2022年2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

1、一選擇題2021 年全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第一試可編輯資料 - - - 歡迎下載1已知 a 2 1, b3 2,c 63,那么 a, b,c 的大小關(guān)系是Aa bcBac bCb a cDb c a2. 方程 x2 2xy 3y2 34 的整數(shù)解 x, y的組數(shù)為 A 3B 4C 5D 63. 已知正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為 1, E 為 BC 邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn), CE 1,連接 AE,與 CD交于點(diǎn) F,連接 BF 并延長(zhǎng)與線段DE 交于點(diǎn) G,就 BG 的長(zhǎng)為 可編輯資料 - - - 歡迎下載A63B53C26253D3可編輯資料 - - - 歡迎下載4. 已知實(shí)數(shù) a, b 中意 a

2、2 b2 1,就 a4 abb4 的最小值為 19可編輯資料 - - - 歡迎下載A -8B 0C 1D8可編輯資料 - - - 歡迎下載25.如方程 x2 2px 3p 2 0 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1, x2 中意 x1 2 x13 4 x 2x23,就實(shí)數(shù) p 的全部可能的值之和為35可編輯資料 - - - 歡迎下載A 0B -4C -1D -4可編輯資料 - - - 歡迎下載6.由 1,2,3,4 這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)abcd（數(shù)字可重復(fù)使用） ,要求中意 ac b d這樣的四位數(shù)共有 A 36個(gè)B40個(gè)C44個(gè)D 48個(gè)二填空題111可編輯資料 - - - 歡迎下載1. 已知互不相等

3、的實(shí)數(shù)a, b,c 中意 ab b c ca t,就 t 可編輯資料 - - - 歡迎下載2. 使得 5× 2m 1 是完全平方數(shù)的整數(shù)m 的個(gè)數(shù)為 3. 在 ABC 中,已知 ABAC, A40°,P 為 AB 上一點(diǎn), ACP 20°, 就BC AP可編輯資料 - - - 歡迎下載4. 已知實(shí)數(shù) a,b,c 中意 abc -1 ,a bc 4,abc 4 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載就 a2b2 c2 a2 3a 1b2 3b 1c2 3c 19可編輯資料 - - - 歡迎下載其次試一，已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù),周長(zhǎng)為30,求它的外接圓的面積.二，如

4、圖, PA 為 O 的切線, PBC 為 O 的割線, AD OP 于點(diǎn) D.證明： AD2 BD.CDAODPBC1 2三，已知拋物線 y -6x bx c 的頂點(diǎn)為 P,與 x 軸的正半軸交于 A x1,0 ，B x2,0 兩點(diǎn)3可編輯資料 - - - 歡迎下載x1 x2,與 y 軸交于點(diǎn) C, PA 是 ABC 的外接圓的切線 .設(shè) M 0, -拋物線的解析式 .2,如 AM BC,求可編輯資料 - - - 歡迎下載參考答案一選擇題1.C2.B3.D4.B5.B6.C二填空題1.± 12. 13.34.332其次試一，解設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a, b, c（ abc ）,就

5、 abc30 .明顯,三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)c ,下面先求 c 的值.由 a由 abbc 及 abc 及 abcc1130 得 30abc30 得 30abc3c ,所以 c2c ,所以 c10 .15 .又由于 c 為整數(shù),所以c14 .根 據(jù) 勾 股 定 理 可 得a 2b2c2,把 c30ab代 入 , 化 簡(jiǎn)ab30ab4500 ,所以 30a 30b45023252 ,由于 a,b 均為整數(shù)且 ab ,所以只可能是30a30b52,232 ,a5,解得b12.所以,直角三角形的斜邊長(zhǎng)c13 ,三角形的外接圓的面積為169.4二，證明：連接 OA, OB, OC.OA AP,

6、AD OP,由射影定理可得PA 22PD PO , ADPD OD .又由切割線定理可得PA 2P B PC , PB PCPD PO, D，B，C， O 四點(diǎn)共圓, PDB PCO OBC ODC , PBD COD , PBD COD , PDCDBD2, ADODPD ODBD CD .AODPBC得可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載三，3b,b解易求得點(diǎn) P322c ,點(diǎn) C 0, c .可編輯資料 - - - 歡迎下載設(shè) ABC 的外接圓的圓心為D,就點(diǎn) P 和點(diǎn) D 都在線段 AB 的垂直平分線上,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為 3b, m .可編輯資料 - - -

7、歡迎下載明顯,x , x 是一元二次方程1 x2bxc0 的兩根,所以 x3b9b26c ,可編輯資料 - - - 歡迎下載x23b129b266c ,又 AB 的中點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 3b,0,所以 AE19b26c .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載由于 PA 為 D 的切線,所以 PA AD,又 AE PD,所以由射影定理可得AE 2PE DE ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載2即 9b6c 2 3 b2c | m |,又易知 m 20 ,所以可得 m6 .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載又由 DA DC 得 DA 2DC 2 ,即 9b26c 2m23b02mc2 ,把 m6可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載代入后可解得 c6 （另一解 c0 舍去） .3可編輯資料 - - - 歡迎下載又由于 AM / BC,所以O(shè)AOM3b,即9b 26c|2.可編輯資料 - - - 歡迎下載OBOC3b9b 26c|6 |可編輯資料 - -