2011級常微分方程考試試卷

1、一、選擇題1階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ A ）個(gè) （A） （B）-1 （C）+1 （D）+22李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的（ B ）條件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非3、若是齊次線性方程組的一個(gè)基解矩陣，為非奇異常數(shù)矩陣，那么是否還是此方程組的基解矩陣（ B ）. (A) 不是 (B) 是 (C) 也許是 (D) 也許不是4方程（ C ）奇解（A）有一個(gè) （B）有兩個(gè) （C）無 （D）有無數(shù)個(gè)5、給定常系數(shù)線性微分方程組，如果A的特征值的實(shí)部都是非正的，且實(shí)部為零的特征值都是簡單特征值，則它的任一解當(dāng)時(shí)，都趨于（ D ）(A) 零； (

2、B) 一個(gè)固定的常數(shù)； (C) 無窮大； (D)保持有界二、填空題1若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩個(gè)解可把其通解表示為 2方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 xoy平面 3. 線性齊次微分方程組的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于 n 個(gè)，其中，4二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是 線性無關(guān) 5、9線性齊次微分方程組的解組為基本解組的充分必要 條件是它們的朗斯基行列式 二、計(jì)算題（共6小題，每題10分）。1.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：，令z=x+y則所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+

3、即2、討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點(diǎn)（0，0）的一切解解： 設(shè)f(x,y)= ,則 故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)， 因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件， 顯然，是通過點(diǎn)（0，0）的一個(gè)解； 又由解得，|y|= 所以，通過點(diǎn)（0，0）的一切解為及|y|=3、試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算解： det()=所以， 設(shè)對應(yīng)的特征向量為 由 取 所以，= 4.書上P350例15、試討論方程組 （1）的奇點(diǎn)類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。解： 因?yàn)榉匠探M（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件 ，故奇點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0） 又由det(A-E)=得 所以，方程組的奇點(diǎn)（0，0）可分為以下類型： a，c為實(shí)數(shù)四、證明題（共一題，滿分10分）。試證：如果滿足初始條件的解，那么 證明： 設(shè)的