微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分

1、calculus第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.2 導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)運算法則導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)運算法則3.3 鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)3.5 微分微分3.6 邊際與彈性邊際與彈性calculus3.1 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的的概念概念0( ).ttf ttt設(shè)S表示一物體從某個時刻開始到時刻 作直線運動所經(jīng)過的路程，則S是時刻 的函數(shù)S=求時的瞬時速度.00tttt當時間由 改變到時，物體 這段時間內(nèi)所經(jīng)過的距離為引例引例1、變速直線運動的瞬時速度、變速直線運動的瞬時速度00()( )Sf ttf t 一、引例一、引例calcul

2、us（1）當物體作勻速運動時000()()f ttf tsvtt （2）當物體作變速運動時00stttvt表示從 到這一段時間的平均速度0tvv 很小時，t且越小，近似程度越好calculus00limtstt 當時 ， 如 果存 在00000lim()()limttsvtfttftt 則引例引例2 2 平面曲線平面曲線的的切線斜率切線斜率 在點在點求曲線求曲線L：)(xfy ),(00yxM處切線的斜率處切線的斜率.傾角傾角),00yxM（已知定點00N xxyy作動點 （，）割線割線 MN切線切線 MTcalculus割線割線 MN 的斜率為：的斜率為： tanxxfxxf)()(00 x

3、y 當x0時 動點N將沿曲線趨向于定點M 從而割線MN也將 隨之變動而趨向于切線MT 即割線即割線 MN 的極限位置就是的極限位置就是曲線曲線 L 在點在點 M 處的切線處的切線MT .0 x 當當時時, limtantan切線切線 MT 的斜率為的斜率為： tan klimtanxyx 0lim xxfxxfx )()(lim000 calculus000( )()()10yf xxyf xxf xxx 定義 ：設(shè)函數(shù)在點 處的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值當?shù)臉O限xxfxxfxyxx)()(limlim0000的表達方式有四種等價處的導(dǎo)數(shù)，也叫微商，在點函數(shù)稱為處可

4、導(dǎo)，而上述極限值在點存在，則稱00)()(xxfxxf二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義calculus0000( )();|;|;|x xx xx xdf xdyfxydxdx000000()()()limlimxxyf xxf xfxxxx 即定點000f xxxf xxf x如果函數(shù)（ ）在點 處可導(dǎo)，也稱點 為函數(shù)（ ）的可導(dǎo)點，否則稱 為函數(shù)（ ）的不可導(dǎo)點.000( )t tvsf t00()x xkyfxcalculus00000 xxxxxxxxxxxx 我們把終值記為即+，有則就是，故定義的式子可寫為：0000000)()(lim)()(limlim)(0 xxxfxfxxfxxf

5、xyxfxxxxcalculus( )( , )( , )2f xa bxa bx如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，即對內(nèi)的每一點 ，都對應(yīng)著一個確定定義 ：的導(dǎo)數(shù)值),()()(lim)(0baxxxfxxfxfx內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)在區(qū)間數(shù)內(nèi)可導(dǎo)，上述極限為函在區(qū)間則稱),()(),()(baxfbaxfdxdydxxdfyxf;)(;);(記為calculus ( ) ( )( )df xf xf xdx我們用或表示的導(dǎo)數(shù)運算( ) ( )( ) ( )dfxf xfxf xdx即或的區(qū)別與聯(lián)系：)(),(0 xfxf注意注意區(qū)別：是一個函數(shù)；是一個數(shù))(,)(0 xfxf聯(lián)系：0)()

6、(0 xxxfxfcalculus3,( )(2).yxfxf求，例已知1.0()( )( )limxf xxf xfxx 解: 330()limxxxxx 2230222033limlim333xxxxxxxxxx xxx （） （）（）22(2)312xfxcalculus三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義0,0()M x y切線曲線在點處方程為：000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 00000( )()( )(,)().fxxfxyfxMxyxfx 若函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，則曲線在對應(yīng)點處有唯一的一條不垂直于 軸的切線，且切線的斜率為0,0()M x y法線曲線在點處方程

7、為：calculus3(2,8)yx 求曲線在點處的切線方程 和例2：法線方程.(2)12f 解由前例知：,(2 8)點， 處切線方程為：8(2)(2)yfx1216yx即法線方程為：18(2)(2)yxf 149126yx 即calculus四、左、右導(dǎo)數(shù)四、左、右導(dǎo)數(shù)00000( )()0(3()00yf xxxxxxyf xxf xxxx 設(shè)函數(shù)在點 的某左鄰域，（）內(nèi)有定義，如果函數(shù)的改變量與自變量的改變量 （）的比值當定義 ：的極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000000( )( ),().f xxf xxfx存在，則稱在點 處左可導(dǎo)，而上述極限就稱為函數(shù)在點 處的左導(dǎo)

8、數(shù) 記為calculus0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx 即：處的右導(dǎo)數(shù)同樣，也可以定義點0 x0000()()()limxf xxf xfxx 00)()(lim0 xxxfxfxx等處的左右導(dǎo)數(shù)存在并相在點函數(shù)是：處可導(dǎo)的充分必要條件在點函數(shù)00)()(xxfxxfcalculus例例3. 討論函數(shù)討論函數(shù)|)(xxf在在0 x處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性.解解( ) |f xx,0,0 xxxx0( )(0)lim0 xf xfx(0)f00limxxx1 0( )(0)lim0 xf xfx(0)f00limxxx1(0)f(0)f所以

9、所以,函數(shù)函數(shù)|)(xxf在在0 x處不可導(dǎo)處不可導(dǎo).xyoyx思考思考000()()()?fxfxfx什么情況下必須用左右導(dǎo)數(shù)，來確定calculus五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系00( )( )f xxf xx若函數(shù)在點 處可導(dǎo)，則在點 處必連續(xù).事實上事實上, 因因( )yf x在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo),即即00()limxyfxx 存在0limxy 0limxyxx 00limlimxxyxx 0定理定理所以所以,函數(shù)函數(shù)( )yfx在在0 x處連續(xù)處連續(xù).calculus問題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？xy020( )0 xxf xxx例已知如.( )0(0)f xxf在處連

10、續(xù)，但不存在結(jié)論結(jié)論函數(shù)在其可導(dǎo)的點處一定連續(xù)函數(shù)在其可導(dǎo)的點處一定連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)的點處不一定可導(dǎo)函數(shù)在其連續(xù)的點處不一定可導(dǎo)函數(shù)在其不連續(xù)的點處一定不可導(dǎo)函數(shù)在其不連續(xù)的點處一定不可導(dǎo)calculusxy00 xxy00 xxy00 x注意注意00( )( )f xxf xx曲線在點 處出現(xiàn)下列情況時，函數(shù)在點 處不可導(dǎo).（1）曲線( )f x處是尖點 在點（2） 曲線0 x( )f x( )f x在點在點0 x0 x（3）曲線間斷 處有 垂直切線 處 calculusP89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作業(yè)作業(yè)先看書再做練習(xí)calculus(0)xnn而當?shù)恼麛?shù) 時，xxnx

11、sinlim0 x 因為處函數(shù)無定義，所以該點處函數(shù)間斷 第二類無窮間斷點.0lim1sinxxx但，0 x 所以是函數(shù)的可去間斷點，(0)( )xnnf x所以的整數(shù) 為的作業(yè)講評作業(yè)講評 P88.5(2)( )0asinxyxcalculus P89.6.xxx)11 (lim121lim(1)xxx121ln(1)limxxxe(5).解法1： 121lim()xxxe1lim01xxee111,0 ln(1)xxxx （時，與等價）解法2：原式=11lim(1)(1)xxxxx1111lim(1) (1)1xxxe exx121limln(1)xxxecalculus解法3：xxvxx

12、uxxxxlim)(lim, 0)1(lim)(lim而0)1(lim)1(limxxxxx10e原式解法4：xxx)11 (lim1lim(1)xxxxx1lim( )lim(1)0 xxxu xex1lim ( )limlim0 xxxxv xxx 10e原式calculus(4)222)2sin1 (lim)1sin1(coslim)1sin1(coslimxxxxxxxxxxx解法1：2lim, 02sinlimxxxxeexxxxxx1122lim2sin2lim，原式而 解法2：xxxxxxxx11sin1cos1 lim)1sin1(coslim）（11lim(cossin1)0

13、 xxxxxlim P89.6.calculus11lim(cossin1)xxxx11lim() (1 cos)lim sinxxxxxx21()11lim()limlim1122xxxxxxxx ee 1原式 221()11111(,0,1 cos,sin)22xxxxxxx calculus六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例例4： 00000( )(),()()limhf xxxfxAf xahf xbhch設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),且求解解00000()()()limlimxxyf xxf xfxxx Ahxfhxfxfh)()(lim)(0000由導(dǎo)數(shù)定義可知00000000()(

14、)lim ()() ()()limhhf xahf xbhchf xahf xf xbhf xch因此：calculus00000()()()()limhf xahf xf xbhf xchch00000()()()()limhf xahf xf xbhf xabcahcbh00()()abfxfxcc()A abccalculus0( )(3 )lim6(0)(0).xf xfxffx已知，且存在，求解解答答00( )(3 )( )(0)(0)(3 )limlimxxf xfxf xfffxxx解：00( )(0)(3 )(0)lim3lim030(0)3(0)2(0)2(0)6(0)3xx

15、f xffxfxxfffff ，故calculus注意注意分段函數(shù)分段點的導(dǎo)數(shù)必須用定義求分段函數(shù)分段點的導(dǎo)數(shù)必須用定義求例例5： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21sin,0( ),(0).0,0 xxf xfxx求解解因為01sinlim0)0()(lim200 xxxxfxfxx( )0(0)0f xxf 所以在處可導(dǎo)，且calculus0( )(0)(0)lim0 xf xffx20limxxxx例例6： 解解2,0( )0ln(1),0 xx xf xxxx討論函數(shù)在處是否可導(dǎo)處的左右導(dǎo)數(shù)在點必須先求所以處兩側(cè)的表達式不同因為在點0)(0 xxf，x0lim11xx（）calculus0( )(0)(

16、0)lim0 xf xffx0ln(1)lim1xxx(0)f(0)1f( )0f xx 所以在處可導(dǎo)，xy0 xy 2,0( )ln(1),0 xx xf xxx(0)1f且( )(0,0)f xyx說明曲線在點處的切線為：calculus00220lim( )limxxxxf xxx000lim( )lim ()xxxxf xaxbaxb200()f xx方法一：方法一：.,)(0002baxxxxbaxxxxxf求處可導(dǎo)在設(shè)函數(shù)例例7：解解而處也必連續(xù)在點所以處可導(dǎo)因為在點，xxxf，xx00)(calculus200 xaxb所以200,( ),xxxf xaxb xx0220000(

17、)lim2xxxxfxxxx00200000()()lim()()limxxxxaxbxfxxxaxbaxbaxx000()()2fxfxax由，得2002axbx 綜上可得，calculus方法二：方法二：000( )(),()f xxxfxfx因為在點處可導(dǎo)，所以都存在且相等0220000()lim2xxxxfxxxx02000()()limxxaxbxfxxx而存在0( ) ( )00a020lim0 xxaxbx由極限性質(zhì)知，一定有（）200bxax推得：calculus02000()()limxxaxbxfxxx從而0220000limxxaxxaxxxx000()limxxa xx

18、axx2002,ax bx 故calculus例例10:1sin,0( )0.0,0kxxkkf xxxx設(shè) 為整數(shù),當 為何值時函數(shù)在處可導(dǎo)解解:xxxxxfkxkx1sinlim01sinlim)0(1001sinx是有界變量1011(0)limsin0( )0kxkfxxf xx當時，存在即在處可導(dǎo)1011(0)limsin( )01( )0kxkfxf xxxkf xx當時，不存在，在處不可導(dǎo).故 為大于 的整數(shù)時，在處可導(dǎo).calculus3.2 求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運算法則求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運算法則一、求導(dǎo)基本公式一、求導(dǎo)基本公式例例1. 求函數(shù)求函數(shù))(Nnxyn的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解

19、( )fx0()( )limxf xxf xx 0()limnnxxxxx 12201(1)lim()2!nnnnnxn nxnxxxxxxx （）1nnx1()nnxnx calculus()lnxxaaa 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)()xxee 特別地:)10(aaayx且例例2. 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).( )fx0()( )limxf xxf xx 0limxxxxaax 0(1)limxxxaax ln0(1)limxxaxaex 0lnlnlimln01lnxxxxaaxaaaxxexa （，）解解calculus例例3. 設(shè)設(shè)( )log (0,1),afxxaa求求( )fx解解

20、0()( )limhf xhf xh( )fx0log ()loglimaahxhxh01limlog (1)ahhhx10limlog (1)xh xahhx01limlog1xhahhxx（）011limlog1logxhaahhexxx（）1lnxa1(log)lnaxxa 特別地特別地:1(ln )xx calculus例例4. 設(shè)設(shè)( )sin,fxx求求( )fx解解0()( )limxf xxf xx ( )fx0sin()sinlimxxxxx 02sin2limcos()2xxxxx cosx(sin )cosxx 正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù)正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得

21、類似得,(cos )sinxx余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負的正弦函數(shù)余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負的正弦函數(shù).calculus)()( )()()()(1xvxuxvxuxvxu和或差也可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，則它們的和：如果函數(shù)法則二、四則運算求導(dǎo)法則二、四則運算求導(dǎo)法則數(shù)的和或差都可導(dǎo)可推廣到有限個可導(dǎo)函法則1)()()()( )()()()(2xvxuxvxuxvxuxvxu乘積也可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，則它們的和：如果函數(shù)法則calculus導(dǎo)函數(shù)的乘積仍可導(dǎo)同樣可推廣到有限個可法則2 )()()(xwxvxu 例如：)()()(xwxvxu)()()(xwxvxu)()()(xwxvxu( )(v xc c特別地,當

22、為常數(shù)）,則)( )(xucxcucalculus)()()()()()()(0)()()(32xvxvxuxvxuxvxuxvxvxu則它們的商也可導(dǎo)，且都可導(dǎo)，且和：如果函數(shù)法則( )( ),( )u xfxv x證 明 ： 設(shè)根 據(jù) 導(dǎo) 數(shù) 定 義0()( )( )limxf xxf xfxx 01()( )lim()( )xu xxu xx v xxv x calculus01() ( )( ) ()lim() ( )xu xx v xu x v xxxv xx v x 01() ( )( ) ( )( ) ( )( ) ()lim() ( )xu xx v xu x v xu x v

23、 xu x v xxxv xx v x 01 ()( ) ( )( ) ()( )lim() ( )xu xxu x v xu x v xxv xxv xx v x 0( )( )lim() ( )xuvv xu xxxv xx v x 2( ) ( )( ) ( )( )u x v xu x v xvx證畢證畢.21( )( )1( )( )v xu xv xvx特別地，當時，有calculus0 xnxyn為正整數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，其中求函數(shù)1()nnyxx 122()nnnnxnxxx 1nnx例例5. 解解calculus的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xytan)cossin()(tanxxxyxxxxx2co

24、s)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1解解:例例6 2(tan )secxx calculus常用公式：常用公式：2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xy2sin例例7. (sin2 )(2sincos )yxxx2(sin ) cossin (cos ) xxxxxxx2cos2)sin(cos222解解calculus.sec) 1 (的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)xy . )3(),(ln)2(fxfxxeyx，求解解答答221(cos )(sec )()coscossinsectanco

25、sxyxxxxxxx 解：(1)(2)( )( )ln() ln(ln )lnln(lnln1)xxxxxxxfxx exx exxexexxexeexxx (3)0f (3)f calculusP117:T5(6),(9);P117:T5(6),(9); T6(2);T8. T6(2);T8.作業(yè)作業(yè)先看書再做練習(xí)calculus三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則40,( ),1( )( )( )xyyyf xyf xfxy法則 ：設(shè)函數(shù)（ ）可導(dǎo)， （ ）且存在反函數(shù)則其反函數(shù)也可導(dǎo)，且()( ),( ),()( )( ),()()( )yf xxf xyf xyyf xxyf xx

26、yxxyyxyyy 證明：令則因 有， 而 與互為反函數(shù)于是從而calculus( )000,yxy 又因為，為此時，必有( )00,xyxy 由可導(dǎo)必連續(xù)知連續(xù)，時，必有0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxyx 01limxxy 01lim()( )yyyyy 1( )y1( )( )fxy因此calculus的導(dǎo)數(shù)求反正弦函數(shù)) 11(arcsinxxyarcsin ( 11)sin (),22yxxxyy 是的反函數(shù)yyxcos1)(sin1)(arcsin2211sin11xy解解:例例8. )1 , 1(x因此)1 , 1(11arccos2xxx）同理（cal

27、culus的導(dǎo)數(shù)求反正切函數(shù)xyarctanarctantan (),22yxxyy為的反函數(shù)yyx2sec1)(tan1)(arctan2211tan11xy21(cot )1arcxx 同理解解例例6. 因此calculus四、導(dǎo)數(shù)的基本公式四、導(dǎo)數(shù)的基本公式1. ( )0 ()CC 為常數(shù)12. ()()xx 為任意實數(shù)3. ()ln(0,1)()xxxxaaaaaee 特別地14. (log)(0,1)ln1(ln )axaaxaxx 特別地calculus5. (sin )cosxx 6. (cos )sinxx 27. (tan )secxx 28. (cot )cscxx 9.

28、(sec )sectanxxx 10. (csc )csccotxxx calculus2111. (arcsin )1xx )1 , 1(x2112. (arccos )1xx )1 , 1(x2113. (arctan )1xx 2114. (cot )1arcxx 115.()2xx 21116.()xx calculus3.3 鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）xysinxycos2sin xy )(sin2xy?猜想猜想22cos)(sinxxy能否否！式求，如何求呢？因此不能直接用基本公的復(fù)合函數(shù)是這里2,sinxu

29、uyxycalculus:( )( ) ( )yf uuxyfx法則5（鏈法則）如果函數(shù)和都可導(dǎo)，則函數(shù)也可導(dǎo)，且dxdududydxdyxxfxf或)()()(xx對于自變量 的明改變量證：有：()( )uxxx calculus()( )yyf uuf u 從而 取得相應(yīng)的改變量0yux 當時,有yuux00( ),( )( )lim,( )limuxyf u uxdyyduuf uxduudxx 由可導(dǎo)有存在( )00 xxu 因為可導(dǎo)必連續(xù)，故當時，有，于是000limlimlimxuxyyuxux calculusdydy dudxdu dx即有)()(xufy或)()(xxf000

30、00uyf uf uydyxdx 當時，（） （ ），00uduxdx，得( )( )dyyf uf udu由可導(dǎo)有存在dydy dudxdu dx)()(xufy或)()(xxf仍成立.calculus解解:2sin).1 (xy ,sinuy 2xu dxdydudydxduucosx22cos2xx例例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2sin)1(xy xytanln)2(calculusxytanln).2(,lnuy xutandxdydudydxdux2secxxtansec2u11sin cosxx更簡明更簡明的過程的過程)tan(lnxy)(tantan1xxxx2sect

31、an1xxtansec21sin cosxxcalculus法則表明：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). ( ( ) ( )( )( )fxfxxf uuux與的含義不同，前者是復(fù)合函數(shù)對自變量 求導(dǎo)，后者是對 導(dǎo)后將代入所得.注意注意 ( )yfx不可：( )yfx calculus(0)yxx求冪函數(shù)為實數(shù),的導(dǎo)數(shù)ln,ln.xuyeyeux將函數(shù)表示為則它就是和的復(fù)合函數(shù)因此解解例例2ln1()(ln)uuxyexeexxx更簡明更簡明的過程的過程ln()xyeln(ln)xexxx1xcalculus25(231)yxx求函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xufy解

32、解例例325(231)yxx5uy 2231uxx45(43)ux245(231) (43)xxx25(231) yxx2425(231)(231)xxxx更簡明更簡明的過程的過程245(231) (43)xxxcalculus( )g x( ( )fg x ( ( )f g x( ( )yf g x( )g xxcalculus例例4 的導(dǎo)數(shù)求xyln221lnlnln2yxxx2222111111( ln)()2222yxxxxxx解解或或0)ln(0lnlnxxxxxy,1,ln,0 xyxyx時當110,ln(),()xyxyxxx當時1(ln)xx 故calculus復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

33、則可以推廣到多重復(fù)合的情形復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.)(xfy設(shè)設(shè)),(ufy ),(vu)(xvdudy dvdu dxdv dxdy則則)()()()(xxxfxf或或calculus例例5)cos(lnxey 求dxdy解解)cos(lnxey ,lnuy ,cosvu .xev u1xexxxeeecossin.tanxxee)sin(vdudy dvdu dxdv dxdycalculus更簡明更簡明的過程的過程lncos()xye1cos()cos()xxee1 sin() ()cos()xxxeee xxxeee)sin()cos(1.tanxxeecalcul

34、us這里求這里求y對對x的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過 每個中間每個中間在熟悉了法則之后在熟悉了法則之后,運算就不必寫出中間變量運算就不必寫出中間變量,變量的導(dǎo)數(shù)最后導(dǎo)到變量的導(dǎo)數(shù)最后導(dǎo)到x上上.因此對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)因此對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)搞清楚復(fù)合層次后搞清楚復(fù)合層次后,只要從外層向里層逐層求導(dǎo)只要從外層向里層逐層求導(dǎo)即可即可.calculus例例62(arccos)2xy 求dxdy解解dxdy2arccos(arccos)22xx212arccos( )221 ( )2xxx.42arccos22xxcalculus易犯的錯誤易犯的錯誤dxdy2arccos(arccos) ( )22

35、2xxx 可少寫！復(fù)合層次不可多寫也不calculus 例例72tanln(1)yx求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )1ln()1ln(sec222xxy：解)1 (11)1ln(sec2222xxx2221)1ln(sec2xxxcalculus例例8)ln(22axxy求yy22221()xxaxxa22222211()2xaxaxxa解解2222221axxaxx222222221()xaxxxaxaxacalculus例例9 9.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222axaxaxy)0( a22222221( )()( )2221xxaxaxax

36、axa2222222222121xaaxaxxa22221122axax.22xa calculus2( )()f uyf x已知存在，求的導(dǎo)數(shù).例例10解解2( )yf uux，222 ()() ()yf xfxx)(22xf x 2()yf x2()yfxcalculus小結(jié)小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先必須搞清函數(shù)是必須搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合的怎樣復(fù)合的.求導(dǎo)時求導(dǎo)時由外到里逐層求導(dǎo)由外到里逐層求導(dǎo).注意注意:一定要到底一定要到底,不要遺漏不要遺漏 , 不要重復(fù)不要重復(fù).calculus例例11 ) 1 (1arcsin) 1()(1fxxxfxx處的導(dǎo)數(shù)在點求) 1 (f：解1) 1

37、 ()(lim1xfxfx10arcsin) 1(lim11xxxxx11arcsinlimxxx2arcsin22arcsin?22sin?2?,2 2 4例例12 處的導(dǎo)數(shù)在點求0)(3232121xxxfxxxx)0(f：解0)0()(lim0 xfxfxxxxxxxx0lim3232121012calculussin1sin(arctan),xxyeefx( )f xy其中可導(dǎo)，求calculus解解答答sinsin() sin(sin)xxxxyeeee11(arctan) (arctan)fxx)(sinsinsinxeexx)(cossinxxxeee2111(arctan)(

38、)11fxxxsin(cos sincos)xxxxexeee)1(arctan112xfxcalculusP127:T3(3),(7),(10),(15),(20).P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作業(yè)作業(yè)先看書再做練習(xí)calculus31 ()( )df xfxdxx已知,求331() ()fxxx解321() 3fxxx331()3fxx3tx令1( )3f tt1( )3fxxcalculus形如形如，)(xfy 的函數(shù)稱為的函數(shù)稱為顯函數(shù)顯函數(shù).0),(yxFxy若若與與的函數(shù)關(guān)系由方程的函數(shù)關(guān)系由方程所確定所確定,稱這類函數(shù)為稱這類函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù).二

39、、隱函數(shù)求導(dǎo)法二、隱函數(shù)求導(dǎo)法222222111,1.yxyxxyxy 例如把函數(shù)和分別代入方程顯然方程成立，這兩個函數(shù)就是方程確定的隱函數(shù)又如，又如，(1).2320,(2).0.xyxyxyee322xycalculusyxyexyy的函數(shù)，求是確定已知方程0從而再設(shè)則不妨假設(shè), 0)()(),(),()(xfexxfxFxfyxfy)()()()()(xfexf xxfxFxf解解例例12yexyy所以yeyxyy0calculus求導(dǎo)在方程兩邊同時對 x解解33xyxyy求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例13 2233xy yyxy 223)3yx yyx (2233yxyyx因此 x求dydx223

40、3dxyxxdyyx另：calculus1|12coslnxxydxdyxxxye處的導(dǎo)數(shù)在點求隱函數(shù)求導(dǎo)，得：方程兩邊同時對 x()lnsin22xyyeyxyyxxx 10,1,00 xyxyy 當時，由方程可得將代入上式，可得0|1xdxdy所以解解例例142sin2=(ln )xyxyxxyxyeyx xex或：10|01xdydxcalculus小結(jié)小結(jié) 方程兩邊方程兩邊對對求導(dǎo)，自變量 x隱函數(shù)的求導(dǎo)方法隱函數(shù)的求導(dǎo)方法:視視y為為x的函數(shù)的函數(shù)),(xyy 由由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,y的方程的方程,解出即可解出即可.得到關(guān)于得到關(guān)于注意注意:結(jié)果中既含結(jié)果中既含 也含

41、也含 .xycalculussin().xyxyy已知，求導(dǎo)數(shù)解解答答解解cos() ()1xyxyy cos() ()1xyyxyy 1cos()cos() 1yxyyxxy ( )xcalculus三、對數(shù)求導(dǎo)法三、對數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù)兩類函數(shù))0(. 1sinxxyx (1)(2)2.(3)(4)xxyxx? y有簡便求有簡便求?y先給這些函數(shù)取對數(shù),然后再求導(dǎo)就可使求導(dǎo)運算簡便多了,這種先取對數(shù)然后再求導(dǎo)的方法就叫對數(shù)求導(dǎo)法.calculus2(1)xyx求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2lnln(1)yxx在函數(shù)式兩邊同時取對數(shù)2212ln(1)1xxyxxyx兩邊同時對 求導(dǎo)，得2222,2(1) ln

42、(1)1xyyxyxxx 解出并將 代回，得解解例例15 calculus例例1616 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解解 解法解法1 兩邊取對數(shù) , 化為xxylnsinln兩邊對 x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsinsinsin(cosln)xxyxxxxcalculus解法解法2 將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)xxysinxxelnsin)ln(sinlnsinxxeyxx)1sinln(cossinxxxxxx)sinln(cossinxxxxxxcalculus( )( ), ( )( )0,( )g xf x g xf xyf x已知函數(shù)都可導(dǎo)，且例求冪指數(shù)函數(shù)17的導(dǎo)數(shù)ln( )l

43、n( )yg xf x在函數(shù)式兩邊同時取對數(shù)解： 1( )( )ln ( )( )( )xg xyg xf xf xyf x然后兩邊同時對 求導(dǎo)calculus( ),( )( )( )ln( )( )( )g xyyg xyf xg xf xfxf x解出并將 代回，得( )( )ln ( )( )( )0)g xg xf xyf xf xye此例題給出了形如(的函數(shù)的求導(dǎo)法，也可將它化為復(fù)合函數(shù)的形式求導(dǎo).calculus3(21)(32)(183)xxyx求例函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1lnln(21)ln(32) 3ln(3)2yxxx 在函數(shù)式兩邊同時取對數(shù)解11233()2 21323xyyxx

44、x等式兩邊同時對 求導(dǎo)，得calculus3,1(21)(32)233()2(3)21323yyxxyxxxx解出并將 代回，得19xydyyxyxdx方程確定 是 的函數(shù)，求例lnlnxyyx 在方程兩邊同時取對數(shù)解calculus1lnlnxyyxyyxyx在上式兩邊同時對 求導(dǎo)，得22lnlnlnlnyyyyxyyxyxxxyxxy 解出 ，得xxyxyxyydxdylnln22即calculus0120,xya aa求指數(shù)函數(shù)(例)的導(dǎo)數(shù)lnlnyxa 取 對 數(shù) 得 : 解lnxyay兩邊對 求導(dǎo)得：1 ()lnlnxxyayaaa所以 calculus例例2121的導(dǎo)數(shù)求xxxxx

45、xyxxxxyxy：21設(shè)解:1y先求xxy 1對于xxylnln11ln111xyy) 1(ln1xxyxxxxy 2對于xxyxlnln2xxxxxxyy1ln)(1221ln)ln1 (xxxxxxln)ln1 (12xxxxxxxxxy21)(yyxyln)ln1 ()ln1 (11xxxxxxxxxxxxcalculus2).兩邊對兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo);3).兩邊同乘以兩邊同乘以y得得;y4).將將y結(jié)果表示為結(jié)果表示為x的顯函數(shù)的顯函數(shù).小結(jié)小結(jié) 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 常用于多因子乘冪求導(dǎo)，常用于多因子乘冪求導(dǎo)，或冪指函數(shù)求導(dǎo)或冪指函數(shù)求導(dǎo).對數(shù)求導(dǎo)法的步驟對數(shù)求導(dǎo)法的步驟:1). 函

46、數(shù)式兩邊取自然對數(shù)函數(shù)式兩邊取自然對數(shù);calculus 四、四、分段函數(shù)求導(dǎo)法分段函數(shù)求導(dǎo)法221( )321( 1),(2),(1 ,22)( ).xxf xxxffffx 函數(shù),求例解解:2211( )2( )(2)2( 1)22,xxf xxfxxxfx 當時,21( )32( )(32 )2(2)22,xxf xx fxxf 當時,calculus1(1).xf 是分段點，故按定義求1(1)32 )1xfx（1( )(1)(1)lim1xf xffx22111211limlimlim(1)211xxxxxxxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx113 212(1)limli

47、m211xxxxxx0(1)(1)(1)limxfxffx (1)(1)ff(1)2f calculus1xy0131( )2xfxx 當時,1( )2xfx 當時,易犯的錯誤易犯的錯誤(1)2f 21( ).21xxfxx221( ).121xxf xxx如( )1( )1(1)f xxf xxf在處不連續(xù)，在處不可導(dǎo)即不存在calculus221( ).121xxf xxx1211(1)(2 )2(1)(12)22(1)2( )1xxxfxfxxff xx若以就會得到在點處可導(dǎo)的錯誤結(jié)論.1( )(1)(1)lim1xf xffx事實上1(1)22xfx122lim21xxx1( )(1)

48、(1)lim1xf xffx21122lim1xxx( )1f xx在點處不可導(dǎo).( )?fxcalculus11( )( )ln1xxf xfxxx設(shè),求解解答答解解1( )(1)1xfxx 當時,11( )( ln )xfxxx 當時,1(1).xf 是分段點，故按定義求1( )(1)(1)lim1xf xffx(1)0f11lim11xxx 11( )(1)ln(1)limlim11xxf xfxfxx(1,ln1)xxx1(1)lim11xxx(1)1f 11( ).11xfxxxcalculus P128 T4 (4)；T5； T6 (1),(2).作業(yè)作業(yè)先看書再做練習(xí)calcul

49、us3.4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二階可導(dǎo)，稱也可導(dǎo)，則稱如果導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，仍然是的導(dǎo)數(shù)一個函數(shù))()()()()()(xfxfxfxfxxfxfy,y ),(xf 一、高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)記作：記作：22dxyd22dxfd或或, )( y y即即22dxyd()ddydx dx類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做 的三階導(dǎo)數(shù)，( )f x記作：記作：,y ),(xf 33dxyd33dxfd或或calculus三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù)，記作：記作：,)4(y),()4(xf44dxyd44dxfd或或) 1( n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做 n 階

50、導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)，記作：記作：,)(ny),()(xfnnndxydnndxfd或或函數(shù)函數(shù))(xfy 有有n階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)， 也說函數(shù)也說函數(shù))(xfy 為為n階可導(dǎo)階可導(dǎo).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù),( )fx也叫做一階導(dǎo)數(shù).).()()(),(0)(0000 xfxfxfxfxxn 時，有0 xxdxdy或022xxdxyd033xxdxyd0 xxnndxydcalculus 例例1 1 y =(1+x2)arctanx 求y 解解 xxyarctan22211)1 (xx1arctan2xx212arctan2) 1arctan2(xxxxxy 證

51、明 函數(shù)22xxy滿足關(guān)系式013 yy 例例2 2 證明證明 )2()2(212212xxxxy22222xxx22212222xxxxxxy 22212(1)22xxxxxxyxx )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 所以所以 y 3y1331() 10yy calculus二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例例3y，xyrryx 求的函數(shù)是確定若方程)0(222 解解 yxyyyx02222)()(yyxxyyyx

52、yyxy 32322yryyxcalculus 解：解：方程兩邊同時對方程兩邊同時對x求導(dǎo)求導(dǎo)012221)cos(yxdxyd，xyyxxy 求的函數(shù)是確定若方程) 1 (0)2()(sin(2yxxyyxyxy 上式兩邊同時再對上式兩邊同時再對x求導(dǎo)求導(dǎo)0)222()(sin()()(cos(2 yxyxyxyyxyyxyyxyxyxy)2(0)42()2)(sin()(cos(22 yxyxyyxyxyyxyxy得式代入將,) 1 (0, 1yx0 y得式代入將,)2(0, 0, 1yyx0 y00122yxdxyd例例4calculus三、幾個初等函數(shù)的三、幾個初等函數(shù)的 n n 階導(dǎo)

53、數(shù)階導(dǎo)數(shù) .sinyxn例 5 求的 階 導(dǎo) 數(shù) 解解 )2sin(cosxxy)22sin()sin(sin xxxy3cossin()sin(3)22yxxx )24sin()2sin(sin)4(xxxy( )sin()2nyxn從而( )(sin )sin()2nxxn類似地有類似地有( )(cos )cos()2nxxncalculus.xyan例 6 求的 階 導(dǎo) 數(shù)lnxyaa 解 2ln()(ln)xxyaaaa 3)(ln aayx nxnaay)(ln)(calculus.xyxen例 7 求的 階 導(dǎo) 數(shù)(1)xxxyexeex 解 )2()1( xeexeyxxx)3(

54、)2( xeexeyxxx)()(nxeyxncalculus.ln()()yxana例8 求的 階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)1yxa 解 2)(1axy 3)(2axy 4)4()(23axynnnaxny)()!1() 1(1)(從而yyyy 得到 ( )11!()( 1)()nnnnxaxa calculus21.32ynxx例9 求的 階導(dǎo)數(shù)21132(1) (2)1112yxxxxyxx 函數(shù)可以轉(zhuǎn)解化為( )11!( 1) (1)(2)nnnnnnyxx 由例8可得：( )1()naxb思考？calculus2012.( )nnf xaa xa xa x例10討論多項式函數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù)21123(

55、 )23nnfxaa xa xna x解 232) 1(232)( nnxannxaaxf33)2)(1(23)( nnxannnaxf( )( )(1)(2)3 2 1!nn nnnfxn nna xn a )(0)()(nkxfk calculus1)0(af由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到22)0(af 323)0(af )(!)0()(nkakfkknnanf!)0()()(0)0()(nkfkcalculus四、高階導(dǎo)數(shù)的運算公式四、高階導(dǎo)數(shù)的運算公式( )( )uu xvv xn設(shè)，階可導(dǎo)，則函數(shù)和差的 n 階導(dǎo)數(shù) (uv)(n)u(n) v(n) 函數(shù)積的 n 階導(dǎo)數(shù) nkkknknnvu

56、Cuv0)()()()( 這一公式稱為萊布尼茨（Leibniz)公式 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：vuvuuv )(0111,CC()()uvu vuvu vu vu vuv vuvuvu 2012222,CC Ccalculusvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuuv 33)(2)(01233333,CC CC)4()4()4(464)(uvvuvuvuvuuv 0123444444,CC CC C上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項展開式很相似，如果上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項展開式很相似，如果設(shè)設(shè)則,)0()0(vvuu)()0()()()2()2(2)1()1(1)0()(0)()(nnnkknknnnnn

57、nnnuCuCuCuCuCunkkknknuC0)()(calculus2.sin10yxx例11求的階導(dǎo)數(shù)2( )sin ,sin(),2nux vxuxn 則解 設(shè)x20, 2)( nvv)10()10()(uvy2121010sin(10)sin(9)2sin(8) 2222xxCxxCx 29sin510sin()245sin422xxxxxxxxxxsin90cos20sin2xxxxcos20sin)90(2calculus小結(jié)小結(jié))(1nxa,)(!) 1(1nnxan高階導(dǎo)數(shù)的求法高階導(dǎo)數(shù)的求法(1) 逐階求導(dǎo)法逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法利用歸納法(3) 間接法間接法 利用已

58、知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式如如,)(1nxa1)(!nxan( )sin()2nyxn(4) 利用萊布尼茲公式利用萊布尼茲公式calculus31.()( ),yf xf xy其中二階可導(dǎo) 求2( )2.,xnyx ey求calculus解解答答321.() 3yfxx3223() 33() 6yfxxxfxx4339()6()x fxxfxcalculusxnxeueu)(. 22( )220,nvxvxvvv)(2)()(nxnxey)()()()()(2)2(22)1(12)( xeCxeCxenxnnxnnxxxxennnxeex22) 1(22xxxennnxeex) 1

59、(22calculus 例例 2( )( )( ) ( )( )()nf xfxf xfx已知具有任意階導(dǎo)數(shù)，且則1122( )! ( )( ) ( )( ) ( )() ! ( )nnnnAnf xBn f xCf xD nf xA2( ) ( )fxf x解：( )2 ( ) ( )fxf x f x22 ( ) ( )f xf x32 1 ( )f x 2( )3 2 1 ( )( )fxf xfx 223 2 1 ( ) ( )f xf x 43 2 1 ( )f x ( )1( )! ( )nnfxnf x A選calculus作業(yè)作業(yè)先看書再做練習(xí) P133:T1(4),(8) ;

60、T4(2),(3);T7.calculus0 x0 xxxx 020 xA 2)( xxx 0 xx 02200()Sxxx,2xS 0 x3.5 微分微分一、微分的概念一、微分的概念 問此薄片面積改變了多少? 0 x變到,0 xx長由引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊設(shè)薄片邊長為 x , 面積為S, 則當 x 在取得增量x時,面積的增量為20)(2xxx關(guān)于x 的線性主部高階無窮小量0 x時為故xxS02稱為面積函數(shù)在 的微分calculus0000( )0( )()()()yf xxxxxyf xyf xxf xA xox 設(shè)函數(shù)在點 的某鄰域內(nèi)有定義，如果對自變量 在點