線(xiàn)為 Oz 軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1 垂直的直線(xiàn)為 Ox 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 .由已知，得（ 0，0，2a），C（A（ 0，0，0），B（ 0，a，0），A113aa ）a, 2.圖 51822（ 2）坐標(biāo)系如圖，取A1B1 的中點(diǎn) M，于是有 M（ 0， a ,2 a），連 AM， MC 1 有2MC1 =（3a， 0，0），且 AB =（ 0， a， 0）， AA1 =（ 0， 0， 2 a）2學(xué)習(xí)必備歡迎下載由于 MC1· AB =0

28、， MC1 · AA1 =0，所以 MC1面 ABB1A1. AC1 與 AM 所成的角就是AC1 與側(cè)面 ABB1A1 所成的角 . AC1 =（3 a, a ,2a ）， AM =（ 0， a , 2 a），222 AC1· AM =0+a 229 2+2a =a .44而| AC1|=3a2a22a 23a.44|AM |=a22a23 a .429 a23 cos AC1 ， AM =43.3a2a2所以 AC1與 AM 所成的角，即 AC1 與側(cè)面 ABB1A1 所成的角為 30° .20.解：（ 1）記 P（ x，y），由 M（ 1，0），N（ 1，0

29、）得 PM = MP =（ 1 x， y）， PN = NP =（ 1 x， y）， MN = NM =（2， 0） MP · MN =2（ 1+ x）， PM · PN =x2+y2 1， NM · NP =2（ 1 x） .于是， MP·MN，PM ·PN， NM · NP 是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于x2y211 2(1 x) 2(1x),22(1x)2(1 x) 0,x2y 23,即0x所以，點(diǎn) P 的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，（ 2）點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x0， y0） .22 1=2.PM · PN =x0+y0| PM

30、 |·|PN |=(1 x0 ) 2y0 23 為半徑的右半圓 .(1x0 )2y0 2 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載PM PN1.tanx023 cos =|PM | |PB|4 x0 24 x0 221.解：（ 1）由題意知 B（ a，a，0），C（ a，a，0），D（ a，a，0），E（a , a , h ）.222由此得， BE( 3a ,a , h), DE( a , 3a , h )222222 BE DE ( 3aa) ( a 3a )h h3a 2h2，22222224|BE| |DE |(3a) 2(a)2(h ) 2110a 2h2.2222由向量的數(shù)量積公式有BE DE3

31、a 2h 26a2h2cos< BE, DE>241110a 2h2|BE| |DE |10a2h210a2h222（ 2）若 BED 是二面角 VC 的平面角，則 BE CV ，則有 BECV 0.又由 C（ a，a，0），V（0，0，h），有 CV （ a， a，h）且 BE(3a ,a , h) ，222BE CV3a2a2h20 .222即 h 2 a，這時(shí)有6a2h26a2(2a)21cos< BE, DE >h210a 2(2a) 23，10a2 BED < BE, DE > arccos（1） arccos133評(píng)述：本小題主要考查空間直角坐標(biāo)

32、的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法；考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.22.（ 1）證明：因?yàn)镃B平面 A1B，所以 A1C 在平面 A1B 上的射影為A1 B.由 A1B AE， AE 平面 A1B，得 A1C AE .同理可證 A1C AF .因?yàn)?A1C AF， A1 C AE，學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以 A1C平面 AEF .（ 2）解：過(guò) A 作 BD 的垂線(xiàn)交 CD 于 G，因?yàn)?D1D AG，所以 AG平面 D1B1BD .設(shè) AG 與 A1C 所成的角為 ，則 即為平面 AEF 與平面 D1B1BD 所成的角 .由已知，計(jì)算得9DG= .4圖 519如圖

33、5 19 建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)A（ 0，0， 0）， G（ 9 ，43， 0）， A1（ 0， 0， 5），C（4，3， 0）.AG= 9 ， 3， 0 ， A1C=4 ， 3， 5.4因?yàn)?AG 與 A1C 所成的角為 ，所以 cos=AG A1C12 2,arccos12 2.|AG| |A1C|2525122由定理知，平面 AEF 與平面 D 1B1BD 所成角的大小為 arccos.25注：沒(méi)有學(xué)習(xí)向量知識(shí)的同學(xué)可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：設(shè)AG 與 BD 交于 M，則 AM 面 BB1D 1D，再作 AN EF 交 EF 于 N，連接MN ，則 ANM 即為面 AEF

34、與 D 1B1BD 所成的角 ，用平面幾何的知識(shí)可求出AM、AN 的長(zhǎng)度 .解法二：用面積射影定理cos =SSABDAEF.評(píng)述：立體幾何考查的重點(diǎn)有三個(gè)： 一是空間線(xiàn)面位置關(guān)系的判定； 二是角與距離的計(jì)算；三是多面體與旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算 .23.建立坐標(biāo)系，如圖5 20.（ 1）證明： 設(shè) AE=BF =x，則 A（ a，0，a），F(xiàn)（a x，a，0），C（ 0，a， a），E（ a，x， 0） A F = x，a， a ， C E = a， x a， a. A F · C E = xa+a（ x a）+a2=0 A FCE（ 2）解：設(shè) BF=x，則 EB=a x三棱錐 B BEF

35、 的體積V= 1 x（a x）· a a （ a ） 2= 1a366224學(xué)習(xí)必備歡迎下載a當(dāng)且僅當(dāng) x=時(shí)，等號(hào)成立 .2因此，三棱錐B BEF 的體積取得最大值時(shí)BE=BF= a ，過(guò) B 作 BD EF 于 D ，連2B D，可知 B D EF. B DB 是二面角 B EF B 的平面角在直角三角形 BEF 中，a2直角邊 BE=BF=， BD 是斜邊上的高 .BD=a.24 tanB DB=B B22BD故二面角 B EF B 的大小為 arctan2 2 .評(píng)述：本題考查空間向量的表示、運(yùn)算及兩向量垂直的充要條件.二次函數(shù)求最值或均值不等式求最值，二面角等知識(shí).考查學(xué)生

36、的空間想象能力和運(yùn)算能力.用空間向量的觀(guān)點(diǎn)處理立體幾何中的線(xiàn)面關(guān)系，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，降低了立體幾何的難度.本題考查的線(xiàn)線(xiàn)垂直等價(jià)于 A F ·C E =0，使問(wèn)題很容易得到解決.而體積的最值除用均值不等式外亦可用二次函數(shù)求最值的方法處理.二面角的平面角的找法是典型的三垂線(xiàn)定理找平面角的方法，計(jì)算較簡(jiǎn)單，有一定的思維量 .24.（ 1）證明： AP AB =2 2+4=0， AP AB.又 AP AD = 4+4+0=0 ， AP AD . AB、 AD 是底面 ABCD 上的兩條相交直線(xiàn)，AP底面 ABCD .（ 2）解：設(shè) AB 與 AD 的夾角為 ，則AB AD8 23cos

37、=4116164105|AB| |AD |121051941 16V= | AB |· | AD |· sin · | AP |=133105（ 3）解： |（ AB × AD ）· AP |=| 4 32 4 8|=48 它是四棱錐P ABCD 體積的 3倍.猜測(cè)： |（ AB × AD ）· AP |在幾何上可表示以AB、 AD、 AP 為棱的平行六面體的體積（或以 AB 、 AD、 AP 為棱的直四棱柱的體積） .評(píng)述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、 空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線(xiàn)與

38、平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要考查考生的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力及空間想象能力.學(xué)習(xí)必備歡迎下載25.解：如圖5 21 建立空間直角坐標(biāo)系由題意，有A（ 0， 2， 0）、 C（ 2， 0， 0）、 E（1， 1， 0）設(shè) D 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0， z）（ z>0）則 BE =1 ， 1， 0 ， AD =0 ， 2， z ，設(shè) BE 與 AD 所成角為 .則AD·BE= 2·4 22 ，且AD與BE所成圖 521cos =2的角的大小為 arccos 10.cos2 =21， z=4，故 |BD|的長(zhǎng)度為 4.104z210又 VABCD

39、=1|AB|× |BC |× |BD |=8 ，因此，四面體ABCD 的體積為 8.633評(píng)述：本題考查空間圖形的長(zhǎng)度、角度、體積的概念和計(jì)算.以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)度、異面直線(xiàn)所成角等問(wèn)題，思路自然，解法靈活簡(jiǎn)便 .26.解：如圖5 22，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.（ 1）依題意得 B（ 0， 1， 0）、N（ 1， 0， 1）|BN |=(1 0)2(0 1)2(10)23 .（ 2）依題意得 A1（ 1， 0，2）、 B（ 0， 1， 0）、 C（ 0， 0， 0）、B1（ 0， 1，2）圖 522 BA1 = 1， 1，2 ， CB1 =0 ，1，2， ， BA1 · CB1 =3 ，| BA1 |= 6 ，|CB1 |=5BA1CB1130. cos< BA1 ， CB1 >=|BA | |CB |1011（ 3）證明：依題意，得C1（0，0， 2）、M（ 1 , 1 ，2）， A1B = 1，1，2，22C1M =1,1，0.2211 A1B ·