陶哲軒無與倫比的頭腦

1、  陶哲軒無與倫比的頭腦今年四月的一天，加州大學洛杉磯分校一間不起眼的辦 公室外面，學生們邁著悠閑的步子，而在辦公室里面，數學 家陶哲軒正思忖著水是否會自發(fā)爆炸。他告訴我，一組被廣 泛運用的方程描述了流體(比如水)的特性，但這些方程好 像不能解釋為什么不規(guī)則的渦流沒有自發(fā)內收，進而收緊成 為一個激烈漩渦，直到漩渦中心的能量密度增至無限大，成 為一個災難性的“奇點”。某人往大學教工中心旁的噴泉投擲 一美分，或是在圣莫妮卡( Santa Monica )沙灘用一塊石頭 打水漂都可能導致連鎖反應，甚至進而掀翻整個南加州。 但這不太可能發(fā)生，“不過沒人能準確地解釋原因”，陶哲軒 解釋道。這個

2、難題困擾了學界數十年之久，而陶哲軒最近正 在嘗試某種解題方法。這個方法既有奇思妙想，又有荒誕不 經的一面，仿佛是 愛麗絲漫游仙境里遺失的章節(jié)。 他說，想象有個聰明絕頂的人用純水造了一臺機器。這臺機 器由相互作用的水流而非桿子和齒輪構成。陶哲軒邊說邊用 手在空中比劃形狀，就像一位魔術師。進而想象這臺機器能 制造一臺更快、更小型的復制品，如此循環(huán)，直到出現一臺 “占據極小空間并具有無限速度的機器，然后它爆炸了?！碧?哲軒并不是要提議打造這樣一臺機器“我不知道怎么做！ 他大笑著說。這只是一場思想實驗，就像愛因斯坦當年構想 狹義相對論時做的那樣。但是陶哲軒解釋道，如果他能用數 學證明這樣一臺魔幻裝置原

3、則上是可以實現的，那么這就意 味著水能爆炸。而在這個過程中，他也將解決納維葉斯托 克斯問題的全局正則性問題 (譯者注： Navier-Stokes 方程， 描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程) ，而這個問題 自它被提出之后一個多世紀以來，一直都是數學界最重要的 研究內容之一。四十歲的陶哲軒坐在窗邊的書桌旁，桌沿上的紙張隨意擺放 著。他踩著勃肯涼拖，穿著皺巴巴的藍灰色的 Polo 衫與袖 口翻起來的牛仔衫，身材瘦弱，一點也沒有教授的架子。在 他身后是一張杏色的沙發(fā)，沙發(fā)對著一塊橫跨整個房間的黑 板，黑板上面寫滿了數學符號。沙發(fā)沒有貼著墻壁，為的是 騰出空間停放他騎著上班的舊山地車。房間的另一

4、邊放著一 個纖維板搭的書架，上面的書隨意地堆著，里面包括他的兩 本著作緊性與矛盾性 ( Compactness and Contradiction ) 與龐加萊的遺產： 第一部( Poincar s Legacies, Part I ， ) 陶哲軒十幾歲就開始著書，現在已經出版了 16 冊。 出生在澳大利亞南部的陶哲軒，很早就小有名氣了。家鄉(xiāng)的 報紙廣告者報 ( The Advertiser )曾刊出頭條： “小哲軒 七歲的高中天才”。剪報上還有一張他在高二數學課上的照片， 照片中小個兒的陶哲軒穿著一件 V 領外套與白色高領毛衣， 跪坐在椅子上，從而能和一位年齡是他兩倍的姑娘共用一張 桌子。他

5、的老師告訴記者，他幾乎教不了陶哲軒什么東西， 因為陶哲軒總是比別的同學提前學兩課時。 （陶哲軒在兩歲 的時候就自己學會了閱讀。 ） 幾個月后，學年剛過一半，陶哲軒就跳級開始上 12 年級的 數學課。三年后，年僅十歲的陶哲軒成為國際數學奧林匹克 競賽史上最年輕的獎牌獲得者。從此他開始頻繁獲獎，包括 麥克阿瑟天才獎和被譽為“數學界的諾貝爾獎”的菲爾茲獎。 現在，許多人認為陶哲軒是他這一代最出色的數學家。 那個春日，我去他的辦公室拜訪他，陶哲軒回想起他迄今為 止的學術生涯，他說他對數學的觀念從小就徹底地改變了。 他用一種輕快的澳洲口音說道： “當我一點點長大的時候， 我 清楚我想成為一名數學家，但我

6、并不知道那究竟是要干什么， 我有點以為會有一個組織交給我要解決的問題。”但事實是， 真正數學家做的事和學生時期的做題技巧和公式背誦完全 不沾邊。甚至那些大學時代經歷了巨大成功的人也可能缺少 數學家的某些素質。陶哲軒發(fā)現，對于數學這門古老的藝術 而言，速度的重要性遠遠不及耐心和狡黠，以及爵士樂大師 身上那種即興發(fā)揮和合作的天賦。陶哲軒現在認為，年輕時 的自己，那位震驚數學界的奇才，并不是真正地在做數學研 究?！熬秃孟衲銓W音樂，卻只是一直在練習音階， 學習樂理”， 他將目光移向窗外， 陽光灑在他的臉上， “我在很久之后才知 道數學更深層的含義?！背錾?18 世紀的德國數學家卡爾弗雷德里希高斯(

7、Carl Friedrich Gauss )可能是有史以來最偉大的數學家，然而他 并不近人情。他和自己的孩子也不打交道，并且把重要的研 究成果束之高閣，認為它們不適合公開發(fā)表。這些研究成果 在他逝世后于手稿中被發(fā)現?？v觀古今，不乏與周遭事務格 格不入的數學家，從孤獨一生、脾氣暴躁的艾薩克牛頓，到 擁有“美麗心靈”的約翰納什(John Nash )，盡管后者的成果 改寫了經濟學甚至政治科學的教科書，但本人卻飽受妄想癥 的困擾；再到最近，獨自解決了龐加萊猜想的俄羅斯人格里 高利佩雷爾曼( Grigory Perelman )，他拒絕領取菲爾茲獎， 還任由指甲自由生長一直到卷起來。 相比之下，陶哲軒

8、的一位同事認為陶哲軒“超級正常”他 舉止很紳士，又善于自省。他放棄了美國東海岸名校提供的 職位，因為他偏好放松、平平淡淡的機構，在那里他可以享 受加州的天氣。而在課堂上，他能讓數學變得有趣起來。他 的一個學生告訴我，他最近和同學開玩笑說陶哲軒顛覆了好 萊塢許多“瘋子天才”的形象?！八麄冇肋h也不可能給他拍電 影，”他說?！八纳畎捕ǎ彝バ腋?，他總是在微笑?！?這種特質可以追溯到他的童年， 他認為自己經歷了“非常正?！?的生活，但顯然外人都不這么想。早些年，陶哲軒的家人大 部分時間住在澳大利亞南阿德萊德的山麓一幢復式的磚房 里，看得到圣文森特海灣。 房子由陶哲軒的父親比利 (Billy )設計

9、。他的父親是一位兒科醫(yī)生， 1972 年和陶哲軒的母親 格蕾絲（ Grace ）從香港移民澳大利亞，三年后的 1975 年， 三個孩子中的長子陶哲軒出生。 三個男孩尼格爾 （Nigel ）， 特雷弗（ Trevor ）與“特里”（譯者注：陶哲軒的小名）總是 一起玩耍，而他們最大的消遣就是發(fā)明桌游。根據現供職于 谷歌的弟弟尼格爾所言，他們通常挪用一塊拼字游戲板，在 上面的網格里放入拼字游戲片，棋子，中國跳棋，麻將牌和 龍與地下城的骰子。故事情節(jié)通常照搬當時發(fā)行的電子游戲， 比如超級馬里奧兄弟，然后加上幾層復雜而異想天開的規(guī)則。 （特雷弗是國際象棋少年冠軍，實力太強很難擊敗，所以孩 子們給游戲增加

10、了一些變數：每一輪從搖骰子開始，決定哪 個棋子能被移動。 ）陶哲軒還是一個科幻小說的狂熱愛好者， 比如特里普拉切特（ Terry Pratchett ）的碟形世界 （ Discworld ）系列。上課無聊的時候，他還會隨手為幻想 的世界畫些錯綜復雜的地圖。 7 歲的陶哲軒在上高二數學課。 廣告者報攝，陶家提供 到了 1985 年春季， 9 歲的陶哲軒同時就讀高中與附近的弗 林德斯大學時，父母帶他去美國轉了三個禮拜，尋求頂尖數 學家與教育學家的建議。他們在約翰霍普金斯（ Johns Hopkins ）大學巴爾的摩校區(qū)與朱利安史丹利（ Julian Stanley ）會面。朱利安史丹利是出生于佐治

11、亞州的心理學 家，并在此地為天才少年建立了一個教育中心。陶哲軒是史 丹利測試過的最具數學天賦的學生他八歲的時候 SAT 的數學部分拿了 760 分(譯注： SAT 即美國高考， 數學滿分 800 分。)但史丹利建議父母把節(jié)奏放慢， 給予給予陶哲軒時 間發(fā)展情感與社會技能。盡管步伐相對保守，陶哲軒還是在 17 歲的時候完成了碩士 論文右單演調和核產生的卷積算子 (Convolution Operators Generated by Right-Monogenic and Harmonic Kernels)并且去普林斯頓大學開始他的博士生涯。陶哲軒在申請普林 斯頓大學時附上了一封信，來自德高望重的

12、匈牙利數學家保 羅埃爾德什(Paul Erdos )?！拔掖_信他會成為一位一流的數 學家，還可能是一位偉大的數學家， 我毫無保留地推薦他。” 埃爾德什用打字機打出了這幾段簡明扼要的話。然而到達普 林斯頓后，反而是陶哲軒這位少年天才被嚇到了。博士第一 年，后來成為普林斯頓教授的安德烈懷爾斯 ( Andrew Wiles ) 宣布他證明了傳奇般的費馬大定理(Fermat as sLtTheorem )，這個定理三百多年來無人能解。陶哲軒身邊的 同學總是在對他一無所知的數學領域發(fā)表高談闊論。 陶哲軒漸漸沉迷于游戲，他徹夜在計算機房玩文明 一款歷史模擬類游戲(譯者注： 文明系列游戲嚴格意義 上并非模擬

13、歷史的游戲，它基本不涉及真實的歷史進程，而 只是以人類發(fā)展歷史為背景的回合制策略游戲。 )，這樁丑事 在普林斯頓人盡皆知(他告訴我他現在不玩電腦游戲了，因 為他的“完美主義者傾向”讓他玩的時候根本停不下來） 。在當 地的一家漫畫店，陶哲軒遇到了一群玩萬智牌的朋友這 是一款奇幻背景的卡牌游戲，規(guī)則復雜，這是他第一次真正 意義上與和他一般大的人玩耍。但陶哲軒也承認，這一定程 度上也是為了逃避來自普林斯頓的壓力。天才兒童面對他們 無法出色解決的挑戰(zhàn)時常常選擇逃避。在陶哲軒來到普林斯 頓前，他在弗林德斯大學的成績已經下滑了。在一門量子物 理學的課程中，老師告訴全班期末考試包括一篇關于量子物 理學歷史的

14、論文。而當時 12 歲的陶哲軒完全不學習，當他 坐在考場，開始答題時，他震驚地發(fā)現這篇文章要占一半成 績?！拔矣浀卯敃r我都哭了”，陶哲軒說，“監(jiān)考老師不得不把 我護送出考場”。陶哲軒掛科了。 在普林斯頓，危機以“會考”的形式出現了，這是一場覆蓋范 圍廣，難度大的口頭測試，學生需要同時面對三名教授的提 問（譯者注：普林斯頓大學數學系的博士生需要在第一或第 二學年參加并通過一場口頭考試，才能繼續(xù)博士學習?？荚?內容通常包括代數、實變函數分析和復變函數分析） 。當其 他學生用數月的時間來做習題并相互模考時，陶哲軒依舊選 擇他的常用策略來準備考試臨時抱佛腳。 “我走進考場開 始答題，很快就被測出 了深

15、淺?！碧照苘幷f，“他們問的問題 我沒有能力回答?！彪S即，陶哲軒和他的導師埃利亞斯斯坦 （ Elias Stein ）見面，感覺他已經讓導師失望了。陶哲軒還未真正努力過，而最困難的部分還在后面。 在博士課程學習的后期，學生們才開始體驗數學家真正的工 作內容用創(chuàng)新的方式證明一個定理，以此來創(chuàng)造知識。 通常他們算了一張又一張紙， 算到季節(jié)變換， 卻又回歸原點， 一無所獲；亦或是找到了證明過程中微小的邏輯錯誤，意味 著整個證明從一開始就注定失敗。茫然無措無所進展是數學 研究的常態(tài)。數學天才及菲爾茲獎得主，普林斯頓教授查里 斯費弗曼(Charles Fefferman )把這個過程形容為“與魔鬼 下棋”

16、。不過，費夫曼解釋道，與魔鬼下棋的規(guī)則有些特別： 魔鬼遠比你擅長下棋，但你想悔幾步棋就能悔幾步棋，而魔 鬼不能。當你下第一局時，魔鬼理所當然地碾壓了你。所以 你悔了幾步棋，試著換種下法，然后它又用同樣的方式碾碎 了你。如果你足夠“狡猾”，你最終能找到一招，迫使魔鬼改 變對策。你還是輸了，不過啊哈！你找到了擊敗他 的第一條線索。被數學吸引的這一群人傾向于看重確定性、 邏輯性和結果的簡潔性， 這也讓數學研究成為一種特別的“折 磨”。你可能花費數周、 數月甚至數年時間去研究一個你甚至 不知道是否有解的問題，這是任何想要成為數學家的人都必 須鼓起勇氣去面對的。這就像你發(fā)現自己待在了一個沒有門 窗的房間

17、里，你可以盡情呼喊，但是沒有人在聽。陶哲軒最出名的是其對質數一項性質的證明。質數是所有僅 能被 1 和其本身整除的大于 1 的整數。最小的幾個質數是 2,3,5,7 和 11 。4 不是質數，因為它能被 2 整除；9 不是質數， 因為它能被 3 整除。質數是數學的基石，就像化學中的元素 一樣，質數的組合構建起整個數學大廈。對于化學家來說， 水分子是由兩個氫原子和一個氧原子組成的。類似地在數學 中，數字 12 是由兩個 2 和一個 3 構成的( 12 = 2 x 2 x 3 ) 質數是最基本的數， 也是神秘的數。 它們由簡單的邏輯得出， 卻似乎隨機地出現在數軸上，你永遠不會知道下一個質數何 時出

18、現。他們有序而又無序。它們被引入神秘主義理論和宗 教儀式中，啟發(fā)了音樂作品，甚至成為一本意大利小說質 數的孤獨的靈感。如是，數學家為何將質數奉為宇宙運行 的基礎之一就顯而易見了。人們從數數開始建立起數的概念， 然后自然而然地建立起加減乘除這些基本運算符的概念。有 了這些概念，你就可以發(fā)現質數了。而驚人的是，科學家已 經揭示了質數和量子力學之間深刻的聯系，但他們還無法解 釋為什么會這樣。如果在遙遠的某顆恒星上存在著外星人的 高等文明的話，它們說的肯定不是英語，它們可能發(fā)明了電 視，也可能沒有，但我們幾乎可以確定，外星人數學家已經 發(fā)現了質數，并為之著迷。 陶哲軒的研究與孿生質數猜想有關，這是由法

19、國數學家波林 那克 ( Alphonse de Polignac )于 1849 年提出的。 如果我們 在數軸上將質數一個個圈起來，有時我們會發(fā)現兩個質數之間僅相差 2，比如 5 和 7、11 和 13 、17 和 19 這些就是 “孿生質數”。越往后，孿生質數出現的頻率就越低： 2237 和 2239 后是 2267 和 2269 ； 31391 和 31393 之后的一對是 31511 和 31513 。歐幾里得簡潔而優(yōu)雅地證明了質數有無窮 多個，那么孿生質數呢？如果我們一直在數軸上找下去，我 們總能找到下一對孿生質數嗎？所有試圖證明這一猜想的 嘗試都失敗了。 當數學家遇到一個他們無法回答

20、的問題，他們有時選擇構建 一個稍弱的命題，以期能夠通過解決這一問題來取得一定的 洞見。這就是陶哲軒和牛津大學的本格林（ Ben Green ）在 2004 年選擇的方法。孿生質數是一對相差正好等于 2 的質 數，而陶哲軒和格林則考察一個較弱的定義一串相差正 好為某常數的質數，不論這個常數是否為2 （例如：質數3,7,11 之間相隔都為 4 ）。他們試圖證明： 不論一串相等間隔 的質數串有多長（譯者注：即包含多少質數） ，我們總能找 到另一串更長的相等間隔的質數串。當年 2 月，在經過一些 初期討論后，格蘭來到加利福尼亞大學洛杉磯分校拜訪陶哲 軒，僅僅過了兩個月，他們就得出了令人振奮的成果，也就

21、 是現在的“格林-陶定理”，這可能是證明孿生質數猜想的一個 方向。這一定理將數學中各個獨立領域深刻地融合在一起， 幫助建立了一個新的跨學科研究的領域加性組合論。 “它 開辟了許多新的研究方向”， 曾與陶哲軒合作過的英屬哥倫比 亞大學(譯者注： University of British Columbia ，簡稱 UBC ， 又名“卑詩大學”)數學家伊莎貝拉拉芭( Izabella Laba )說， “數學家又有很多事可以做了?！?這種跨領域的協作能力是陶哲軒研究生涯的一項標志。絕大 多數數學家傾向于專精一個領域，而陶哲軒則廣泛研究，博 采眾長，和別人一起研究，作出新的發(fā)現。陶哲軒長期的搭 檔兼

22、好友馬庫斯吉爾( Markus Keel )借用科幻電影來形容 陶哲軒快速消化和利用各種數學思想的能力。他告訴我，陶 哲軒工作起來讓他想到黑客帝國 ，尼奧將中國功夫的數 據下載到大腦里， 然后睜眼說到： “我會功夫了”。陶哲軒 2006 年獲得的菲爾茨獎的頒獎詞稱贊了他在多個數學領域中的 貢獻，并特別提到了他對霍恩猜想( Horns conjecture )作 出的“優(yōu)美的研究成果”這一成果是陶哲軒和他的朋友共 同完成的，他在博士階段曾與這個朋友一起玩桌上足球。這 對陶哲軒而言是一個全新的世界，與他之前主攻的領域大相 徑庭。 頒獎詞這樣說到： “這就像是一個杰出的英語小說家突 然發(fā)表了一部優(yōu)秀

23、的俄語小說?！备窳?-陶質數定理也同樣是 協作的成果。格林是數論領域的專家，而陶哲軒一直接受調 和分析方面的訓練。不過他們告訴我，這個證明也仰賴許多 其他數學家的洞見。與魔鬼對弈時，玩家若是沒有研究前輩 大師們的好局，取勝的希望便十分渺茫。一個得證的結論可 以用于后續(xù)的證明，并提供一系列戰(zhàn)勝對手的計策狡黠 地湊成大龍，掐滅一次反擊，或是在殘局里棄象殺王，占據 有利位置。就像棋手也許會嘗試西班牙開局與王翼印度防御 (譯注：西班牙開局和王翼印度防御都是國際象棋開局開放 性開局的一種) ，數學家也會專門學習如何巧妙應用中國剩 余定理(譯注：中國古代求解一次同余式組的方法，是數論 中一個重要定理)和埃

24、拉托色尼選篩法(譯注：古希臘數學 家埃拉托色尼提出的一種篩選法， 是針對自然數列中的自 然數而實施的，用于求一定范圍內的質數) 。博學的棋手懷 揣多種錦囊妙計，而老練的棋手憑直覺隨機應變。 陶哲軒和格林在研究中，從前人認為錯誤而棄之不用的證明 方法中，重拾了關鍵的一部分，并將其用于其他目的。其他 一些證明技巧則來自英國人蒂莫西高爾斯( Timothy Gowers )和匈牙利人安德烈塞邁雷迪 ( Endre Szemeredi )。 后二者的成果則依次建立在埃爾德什、克勞斯羅特( Klaus Roth )和 1930 年去世時年僅 26 歲的弗蘭克拉姆塞(Frank Ramsey )的貢獻之上

25、，如此可以一直追根溯源下去。詢問 數學家他們在數學界的體會，大多數會說是一種強烈的惺惺 相惜之感。 “數學家生命中核心的一部分， 就是這種與其它頭 腦交匯的感覺，無論是同當代學者，還是同幾千年前的畢達 哥拉斯(譯注：古希臘數學家、哲學家) ，”康奈爾大學數學 教授史蒂文斯托加茨( Steven Strogatz )說，“我們和千百 年來的彼此對話。”格林 -陶定理的發(fā)現震驚了整個數學界， 因為大家普遍認為這 一問題仍需經年累月的工作才能被證明。有一天，我去拜訪 陶哲軒，我們在戰(zhàn)后風格的教工中心的露臺上用午餐。陶先 生一邊吃著一小碟壽司一邊告訴我，他和格林與其他人一樣， 都在繼續(xù)研究與孿生質數相

26、關的問題，且在最近取得了許多 突破。他認為，離完整證明這一 150 年前提出的問題已經盡 在咫尺，“可能 10 年就夠了”。 晚餐時間，我前往陶哲軒在校園西邊角落的家。房子外墻白 中帶褐，有五間臥室。陶哲軒本來是要送他 12 歲的兒子威 廉去上鋼琴課的，但是威廉臨時接到 Go-Gurt （譯者注： Go-Gurt 是美國的酸奶品牌）的電話通知他去進行廣告的拍 攝（他早已在本田汽車的廣告片中飾演“在汽車后座睡得香甜 的男孩”一角）。在陶哲軒的妻子勞拉去接威廉回家時，他們 四歲的女兒瑪蒂在寬敞廚房的一隅剛剛吃完飯。她剛咬了一 口甜點一個甜甜圈，便從長凳上爬下來，在屋里到處亂 跑，還一邊把手舉起一邊

27、歡聲尖叫。 說起打通數學各個領域的人，你就會很自然地想到陶哲軒。 到他獲得菲爾茨獎的時候，他已經和 30 多個不同領域的數 學家合作并研究出成果。從那時起，他也成為了多產的數學 博客寫手，帶著絕對“非高斯的熱情”（譯者注：非高斯是隨 機變量里的術語，描述隨機變量概率分布形式的對稱性和陡 峭性，在此文用來表示程度很高） 在博客里贊賞別人的成果， 分享自己愛用的研究技巧，記錄他自己的研究進展并欣然回 應評論里的糾錯指正。他也在網上組織過“合作戰(zhàn)線”來研究 各種問題。曾與陶哲軒合作過的威斯康辛大學數學家喬丹艾 林伯格（ Jordan Ellenberg ）稱贊陶哲軒是 21 世紀數學家的 典范?！八?/p>

28、總是在與人交流， 善于把自己的工作和他人的工作 聯系起來。他是學術界網絡中的一部分?！?拜訪陶哲軒的時候，我只注意到他有一處數學教授的典型特 征：他常常心不在焉。當他還是小男孩時，他經常丟書，甚 至把書包也丟掉；他也曾把衣服前后里外穿反，又或者是穿 上了“鴛鴦襪”（。這也是他現在穿勃肯涼拖的原因，“因為又 少了一個步驟”，他解釋道。）當他帶我在屋子里參觀的時候， 他的步履也略拙滯，就像是他并沒興趣好好走路一樣。我提 出要參觀他的辦公室時，他指了指在走廊盡頭的一間不起眼 的房間?，F在他在這間辦公室里完成的研究工作不像以前那 么多了，他說，最近他在飛機上效率最高，因為他有幾個小 時完全不用理會郵件

29、，也不用接見訪客。 威廉回家了，勞拉緊隨其后，之后我們就一起用晚餐：豬扒 配番茄醬。這份封面上飾有泰迪熊的圖案的食譜來自一本手 寫的筆記本，這是陶哲軒的母親送給勞拉的禮物。威廉是一 個很外向的孩子， Go-Gurt 的廣告試鏡很順利（他最終通過 了試鏡）。威廉今年讀六年級，繼承了父親在數學上的天賦他在線學過高中數學。但目前他真正的興趣是寫作，尤 其是科幻類的作品； 以及表演， 尤其是即興表演。 他也是我 的世界(譯者注：我的世界即 Minecraft ，高自由度的沙 盒游戲，讓每一個玩家在三維空間中自由地創(chuàng)造和破壞不同 種類的方塊。)的狂熱粉絲，不過他正為在游戲里升級工具 發(fā)愁。有一次，威廉說他和他的朋友曾經嘗試證明 1=0 來“黑” 掉數學，后來卻發(fā)現 0 不能做分母。陶哲軒聽到后翻了個白 眼。證明 1=0 很可能徒勞無獲， 這無可置否，但是黑客思維在數 學當中卻是極為有用的。很久以前，數學家發(fā)明了一個數， 該數的平方等于 -1，這似乎違背了乘法法則。這個數同當時 的數學主流格格不入，以至于這個數被命名為“虛數”。實際 上，虛數是一個強大的發(fā)明， 現代物理和工程學也缺它不可。 你對數學的最初印象可能讓你誤會了數學。初看這門學科就 是在學習規(guī)則，學習怎樣去應用老掉牙的把戲來得到答案： 曲奇罐