2016年北京市高考數學試卷(理科)(共18頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2016年北京市高考數學試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5分）已知集合A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，則AB=（）A0，1B0，1，2C1，0，1D1，0，1，22（5分）若x，y滿足，則2x+y的最大值為（）A0B3C4D53（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為（）A1B2C3D44（5分）設，是向量，則“|=|”是“|+|=|”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5（5分）已知x，yR，且xy0，則（）A0Bsinx

2、siny0C（）x（）y0Dlnx+lny06（5分）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）ABCD17（5分）將函數y=sin（2x）圖象上的點P（，t）向左平移s（s0）個單位長度得到點P，若P位于函數y=sin2x的圖象上，則（）At=，s的最小值為Bt=，s的最小值為Ct=，s的最小值為Dt=，s的最小值為8（5分）袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各占一半甲、乙、丙是三個空盒每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個放入乙盒，否則就放入丙盒重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣

3、多C乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）設aR，若復數（1+i）（a+i）在復平面內對應的點位于實軸上，則a=10（5分）在（12x）6的展開式中，x2的系數為（用數字作答）11（5分）在極坐標系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點，則|AB|=12（5分）已知an為等差數列，Sn為其前n項和若a1=6，a3+a5=0，則S6=13（5分）雙曲線=1（a0，b0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則a=14（5分）設函數f（x）=若a=0，則f

4、（x）的最大值為；若f（x）無最大值，則實數a的取值范圍是三、解答題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）在ABC中，a2+c2=b2+ac（）求B的大??；（）求cosA+cosC的最大值16（13分）A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數據如表（單位：小時）：A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）試估計C班的學生人數；（）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙假設

5、所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（）再從A，B，C三班中各隨機抽取一名學生，他們該周鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記為1，表格中數據的平均數記為0，試判斷0和1的大?。ńY論不要求證明）17（14分）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，AC=CD=（）求證：PD平面PAB；（）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在點M，使得BM平面PCD？若存在，求的值，若不存在，說明理由18（13分）設函數f（x）=xea

6、x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y=（e1）x+4，（）求a，b的值；（）求f（x）的單調區(qū)間19（14分）已知橢圓C：+=1（a0，b0）的離心率為，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面積為1（）求橢圓C的方程；（）設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N求證：|AN|BM|為定值20（13分）設數列A：a1，a2，aN （N2）如果對小于n（2nN）的每個正整數k都有akan，則稱n是數列A的一個“G時刻”，記G（A）是數列A的所有“G時刻”組成的集合（）對數列A：2，2，1，1，3，寫出G（A）的所有元素；（）證明：若數

7、列A中存在an使得ana1，則G（A）；（）證明：若數列A滿足anan11（n=2，3，N），則G（A）的元素個數不小于aNa12016年北京市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5分）（2016北京）已知集合A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，則AB=（）A0，1B0，1，2C1，0，1D1，0，1，2解：集合A=x|x|2=x|2x2，B=1，0，1，2，3，AB=1，0，1故選：C2（5分）（2016北京）若x，y滿足，則2x+y的最大值為（）A0B3C4D5解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如

8、圖：（陰影部分）設z=2x+y得y=2x+z，平移直線y=2x+z，由圖象可知當直線y=2x+z經過點A時，直線y=2x+z的截距最大，此時z最大由，解得，即A（1，2），代入目標函數z=2x+y得z=1×2+2=4即目標函數z=2x+y的最大值為4故選：C3（5分）（2016北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為（）A1B2C3D4解：輸入的a值為1，則b=1，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，a=，不滿足退出循環(huán)的條件，k=1；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，a=2，不滿足退出循環(huán)的條件，k=2；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，a=1，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的k值為2，故選：B4（5分）（

9、2016北京）設，是向量，則“|=|”是“|+|=|”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解：若“|=|”，則以，為鄰邊的平行四邊形是菱形；若“|+|=|”，則以，為鄰邊的平行四邊形是矩形；故“|=|”是“|+|=|”的既不充分也不必要條件；故選：D5（5分）（2016北京）已知x，yR，且xy0，則（）A0Bsinxsiny0C（）x（）y0Dlnx+lny0解：x，yR，且xy0，則，sinx與siny的大小關系不確定，即0，lnx+lny與0的大小關系不確定故選：C6（5分）（2016北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）ABCD

10、1解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，棱錐的底面面積S=×1×1=，高為1，故棱錐的體積V=，故選：A7（5分）（2016北京）將函數y=sin（2x）圖象上的點P（，t）向左平移s（s0）個單位長度得到點P，若P位于函數y=sin2x的圖象上，則（）At=，s的最小值為Bt=，s的最小值為Ct=，s的最小值為Dt=，s的最小值為解：將x=代入得：t=sin=，將函數y=sin（2x）圖象上的點P向左平移s個單位，得到P（s，）點，若P位于函數y=sin2x的圖象上，則sin（2s）=cos2s=，則2s=+2k，kZ，則s=+k，kZ，由s0得

11、：當k=0時，s的最小值為，故選：A8（5分）（2016北京）袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各占一半甲、乙、丙是三個空盒每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個放入乙盒，否則就放入丙盒重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多解：取兩個球共有4種情況：紅+紅，則乙盒中紅球數加1個；黑+黑，則丙盒中黑球數加1個；紅+黑（紅球放入甲盒中），則乙盒中黑球數加1個；黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數加1個設一共有球2a個，則a個紅球，a個

12、黑球，甲中球的總個數為a，其中紅球x個，黑球y個，x+y=a則乙中有x個球，其中k個紅球，j個黑球，k+j=x；丙中有y個球，其中l(wèi)個紅球，i個黑球，i+l=y；黑球總數a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的紅球等于丙中的黑球故選B二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）（2016北京）設aR，若復數（1+i）（a+i）在復平面內對應的點位于實軸上，則a=1解：（1+i）（a+i）=a1+（a+1）i，若復數（1+i）（a+i）在復平面內對應的點位于實軸上，則a+1=0，解得：a=1，故答案為：110（5分）（2016北京）在（12x）6的

13、展開式中，x2的系數為60（用數字作答）解：（12x）6的展開式中，通項公式Tr+1=（2x）r=（2）rxr，令r=2，則x2的系數=60故答案為：6011（5分）（2016北京）在極坐標系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點，則|AB|=2解：直線cossin1=0化為y直線xy1=0圓=2cos化為2=2cos，x2+y2=2x，配方為（x1）2+y2=1，可得圓心C（1，0），半徑r=1則圓心C在直線上，|AB|=2故答案為：212（5分）（2016北京）已知an為等差數列，Sn為其前n項和若a1=6，a3+a5=0，則S6=6解：an為等差數列，Sn為其前n項和a1

14、=6，a3+a5=0，a1+2d+a1+4d=0，12+6d=0，解得d=2，S6=3630=6故答案為：613（5分）（2016北京）雙曲線=1（a0，b0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則a=2解：雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，漸近線互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x，即a=b，正方形OABC的邊長為2，OB=2，即c=2，則a2+b2=c2=8，即2a2=8，則a2=4，a=2，故答案為：214（5分）（2016北京）設函數f（x）=若a=0，則f（x）的最大值為2

15、；若f（x）無最大值，則實數a的取值范圍是（，1）解：若a=0，則f（x）=，則f（x）=，當x1時，f（x）0，此時函數為增函數，當x1時，f（x）0，此時函數為減函數，故當x=1時，f（x）的最大值為2；f（x）=，令f（x）=0，則x=±1，若f（x）無最大值，則，或，解得：a（，1）故答案為：2，（，1）三、解答題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）（2016北京）在ABC中，a2+c2=b2+ac（）求B的大小；（）求cosA+cosC的最大值解：（）在ABC中，a2+c2=b2+aca2+c2b2=accosB=，B=（）由（I）得：C

16、=A，cosA+cosC=cosA+cos（A）=cosAcosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）A（0，），A+（，），故當A+=時，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值為116（13分）（2016北京）A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數據如表（單位：小時）：A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）試估計C班的學生人數；（）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙假

17、設所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（）再從A，B，C三班中各隨機抽取一名學生，他們該周鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記為1，表格中數據的平均數記為0，試判斷0和1的大小（結論不要求證明）解：（I）由題意得：三個班共抽取20個學生，其中C班抽取8個，故抽樣比K=，故C班有學生8÷=40人，（）從從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，共有5×8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的，當甲鍛煉時間為6時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有2種情況；當甲鍛煉時間為6.5時，甲的鍛

18、煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當甲鍛煉時間為7時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當甲鍛煉時間為7.5時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當甲鍛煉時間為8時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有4種情況；故周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率P=；（）0117（14分）（2016北京）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，AC=CD=（）求證：PD平面PAB；（）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在點M，使得BM平面PCD？若存在，求的值，若不存在，說明理由（）證明：平面PAD平面ABCD，

19、且平面PAD平面ABCD=AD，且ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，又PDPA，且PAAB=A，PD平面PAB；（）解：取AD中點為O，連接CO，PO，CD=AC=，COAD，又PA=PD，POAD以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，1，0），C（2，0，0），則，設為平面PCD的法向量，則由，得，則設PB與平面PCD的夾角為，則=；（）解：假設存在M點使得BM平面PCD，設，M（0，y1，z1），由（）知，A（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），則有，可得M（0，1，），BM平面PCD，為平面

20、PCD的法向量，即，解得綜上，存在點M，即當時，M點即為所求18（13分）（2016北京）設函數f（x）=xeax+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y=（e1）x+4，（）求a，b的值；（）求f（x）的單調區(qū)間解：（）y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y=（e1）x+4，當x=2時，y=2（e1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，同時f（2）=e1，f（x）=xeax+bx，f（x）=eaxxeax+b，則，即a=2，b=e；（）a=2，b=e；f（x）=xe2x+ex，f（x）=e2xxe2x+e=（1x）e2x+e，f（x）=e2x（1x）e2x=（x2

21、）e2x，由f（x）0得x2，由f（x）0得x2，即當x=2時，f（x）取得極小值f（2）=（12）e22+e=e10，f（x）0恒成立，即函數f（x）是增函數，即f（x）的單調區(qū)間是（，+）19（14分）（2016北京）已知橢圓C：+=1（a0，b0）的離心率為，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面積為1（）求橢圓C的方程；（）設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N求證：|AN|BM|為定值解：（）由題意可得e=，又OAB的面積為1，可得ab=1，且a2b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得橢圓C的方程為+y2=1；（）證法一：設橢圓上點P（x0，y0），可得x02+4y02=4，直線PA：y=（x2），令x=0，可得y=，則|BM|=|1+|；直線PB：y=x+1，令y=0，可得x=，則|AN|=|2+|可得|AN|