2005年考研數(shù)學(xué)二真題解析(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2005年考研數(shù)學(xué)二真題解析一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設(shè)，則 = .【分析】 本題屬基本題型，冪指函數(shù)的求導(dǎo)（或微分）問題可化為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)或取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)求導(dǎo).【詳解】 方法一： =，于是 ，從而 =方法二： 兩邊取對(duì)數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)，得 ，于是 ，故 =（2） 曲線的斜漸近線方程為.【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 因?yàn)閍= ，于是所求斜漸近線方程為（3） .【分析】 作三角代換求積分即可.【詳解】 令，則 =（4） 微分方程滿足的解為.【分析】直接套用一階線性微分方程的

2、通解公式： ，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價(jià)為，于是通解為 =，由得C=0，故所求解為（5）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則k= .【分析】 題設(shè)相當(dāng)于已知，由此確定k即可.【詳解】 由題設(shè)， =，得（6）設(shè)均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 2 .【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 =，于是有 二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C) 恰有兩

3、個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn). (D) 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn). C 【分析】 先求出f(x)的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即 可見f(x)僅在x=時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有，于是，即 ，

4、也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng). 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D); 故應(yīng)選(A).（9）設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 (A) . (B) . (C) . (D) . A 【分析】 先由x=3確定t的取值，進(jìn)而求出在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)的法線方程，從而可得所需的橫坐標(biāo).【詳解】 當(dāng)x=3時(shí)，有，得（舍去，此時(shí)y無意義），于是 ，可見過點(diǎn)x=3(此時(shí)y=ln2)的法線方程為： ，令y=

5、0, 得其與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：, 故應(yīng)(A).（10）設(shè)區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 由于未知f(x)的具體形式，直接化為用極坐標(biāo)計(jì)算顯然是困難的. 本題可考慮用輪換對(duì)稱性.【詳解】 由輪換對(duì)稱性，有 = = 應(yīng)選(D).（11）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分別求出、，再比較答案即可.【詳解】 因?yàn)椋?，于是 ， ， ，可見有，應(yīng)選(B).（12）設(shè)函數(shù)則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn). （B） x=0

6、,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(D) x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn). D 【分析】 顯然x=0,x=1為間斷點(diǎn)，其分類主要考慮左右極限.【詳解】 由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1點(diǎn)處無定義，因此是間斷點(diǎn).且 ，所以x=0為第二類間斷點(diǎn)； ，所以x=1為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選(D).（13）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.

7、【詳解】 方法一：令 ，則 ， .由于線性無關(guān)，于是有 當(dāng)時(shí)，顯然有，此時(shí)，線性無關(guān)；反過來，若，線性無關(guān)，則必然有(,否則，與=線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無關(guān)的充要條件是故應(yīng)選(B).（14）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則(A) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. C 【分析】 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.【詳解】 由題設(shè)，存在初等矩陣（交換n階

8、單位矩陣的第1行與第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可見應(yīng)選(C).三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限 【分析】 此類未定式極限，典型方法是用羅必塔法則，但分子分母求導(dǎo)前應(yīng)先變形.【詳解】 由于,于是 = =（16）（本題滿分11分）如圖，和分別是和的圖象，過點(diǎn)(0,1)的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖象. 過上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程 【分析】 利用定積分的幾何意義可確定面積，再根據(jù)建立積分等式，然后求導(dǎo)引

9、出微分方程，最終可得所需函數(shù)關(guān)系.【詳解】 如圖，有 ， ，由題設(shè)，得 ，而，于是兩邊對(duì)y求導(dǎo)得 ， 故所求的函數(shù)關(guān)系為：（17）（本題滿分11分） 如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分【分析】 題設(shè)圖形相當(dāng)于已知f(x)在x=0的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導(dǎo)數(shù)值.【詳解】 由題設(shè)圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =（18）（本題滿分12分） 用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解.【分析】 先將轉(zhuǎn)化

10、為，再用二階常系數(shù)線性微分方程的方法求解即可.【詳解】 ， ，代入原方程，得 .解此微分方程，得 ，將初始條件代入，有. 故滿足條件的特解為（19）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【詳解】 （I） 令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II） 在和上對(duì)f(x)分別

11、應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，于是 （20）（本題滿分10分）已知函數(shù)z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.【分析】 根據(jù)全微分和初始條件可先確定f(x,y)的表達(dá)式. 而f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值, 可能在區(qū)域的內(nèi)部達(dá)到，也可能在區(qū)域的邊界上達(dá)到，且在邊界上的最值又轉(zhuǎn)化為求條件極值.【詳解】 由題設(shè)，知 ，于是 ，且 ，從而 ，再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 令得可能極值點(diǎn)為x=0,y=0. 且 ，所以點(diǎn)(0,0) 不是極值點(diǎn)，從而也非最值點(diǎn).再考慮其在邊界曲線上的情形：令拉格朗日函數(shù)為 ，解 得

12、可能極值點(diǎn)； 代入f(x,y)得 ，可見z=f(x,y)在區(qū)域內(nèi)的最大值為3，最小值為-2.（21）（本題滿分9分）計(jì)算二重積分，其中.【分析】 被積函數(shù)含有絕對(duì)值，應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.【詳解】 記，于是 =+=（22）（本題滿分9分）確定常數(shù)a,使向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示.【分析】向量組可由向量組線性表示，相當(dāng)與方程組：.均有解，問題轉(zhuǎn)化為=是否均成立？這通過初等變換化解體形討論即可. 而向量組不能由向量組線性表示，相當(dāng)于至少有一個(gè)向量不能由表示，即至少有一方程組，無解.【詳解】 對(duì)矩陣作初等行變換，有 = ，當(dāng)a=-2時(shí)，, 顯然不能由線性表示，因此；當(dāng)a=4時(shí)， ，然均不能由線性表示，因此.而當(dāng)且時(shí)，秩，此時(shí)向量組可由向量組線性表示.又 ，由題設(shè)向量組不能由向量組線性表示，必有或，即a=1或. 綜上所述，滿足題設(shè)條件的a只能是：a=1.（23）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r