基本數學思想(1)(3)

1、基本數學思想：教材架構與教學思考一、基本數學思想的教材架構數學思想是數學的靈魂，是數學科學發(fā)生和發(fā)展的根本。有了數學思想，數學知識便不再是孤立的。史寧中教授認為，“數學思想需要滿足兩個條件：一是數學產生、發(fā)展過程中所必須依賴的那些思想，二是學習過數學的人所具有的思維特征。基本數學思想主要有三種：抽象、推理和模型。整個數學學科就是建立在基本數學思想的基礎上，并按照基本數學思想發(fā)展起來的。”1蘇教版義務教育小學數學教材堅持用基本數學思想統(tǒng)整全部內容，規(guī)劃合理的內容結構，側重引導學生經歷簡單的數學抽象過程、推理過程、建立模型過程。（一）以數學抽象為主線引入數學研究的對象數學是研究數量關系和空間形式的

2、科學，數學研究的對象是一種抽象的存在。教材在編寫時，注重精心選擇素材，創(chuàng)設情境，把客觀世界中與數量和圖形有關的事物或現象抽象成數學研究的對象。1.數量與數量關系的抽象。把數量抽象成數。數概念的形成與發(fā)展是“數與代數”學習的起點，整數、小數、分數的學習，是一個從具體事物和數量抽象為數的過程，是抽象水平不斷提高的過程，學生認識數的過程也是逐步感悟抽象思想的過程。比如教學正整數的認識，教材按照“現實情境中的數量實物（小棒、小方塊等）表示數計數器（或算盤）表示數寫數”的線索，引導學生經歷數的抽象過程。再比如教學負整數的認識，教材選擇溫度計、海拔高度、收支盈虧、向不同方向走路等現實素材，從大量存在的具有

3、相反意義的量中抽象出負數的意義。把數量抽象成數，并用符號表達，數學就有了研究的對象。把數量多少關系抽象成數大小關系。抽象出研究對象不是根本，數學的本質是研究關系。數中最重要的關系是大小關系，大小關系是從數量里的多少關系抽象出來的。教材結合認識10以內的數，通過創(chuàng)設童話情境，先引導學生比較同類事物數量的多少，再抽象出數的大小，進而演變?yōu)橐话愕男蜿P系（一個自然數加1就可以得到下一個比它大1的數）。有了數的大小關系，就能派生出自然數的加法，進而建構四則運算；有了數概念“序”的特性，就為后面建構大數概念的更高程度的抽象提供經驗支撐。把數抽象成字母。從算術的學習走向代數的學習，是學生學習數學的重要轉折點

4、。如果說數字符號是對生活中各種物體個數的抽象概括，那么字母則是對各種數字符號的抽象概括。教學用字母表示數，教材以“用式子表示擺三角形用小棒的根數”為載體，引導學生經歷“具體事物-個性化地表示-學會數學地表示”的抽象過程，體驗字母表示數的概括性和抽象性。2.圖形與圖形關系的抽象。幾何學主要是研究幾何體和幾何圖形的空間形式、位置關系和量的關系。把現實生活中與圖形有關的事物抽象成平面圖形，為幾何學打開研究的大門。教材從學生熟悉的現實空間中的物體出發(fā),引導學生在觀察、操作、比較等活動中逐步舍棄其他屬性，對其形狀、大小、位置等幾何形態(tài)進行抽象和概括，進而獲得相應的表象，建立幾何圖形概念。比如教學認識長方

5、體，教材引領學生經歷了兩個層次的抽象過程：觀察并交流生活中常見的長方體實物的過程，是學生舍棄它們的材質、顏色、用途等屬性，對長方體的形狀特征進行抽象的過程；從不同角度觀察長方體模型的活動，是促進學生積極調度頭腦中已形成的長方體表象，并試圖以可視化的方式表示出來，實現用二維的幾何圖形表示三維的幾何體，完成把物體抽象成幾何圖形的過程?！胺较蚺c位置”為研究圖形關系打開大門。教學“認識方向”，教材通過創(chuàng)設現實情境，讓學生在熟悉的環(huán)境中體驗東、南、西、北、東南、東北、西南、西北，進而抽象成平面圖，為進一步研究圖形位置關系提供方法基礎；教學“確定位置”，教材提供教室座位圖，先讓學生利用已有的經驗描述小軍的

6、位置，再把日常生活中用行和列描述物體位置的經驗抽象成有序的數對，過度到用數對表示平面上點的位置，為研究平面直角坐標系做好準備。分類思想是由抽象思想派生出來的。分類為數學抽象活動提供必要的基礎，教材對分類思想作了精心架構。在“數的運算”中，通過練習引導學生對式題進行分類，整體把握筆算方法；在“解決問題策略”中，引導學生經歷分類列舉的過程，感悟策略的價值；在“圖形的認識”中，引導學生通過對圖形進行分類，引入圖形概念；在“數據的收集和整理”中，引導學生按不同的標準對數據進行分類，體會分類標準與分類結果之間的聯(lián)系。等等。（二）以數學推理為主線建構數學內容體系推理是從一個或幾個已知判斷得出新判斷。人們通

7、過推理得到數學命題和算法，建構數學理論體系大廈。推理有兩種形式，通過特例的分析引出普遍的結論叫歸納推理（包括類比推理），從普遍性結論或一般性的前提推出個別或特殊的結論叫演繹推理。在解決問題的過程中，歸納推理用于推斷結論，演繹推理用于證明結論。數學的發(fā)展，既需要演繹推理，也需要歸納推理。教材在編寫時，注重處理好歸納推理與演繹推理的關系，堅持以推理思想為統(tǒng)領，形成數學概念，建立數學知識體系。1.從特殊到一般。內容結構的建立。教材編寫注重整體性，突出數學思想在內容結構中的作用，促使學生由此及彼、舉一反三地進行探索性學習。如“圖形面積計算”的教學內容，教材以化歸思想統(tǒng)領整個內容領域，通過類似的編排線索

8、，促進學生遷移感悟。數學知識的形成。受小學生知識經驗和認知水平的限制，小學數學中大部分知識的形成和建立，教材都采用歸納（主要是不完全歸納）方式展開。有的是建立在類比例舉之上的歸納，有的是建立在抽象分析之上的歸納。數學規(guī)律的探索。教材除了注重讓學生在知識的形成、發(fā)展中經歷由具體到一般的抽象、概括過程外，還通過選擇一些探索性的問題，讓學生在解決問題過程中拓展學習內容，體會歸納思想。一是通過習題引導學生體會不同領域數學內容之間的聯(lián)系與綜合，積累對基本數學思想的認識。例如，六年級(下冊)“總復習”單元第11題，學生在解決問題的過程中不難歸納出“在正方形里畫11個、22個、33個相同的盡量大的圓，圓面積

9、的和都是正方形面積的78.5%?！北M管這一結論還需要進一步的證明，但這種由特殊現象歸納一般規(guī)律的過程卻在學生頭腦中留下了深刻的印記。二是安排“探索規(guī)律”專題活動，引導學生經歷探索和發(fā)現規(guī)律的過程，體會由具體到抽象、由特殊到一般的數學思想。2.從一般到特殊。數學結論的推導。在小學階段，盡管很少涉及數學證明這樣嚴格規(guī)范的演繹推理，但一些數學結論的推導過程同樣蘊含了演繹思想。教材依據兒童的認知水平，從高年級開始安排借助演繹推理建構數學的活動。比如在“多邊形的面積”單元中，教材先安排學生動手操作，建立圖形之間的聯(lián)系，然后組織學生討論和分析，展開公式的推導過程。推導的過程，就是演繹方法的應用過程和演繹思

10、想的感受過程。這種感受有助于建立對數學結論確定性的信念，有利于培養(yǎng)學生合乎邏輯的表達能力。數學知識的應用。數學教材編排整體上是遵循“歸納演繹”線索的，即先按照由具體到抽象、由特殊到一般學習新知識；再由一般到特殊，要求學生根據已經獲得的定義、定律、公式等，去解決一個個具體的問題。例如，探索出“三角形的內角和是180”后，讓學生據此計算三角形未知角的度數，求出等腰直角三角形一個銳角的度數，推出頂角是60的等腰三角形是正三角形。再如，通過歸納得到乘法分配律后，要求學生根據乘法分配律進行簡便計算等。通過這樣一些由一般向特殊的演繹，使抽象的數學概念、規(guī)律和原理具體化，有利于促進數學知識的理解和掌握，發(fā)展

11、推理能力。（三）以數學建模為主線搭起數學與外部世界的橋梁數學得到的一些結論要應用于現實世界，主要是通過數學模型。數學模型是溝通數學與現實世界的橋梁。從廣義上講，一切數學概念、公式、數量關系、圖形、表格，以及由它們所構成的算法系統(tǒng)，都可以稱為數學模型。狹義上，數學模型專指針對一個個比較復雜的具體情境所建立的，旨在解決具體問題的、特定的模型。2在小學數學教材中，數學模型思想主要體現在：實際問題中數量關系的抽象表達。教材分三個階段編排數量關系的學習：一年級結合四則運算意義感知實際問題里各個數量之間的關系，體會加減乘除都是解決一類實際問題的數學模型；二年級結合教學內容在練習中有針對性地編排一些表格式練

12、習，引導學生提煉實際問題的具體數量關系式，為今后形成概括的數量關系式積累豐富的素材；四年級編排“常見的數量關系”單元，從大量的同類實際問題中概括出基本數學模型。學生獲得這種概括程度較高的數量關系后，就能推廣、識別任何同類數量關系。列方程（或比例式）解決實際問題。方程是刻畫現實世界數量關系的數學模型。教學列方程解決簡單的實際問題，教材重在引導學生把實際問題抽象成數學語言（數量關系式），進而轉換成符號語言（方程式），領會數學模型思想和基本過程。函數思想是由模型思想派生出來。函數是刻畫現實世界數量變化規(guī)律的數學模型，小學數學教學內容中蘊含豐富的函數思想，教材作了整體規(guī)劃和孕伏。例如，結合“數的運算”

13、教學，教材通過題組練習或試商、調商活動，引導學生感受變量思想；結合“解決問題的策略”教學，教材引導學生在嘗試、假設、驗證、調整過程中體會函數關系；結合“正比例和反比例”教學，教材引導學生從變化的數量中研究不變的關系。等等。二、基本數學思想的教學思考以基本數學思想統(tǒng)率知識的發(fā)生、發(fā)展過程，努力使學生在獲得具體數學知識的同時受到相應數學思想的熏陶，是教材編寫的致力追求。但教材本身畢竟是一個靜態(tài)的結構系統(tǒng)，況且數學思想又內隱在該系統(tǒng)的表層之下。教學中，教師除了應挖掘教學內容的教育價值、把握基本思想的內涵實質外，還應注意以下幾方面：（一）數學思想教學的基本方式和目標要求是“感悟”數學本身具有高度的抽象

14、性，數學思想又是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。因此，就教學方式和目標要求而言，隱性的數學思想自然也區(qū)別于顯性的數學知識，主要表現為“學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想?！?這就是說，學生獲得數學思想的基本方式與目標要求是“感悟”。當然，數學課堂深入挖掘教學內容所蘊含的數學思想并融入數學知識的學習過程予以滲透是課程實施的要求，但如果試圖將教師所獲得的深刻理解也要求學生達到同樣認識水平，就不切實際了。因此，數學思想教學還應根據學生年齡的特點把握教學的度。（二）數學思想教學“顯化”在數學思考的過程之中數學思想教學應通過數學概念的形成和建立過程、數學規(guī)律

15、的歸納和總結過程、數學問題的分析和解決過程來體現。比如，“問題情境建立模型求解驗證”的過程是感悟模型思想的關鍵，“猜想驗證”的探索過程對感悟推理思想尤為重要。學生只有親身經歷運用數學思維方法的思考過程，才能獲得對相應數學思想的深刻體驗。例如，“間隔排列”的數學本質是一一對應。很多教師在教學中根據問題所包含的各種情況采用分類教學，總結出不同的結論，學生常常在“加1”“減1”“不變”之間不知所措。教學中，如果緊緊抓住“間隔排列”的數學本質，以數學思維方法帶動數學學習，那么不同情況就會由對立走向統(tǒng)一，學生不僅學得輕松，而且“對應思想”透過數學思考活動得以“顯化”。（三）數學思想教學要兼收并蓄，突出主

16、干不同的數學思想，互相間并不排斥，而是彼此包容共生的。比如，歸納和演繹，因為思維路徑互逆，所以歸納和演繹通常是密切聯(lián)系、相互補充的，也常常有機融合在一起，即歸納中有演繹，演繹中有歸納。教學中，通常以一種思想的滲透為主線，同時融合其他的數學思想。教學“小數乘整數”，教師先教學0.1、0.01、0.001與整數相乘。課件分別出示直觀圖形（10等分的正方形、100等分的正方形和1000等分的正方體），每個圖形都表示整數“1”，其中的1份涂色。引導學生先用小數表示涂色部分，再思考這樣的幾份是多少，得出乘法算式：0.14=0.4 0.18=0.80.015=0.05 0.0135=0.350.0019=

17、0.009 0.001125=0.125引導學生觀察并歸納：因數中有幾位小數，積就有幾位小數。在此基礎上，探索一般的小數與整數相乘的算法。學生聯(lián)系已有知識計算0.83和2.353，把0.83寫成830.1，把2.353寫成23530.01。計算后發(fā)現，因數中有幾位小數，積就有幾位小數。顯然，上面教學采用的是歸納方式。這種歸納又是建立在演繹分析之上，教學0.1、0.01、0.001與整數相乘時，通過呈現經驗過的實例，讓學生從數學知識的內在聯(lián)系出發(fā)進行推理；教學一般的小數與整數相乘時，讓學生利用已有知識進行分析推理。歸納，讓學生更智慧；演繹，讓學生明白“數學是講道理的”。（四）數學思想教學要體現階

18、段性，逐步提升學生的領悟水平數學思想教學的階段性要求，源自兩方面原因：一是小學生受自身知識積累、認知能力和思維抽象水平的局限，他們對數學思想的感悟往往也需要經歷從模糊到清晰、從無意識到漸漸領悟這樣一個較為漫長的過程；二是同一種數學思想可以蘊含在不同年級、不同數學概念和原理之中，并在這個過程中不斷豐富和拓展自身的內涵。因此，對某一數學思想的感悟，應充分考慮小學生的年齡特征和心理活動水平，在不同階段、不同內容的教學活動中，提出不同程度的教學要求，從而使學生不斷提高感悟的水平。例如，化歸思想是由數學推理思想派生出來的，在探索數學新知、解決數學問題的過程中具有不可替代的作用。在小學階段，化歸思想主要隱含在“數的運算”“圖形的測量”之中，不同階段的