自然邊界條件

1、1.2.2自然邊界條件上節(jié)中待求函數(shù)的邊界值是已知的，本節(jié)放松邊界值為可隨意變動的情況。 這里的問題是：在a乞x乞b的區(qū)間內(nèi)，決定一個函數(shù) y(x)使泛函bV = F(x,y,y)dx 取駐值由上節(jié)的變分過程可知：,b 3F dcFcF b a乜芯（Rydx 丁兒i/ Euler方程仍必須成立，否則便能找到一個、丫使：V大于(或等于)零。在邊界值中，/y也可任意，故必須有(道理同前)在 x=a 及 x=b 處：-0( *)ii/邊界條件(*)是根據(jù)取駐點的要求推導(dǎo)出來的，不是事先指定的。所以，這類條件為 自然邊界條件。(或)：在泛函的駐值尋找中，自變函數(shù)必須滿足的條件(即在滿足這些條件的函數(shù)中

2、尋找 泛函極值)稱為基本/本質(zhì)(Essential)邊界條件；而事先不必考慮，變分的結(jié)果自然滿足的 邊界條件稱自然邊界條件(Natural )。iii/推廣至更廣泛的一些問題在a _x _b的區(qū)間內(nèi)，決定一個函數(shù)y(x)使泛函bV = J F(x, y, y )dx Py(a) Qy(b)a取駐值，其中 P , Q為已知數(shù)值。求V的變分設(shè)：,bV F(x, y, y)dx P y(a) Qy(b)aIFd；:FFF,心= - ()Kydx+P -Ix(a) +Qlx主向(b)a :ydx:y:y;y道理同前，還可得如下自然邊界條件：FF在 x-a,二P x-b, = Q:y: y1.2.3.

3、泛函的二階變分女口函數(shù)的二階微分用于判定函數(shù)駐值性質(zhì)一樣，泛函的二階變分可用來判定泛函的駐值性質(zhì)，V的一階小量部分稱為的V階變分，記 VV的二階小量部分稱為的V二階變分，記：2V二蘭(x,y,y),蘭二蘭(x, y,y)Note:.:yjy糾 -y、.（、y）=0、（、y）=0（近似?。?、2VF y F、y、y 匚 y y ydx ：y：y：*yy：y :y：y(、y)2dx極值性質(zhì)結(jié)論：2V:0:V=0、V-02V0、V-02V_0、V-02V 0V-02v:0b ：2p(y)21.2.4.涉及高階導(dǎo)數(shù)的駐值問題 先考慮下列泛函的駐值問題：bV = f F（x, y,y；y“）dxaV取極大

4、值V取極小值V取非極大的駐值（當(dāng)為多元函數(shù)時）V取非極小的駐值V取非極值的駐值（不定或等于零）作法：i/求V的一階變分，設(shè)：、V = M、.y M、y M,ydx y :y:yii/利用分步積分把上式第二項化成：-)yd- y|:yyiii/連續(xù)用兩次分步積分，把上式第三項化為:y dx 二-ydx-yCFcy+訃匡2ydx-a dx : y接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:;F:y2d FdFF()2()、ydx dx jydx :y；y接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:iv/ 由第一項可推出:Euler:2卻于）加于接連

5、利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:否則可找到一個y，使:V的第一次大于（或小于）零。 分析中的第二項，若在邊界上已知y，那么，:y =0于是第二項便恒等于 0，反之,若y可取任意值，那么應(yīng)使:F d ；:Fx ()=0 rx rI r 計.y dx ；y否則，可找一個使 V的第二項大于（或小于）零。 分析 V中的第三項，如果在邊界上不是已知y，則應(yīng)有:F0-y歸納本問題的邊界條件:及x=b處：在x=ay =已知（基本條件）-0 （自然條件）y =已知（基本條件）匚0（自然條件）homework:求下列泛函的極值問題:2；D 月 w 2N d

6、w 2 k 20(2) L ) o w -qwdx0 2 dx2 dx 2再考慮包含更高階導(dǎo)數(shù)的泛函駐值問題，?。篵（）V = （ F（x, y：y：，y ）dx作法雷同wab王主f蠱-畀每-y（n）dx a :y :y;yy務(wù)丁川）dx予嚴(yán)I； （如嚴(yán)需kj dkJ Fb（7 滬 Rm接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:X7dx+-Fy/Vd-dx+7F- y”：V可以化為:-Fy- -ba-:v利y|adx :ydx接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:（壬）y ia_g（互）+（期竺、dx :ydx ； ya （n）-y由于y的任意性，可得:cFd cFEuler :（.y dxL （上）_（_1）nV dx2 （；:ydxn/ ： F（鏟）=0在x=a及x=b處:y =已知 或（1）.y dx :ynnJ dnVdx（o接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項化為:接連利用