解析幾何知識(shí)點(diǎn)更新

1、三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為 2 : 1。三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。外心到三頂點(diǎn)的距離相等三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊距離相等。y y k(x x )斜截式：y kx b ；yy1xx1兩點(diǎn)式：1-y2y1X2為0 ,( a , B不全為0)。直線與圓1 直線方程：點(diǎn)

2、斜式：截距式：x 2 i ；a b一般式：Ax By C2 兩條直線的位置關(guān)系：直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注l1 : y k1x b l2: y k2x b2k1 k2,b1 b2k1 k21l1,l2有斜率l1 : A1xB1y C10A1B2a2 B1,且A1A2B1B20不可寫成12 : A2x B2 y C20B1C2 B2C1 (驗(yàn)證分式3 幾個(gè)公式：設(shè) A (Xi,yi)、B(x2,y2)、C (x3,y3) "ABC 的重心 G :( X_X_x3_y3_y3 );3'3點(diǎn) P (xo,yo)到直線 Ax+By+C=O 的距離：d AXo一By

3、76;一C v'A2 B2兩條平行線 Ax+By+C i=°與Ax+By+C 2=0的距離是d Cl C2 . Q A B24.圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：(x a)2 (y b)2 r2x2 y2r2。一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0( D2 E2 4F 0)注：Ax2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 表示圓 A=C 工 0 且 B=0 且 D2+E2 4AF>0 ;5點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：(主要掌握幾何法)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：(d表示點(diǎn)到圓心的距離)dR點(diǎn)在圓上；dR 點(diǎn)在圓內(nèi)；d R點(diǎn)在圓外。直線與圓的位置關(guān)系：(d表示圓心到直線的距離)dR相切；dR相交；

4、d R相離。圓與圓的位置關(guān)系：(d表示圓心距，R, r表示兩圓半徑，且 R r)dRr相離；dRr外切；R r d R r 相交；dRr內(nèi)切；0dRr 內(nèi)含。6.與圓有關(guān)的結(jié)論：過圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(xo,yo)的切線方程為：xox+yoy=r2；過圓(x_ af+(y_ b)2=r2 上的點(diǎn) M(x o,yo)的切線方程為：(xo- a)(x- a)+(yo- b)(y- b)=r2； 以 A(x i, y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x xi)(x X2)+(y yi)(y y2)=O。圓錐曲線方程知識(shí)點(diǎn)一、曲線和方程1 曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(

5、x,y)=o的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1) 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是；2) 方程f(x,y)=O的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都。則稱方程f(x,y)=O為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=O的曲線。2,求軌跡方程練習(xí)：1。已知線段AB的長(zhǎng)為1O,動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離的平方和為 122，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為X22. 設(shè)P為雙曲線y2= 1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M4的軌跡方程是二、橢圓1 .定義：| PF1 | _ | PF2 | = 2a _| F1F2 | = 2c若2a = 2c，則軌跡為 ； 2a < 2c，則軌跡為 2.幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y

6、軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程a、b、c的關(guān)系范圍對(duì)稱性焦占八'、八、頂點(diǎn)軸長(zhǎng)離心率準(zhǔn)線方程3.些結(jié)論:（1）橢圓的一般方程：mx2 ny2 1 （m、n為不相等的正數(shù)）(2)2 2xy22am bm1與2 2篤占 1有相同的焦點(diǎn)。ab(3)1 PF1 |的最大值為a+ c,最小值為a -c。練習(xí):21。給定橢圓x2y1 ,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為和;焦距為;長(zhǎng)軸36100長(zhǎng)為, 短軸長(zhǎng)為; 離心率為; 準(zhǔn)線 方程為和；若其上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)Fi的距離為6，則P到另一焦點(diǎn)F2的距離為 ；若AB為過焦點(diǎn)F1的弦，貝U ABF2的周長(zhǎng)為2. 橢圓5x2 ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是（0, 2）,那么k 3. 寫出下列橢圓的標(biāo)

7、準(zhǔn)方程： b 1,c. 15，焦點(diǎn)在x軸上：;3 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 20,;離心率為 3 : 3 52,25 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0, -2 ）,（ 0, 2）,并且橢圓經(jīng)過點(diǎn) 經(jīng)過點(diǎn)（-2 , 3）且與橢圓9x2 4y2 36有共同焦點(diǎn)： 經(jīng)過兩點(diǎn)AJ3, 2,B 2J3,1 ： 三、雙曲線1 定義:PFi | _ | PF2 |_ = 2a _| F1F2 | = 2c若2a = 2c，則軌跡為 ; 2a > 2c，則軌跡為 若無絕對(duì)值符號(hào)，則軌跡為 。2.幾何性質(zhì):焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程a、b、c的關(guān)系范圍對(duì)稱性焦占八'、八、頂點(diǎn)軸長(zhǎng)離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程3

8、. 些結(jié)論：(1)雙曲線的一般方程：mx2 ny2 1 ( m、n同號(hào))(2)a22y_b22 2(0)與務(wù)/1有相同的漸近線。a b(3) | PFi |無最大值，最小值為c -a2 2練習(xí)：1。已知雙曲線方程為 x 1，則其焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F<!,F212 16頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，漸近線方程為 ，準(zhǔn)線方程為 ，離心率為;若點(diǎn)P為該雙曲線上任意一點(diǎn)，且PF1 10，貝V PF2 。2已知雙曲線方程為 4x2 y24 , MN過左焦點(diǎn)F1，且MN4 , M N同在左支上，貝y MNF2的周長(zhǎng)為。3.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：77 焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16,漸近線方程為y -X3

9、焦點(diǎn)為（0, -6），（ 0，6），且經(jīng)過點(diǎn)（2，-5） 經(jīng)過點(diǎn) .2,3 ,232 2 以橢圓-1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)85 與雙曲線9x2 16y2 144有共同漸近線且過點(diǎn) 4.3,3 一個(gè)焦點(diǎn)為F, 6,0）的等軸雙曲線24. F1,F2是雙曲線 y2 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF2 90，貝U F1PF2的4面積是四、拋物線1. 定義：與定點(diǎn)和定直線的距離 的點(diǎn)的軌跡。2. 幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性焦占八'、八、離心率I PF | =準(zhǔn)線方程練習(xí)：1求滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:準(zhǔn)線為y 3過點(diǎn)(-3，2)焦點(diǎn)在直線x

10、 2y 40上焦點(diǎn)為F (-1 , 0)22和橢圓乞 y1有公共準(zhǔn)線2516焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn) M(m, 3)到焦點(diǎn)的距離為52已知拋物線的方程為 X2 4y 0，焦點(diǎn)為F,則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，對(duì)稱軸為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 若AB為過焦點(diǎn)的弦，貝y AB的最小值為 若A B在準(zhǔn)線上的射影分別為 A,B,則 A1FB1已知M( -1 , -3 ), P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則PMPF的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為五:2ab;.橢圓中的結(jié)論：內(nèi)接矩形最大面積P, Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且OP0Q,則一咯|OP|12|OQ|橢圓焦點(diǎn)三角形：< I >. SPF1F2Fi PF2)

11、<n > .點(diǎn)M是PRF2內(nèi)心,PM交F1F2于點(diǎn)N ,則型| MN |當(dāng)點(diǎn)P與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)F1PF2最大;4.雙曲線中的結(jié)論:2雙曲線2a共漸進(jìn)線y2 2y 1 (a>0,b>0)的漸近線：babx2bx的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為務(wù)aa2y_2b2y_b2(為參數(shù),豐0)；雙曲線焦點(diǎn)三角形：<I >. SPffb2cot,(1 2 2F1PF2);2x <n >. p是雙曲線篤a22y牙=1(a>0, b>0)的左(右)支上一點(diǎn),bF1、F2分別為左、右焦點(diǎn),則厶PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a,(a);雙曲線為等軸雙曲線e ,2漸

12、近線為y漸近線互相垂直;5.拋物線中的結(jié)論：拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì):2< I > . X1X2=_ ; y1y2 = p2;41 1 2< n >.| AF | |BF | p<m >以ab為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;<W > .以AF (或BF)為直徑的圓與 y軸相切;2< V > . S AOB2si n拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)接直角三角形 OAB的性質(zhì):2 2< I >. X1X2 4P , y1 y2 4P ;< 口 > Iab 恒過定點(diǎn)(2p,0);22p)；<

13、rn >. A, B中點(diǎn)軌跡方程：y p(x<W >. OM AB，貝U M軌跡方程為:(x p)222p ; < V > . (S AOB ) min 4 p 。拋物線y2=2px(p>0)，對(duì)稱軸上一定點(diǎn)A(a,0)，則:< I >.當(dāng)0 a p時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn) A距離最小，最小值為A距離最小，最小值為 2ap p2。<n> .當(dāng)a p時(shí)，拋物線上有關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)六、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0 e 1時(shí)，軌跡為; 當(dāng)e 1時(shí)，軌跡為當(dāng)e 1時(shí)，軌跡為；當(dāng)e 0時(shí)，軌跡為七、直線與圓錐曲線1 位置關(guān)系(1) 聯(lián)立方程組關(guān)于x (或y )的一元二次方程“ ”0 ； 0 ； 0 (2) 特殊情況：若直線與雙曲線的漸近線 ，則直線與雙曲線 但只有一個(gè)交點(diǎn)；若直線與拋物線的對(duì)稱軸 ，則直線與拋物線但只有一.個(gè).交.點(diǎn).；2 弦長(zhǎng)公式：| AB | =練習(xí)：1。已知直線y (a 1)x 1與曲線y2 ax恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。x2 y22.已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓1的右焦點(diǎn)F1，與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，求