人教版八年級下冊18.1平行四邊形導(dǎo)學(xué)案

1、人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊學(xué)案第十八章 平行四邊形18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)【觀察】畫一個£ABCD，通過觀察和度量，猜想ABCD的有關(guān)性質(zhì)。除了“兩組對邊分別平行”外，它的邊之間還有什么關(guān)系？它的角之間有什么關(guān)系？它的對角線之間有什么關(guān)系？通過度量，觀察圖1，可以發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對邊相等，平行四邊形的對角相等；觀察圖2，可以發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對角線互相平分。那么對于上述觀察到的結(jié)果，如何進行證明？我們利用三角形全等得出全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角都相等。通過添加輔助線，構(gòu)造兩個三角形，通過全等三角形進行證明平行四邊形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。證明：如圖3，連接AC.ADBC，ABCD

2、，1=2，3=4.又AC是ABC和CDA的公共邊，ABCCDA（ASA）.AD=CB，AB=CD，B=D.同理可證BAD=DCB.我們利用三角形全等得出全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角都相等。通過添加輔助線，構(gòu)造兩個三角形，通過全等三角形和平行四邊形的對應(yīng)邊相等進行證明平行四邊形的對角線互相平分。證明：如圖4，連接AC，BD.ADBC，ABCD，1=2，3=4.又AD=BC，AODCOB（ASA）.OA=OC，OB=OD.思考1：不添加輔助線，你能否直接運用平行四邊形的定義，證明其對角相等？答：能。根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，同一個角的同旁內(nèi)角相等即可證明。思考2：已知平行四邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，

3、你能確定其他內(nèi)角的度數(shù)嗎？答：能。利用平行四邊形對角相等和平行四邊形的性質(zhì)，可以確定其他三個角的度數(shù)。思考3：什么是兩條平行線之間的距離？答：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。（任何兩條平行線之間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長度）思考4：兩條平行線之間的距離和點與點之間的距離、點到直線的距離有何關(guān)系與區(qū)別？答：點與點之間的距離是定義點到直線的距離、兩條平行線之間距離的基礎(chǔ)，他們本質(zhì)上都是點與點之間的距離?！究偨Y(jié)】平行四邊形具有以下性質(zhì)：示意圖性質(zhì)（分角度看）文字語言表述幾何語言表述從邊看對邊平行且相等ABCD，ADB

4、C從角看對角相等DAB=BCD，ABC=ADC從對角線看對角線互相平分OA=OC，OB=OD【鞏固】平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊 平行且相等 （從邊看）；平行四邊形的對角 相等 （從角看）；平行四邊形的對角線 互相平分 （從對角線看）?！纠}】1.如圖，在£ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，求證AE=CF.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，AD=CB.又AED=CFB=90°，ADECBF（AAS）.AE=CF.2.如圖，在£ABCD中，AB=10，AD=8，ACBC.求BC，CD，AC，OA的長，以及£ABCD的面積.

5、解：四邊形ABCD是平行四邊形，BC=AD=8，CD=AB=10.ACBC，ABC是直角三角形.根據(jù)勾股定理，AC=6.又OA=OC，OA=AC=3，S£ABCD=BC·AC=8×6=48.【練習(xí)】1.在£ABCD中，（1）已知AB=5，BC=3，求它的周長；（2）已知A=38°，求其余各內(nèi)角的度數(shù).2.如圖，在£ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.AOD的周長是多少？ABC與DBC的周長哪個長？長多少？3.如圖，£ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O且與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn).求證OE=OF.1

6、8.1.2 平行四邊形的判定【觀察】通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.那么反過來，對邊相等或?qū)窍嗟然驅(qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？探究一：我們以“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”為例，通過三角形全等進行證明：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：OA=OC，OD=OB，AOD=COB，AODCOB（SAS）.OAD=OCB.ADBC.同理可證ABDC.四邊形ABCD是平行四邊形.探究二：分別以“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”和“兩組對角分別相等的四邊形

7、是平行四邊形”為例，請同學(xué)們分別寫出已知和求證，并進行證明。以“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”為例：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，AB=DC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：連接AC，如圖.AD=BC，AB=DC，AC=CA，ADCCBA（SSS）.ACD=CAB，DAC=BCA.ABDC，ADBC.四邊形ABCD是平行四邊形.以“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”為例：已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADC，BAD=BCD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：四邊形內(nèi)角和為360°，ABC+ADC+BAD+BCD=360°.A

8、BC=ADC，BAD=BCD，ADC+BAD=180°.ABDC.同理ADBC.四邊形ABCD是平行四邊形.思考：我們知道，兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對邊，它們滿足什么條件時這個四邊形能成為平行四邊形呢？我們知道，如果一個四邊形是平行四邊形，那么它的任意一組對邊平行且相等.那么反過來，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？我們猜想這個結(jié)論正確，下面通過平行四邊形的定義或前面講到的判定來進行證明.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：連接AC，如圖.ABCD，1=2.又AB=CD，AC=

9、CA，ABCCDA（SAS）.BC=DA.四邊形ABCD的兩組對邊分別相等，它是平行四邊形.【總結(jié)】平行四邊形具有以下判定：示意圖判定（分角度看）文字語言表述幾何語言表述從邊看兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC，四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形在四邊形ABCD中，ABCD，AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形（定義法）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形在四邊形ABCD中，ABCD，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形從角看兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形在四邊形ABCD中，DAB=BCD，ABC=ADC，四邊形

10、ABCD是平行四邊形從對角線看對角線互相平分的四邊形是平行四邊形在四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，四邊形ABCD是平行四邊形由上我們知道，平行四邊形的判定定理與相應(yīng)的性質(zhì)定理互為逆定理.也就是說，當定理的條件與結(jié)論互換以后，所得命題仍然成立.【鞏固】【例題】1.如圖，£ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO，BO=DO.AE=CF，AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又BO=DO，四邊形BFDE是平行四邊形.思考：你還有其他證明方法嗎？答：可以利用定義，或證

11、明兩組對邊分別相等，或兩組對角分別相等.2.如圖，在£ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，EBFD.又EB=AB，F(xiàn)D=CD，EB=FD.四邊形EBFD是平行四邊形.【練習(xí)】1.如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.圖中有哪些互相平行的線段？2.如圖，£ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點.求證BE=DF.3.為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長相等就可以了.你能說出其中的道理嗎？4.如圖，在£ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點分別作AEBD，CFBD，E，F(xiàn)為垂足.求證：四邊形AFCE是平行四邊形.練習(xí)答案18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)1.（1）16；（2）142°，38°，142°，運用平行四邊形的對角和鄰角的性質(zhì).2.AOD的周長是21，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì).DBC的周長長，長6