線性代數(shù)筆記

1、線性代數(shù)筆記第一章 行列式 1第二章 矩陣 5第三章 向量空間 32第四章 線性方程組 49第五章 特征值與特征向量 . 錯誤! 未定義書簽。第一章 行列式1.3.1 行列式的性質(zhì)給定行列式, 將它的行列互換所得的新行列式稱為 D 的轉(zhuǎn)置行列式，記為性質(zhì) 1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。即（ 這個性質(zhì)表明 : 行列式對行成立的性 質(zhì) , 對列也成立 , 反之亦然 ）性質(zhì) 2 用數(shù) k 乘行列式 D 的某一行（列）的每個元素所得的新行列式等于kD。推論 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。推論 2 若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為0?？梢宰C明：

2、任意一個奇數(shù)階反對稱行列式必為零。性質(zhì) 3 行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號。以二階為例推論 3 若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。性質(zhì) 4 若行列式某兩行（列）的對應元素成比例，則行列式的值為零。性質(zhì) 5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個元素的和，則行列式可分解為兩個 行列式的和，注意 性質(zhì)中是指某一行（列）而不是每一行。性質(zhì) 6 把行列式的某一行（列）的每個元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式 的值不變。范德蒙德行列式例 10 范德蒙行列式=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.4 克萊姆法則定理 1.4.1 對于 n 階行列式定理 1.4.2

3、 惟一的解 :如果n個未知數(shù)，n個方程的線性方程組 的系數(shù)行列式 Dm 0,則方程組有定理143如果n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組 的系數(shù)行列式 Dm 0,則該方程組只有零 解，沒有非零解。推論 如果齊次方程組有非零解,則必有系數(shù)行列式D=0。第二章 矩陣一、矩陣的運算1 、矩陣的加法設 A= ( aij ) mMi , B= ( bij ) mn，則A+B= ( aij +bij ) mXn矩陣的加法適合下列運算規(guī)則：( 1 )交換律： A+B=B+A( 2)結(jié)合律： ( A+B) +C=A+( B+C)(3) A+0=0+A=A此處0表示與A同型的零矩陣，即 A= (aj ) mn , 0

4、=0mM1(4) 矩陣A= (aij ) m,規(guī)定-A= (-a j ) m ,(稱之為A的負矩陣)，則有A+ (-A) = (-A )+A=0 2、矩陣的數(shù)乘設A= (aj ) m, K為數(shù)，則KA=( Kaij ) m n 矩陣的數(shù)乘適合下列運算規(guī)則：( 1) K( A+B) =KA+KB(2) (K+L)A=KA+LA(3) (KL)A=K(LA)( 4) 1*A=A0,而右端的“ 0”表示一個與A行數(shù)列數(shù)相同的零矩陣。(5) 0*A=0 (左端的零是指數(shù)3、矩陣的乘法設 A=( aij )mn, B=( bjk ) nl ,則A*B=C=( cik ) ml其中 C=2 aij bjk

5、 (j=1 , n)注意；兩個矩陣相乘必須第一個矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)； 矩陣乘法不滿足交換律 , 即AB不一定等于 BA矩陣乘法有零因子，即 AM 0 (零矩陣)，BM 0 (零矩陣)，但有可能 A*B=0 (零矩陣)矩陣的乘法適合以下法則：( 1)結(jié)合律： ( AB)C=A( BC)( 2)分配律( A+B)C=AC+BCC ( A+B) =CA+CB(3) k (AB = ( kA) B=A ( kB),此處 k 是一個數(shù)。由于矩陣乘法的結(jié)合律，故對于方陣A來說，A的方幕是有意義的，即Ak=A*AA共k個A相乘,從而有k l k+l( 1) AkAl =Ak+l(2)(Ak)l=

6、Akl( 3) I nA=AIn=A4、矩陣的轉(zhuǎn)置將矩陣A的行變成列，列變成行得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 AT或A注意A是m n矩陣，則A為n m矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置適合下列運算法則：(1) (AT)T=A(2) (A+B)T=AT+BT(3) (kA)T=kAT(4) (AB)T=BTAT5、方陣的逆矩陣設A, B為同階可逆矩陣。常數(shù)k豐0。則1.可逆，且2.AB 可逆，。 AA -1=A-1A=E3.也可逆，且-1 k k -1A-1）k=（Ak）-14.kA 也可逆，且 。（注： K 不能為 0）5.消去律 設P是與A, B同階的可逆矩陣，若 PA=PB則A=Bo若 a豐0, ab=ac

7、 貝U b=c。,并定6. 設A是n階可逆方陣。定義則有7. 設 A 是 n 階可逆方陣，則，其中 k，l 是任意整數(shù)。2.3.1 逆矩陣的定義定義設A是一個n階方陣。若存在一個n階方陣B使得則稱A是可逆矩陣，也稱非奇異陣。并稱若這樣的B不存在，則稱A不可逆。 定理2.3.1 可逆矩陣A的逆矩陣是惟一的。定理 2.3.2 n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是，且當時，o推論設A, B均為n階方陣，并且滿足 AB=E則A,B都可逆，且2.4.1 分塊矩陣的概念對于行數(shù)列數(shù)較高的矩陣 A,為運算方便，經(jīng)常采用分塊法處理。即可以用若干條橫線和豎線將其分成若干個小矩陣。 每個小矩陣稱為 A的子塊，以子

8、塊為元素的形式上的矩 陣稱為分塊矩陣。2.4.3 幾個特殊的分快矩陣的運算（1）準對角矩陣方陣的特殊分塊矩陣形如的分塊矩陣稱為分塊對角陣或準對角陣，其中，均為方陣。2）兩個準對角（分塊對角）矩陣的乘積均為可逆3）準對角矩陣的逆矩陣若陣?？赡妫?）準上（下）三角矩陣的行列式可以證明 （1） 用初等行變換方法求逆矩陣時，不能同時用初等列變換！（2）在求矩陣的秩時，可以只用初等行變換，但也允許用初等列變換，而且不必化成簡化 行階梯形矩陣定義 2.5.1 （線性方程組的初等變換） 稱下列三種變換為線性方程組的初等變換。（ 1）兩個方程互換位置； （2）用一個非零的數(shù)乘某一個方程；（ 3）把一個方程的

9、倍數(shù)加到另一個方程上。 顯然，線性方程組經(jīng)初等變換后所得的新方程組與原方程組同解。 事實上，上述解線性方程組的過程，只要對該方程組的增廣矩陣做相應的行變換即可。二、矩陣初等變換的定義定義 2.5.2 分別稱下列三種變換為矩陣的第一、第二、第三種行（列）初等變 （1）對調(diào)矩陣中任意兩行（列）的位置；（2）用一非零常數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（ 3）將矩陣的某一行（列）乘以數(shù)k 后加到另一行（列）上去。把行初等變換和列初等變換統(tǒng)稱為初等變換。定義如果一個矩陣 A經(jīng)過有限次的初等變換變成矩陣B,則稱A與B等價，記為AB。等價具有反身性 即對任意矩陣A,有A與A等價； 對稱性若A與B等價，則B與A等價

10、傳遞性 若A與B等價，B與C等價，則A與C等價。三、矩陣的行最簡形式和等價標準形簡單地說， 就是經(jīng)過行初等變換可以把矩陣化成階梯型， 進而化成行最簡形， 而經(jīng)過初 等變換（包括行和列的）可以把矩陣化成等價標準形。階梯形矩陣的定義：滿足（1）全零行（若有）都在矩陣非零行的下方；（2） 各非零行中從左邊數(shù)起的第一個非零元（稱為主元）的列指標j 隨著行 指標的增加而單調(diào)地嚴格增加的矩陣稱為階梯形矩陣。（每個階梯只有一行） 行最簡形式以稱滿足（ 1）它是階梯形； （ 2）各行的第一個非零元都是 1；（ 3）第一個非零元所 在列的其它元素均為零的矩陣為行最簡形式。若允許再作初等列變換可繼續(xù)得這最后的式子

11、就是 A的等價標準形。一般，任何一個矩陣的等價標準形都是分塊對角陣也可能為2.5.2 初等方陣定義 2.5.4 對單位陣施行一次初等變換所得到的矩陣稱為初等方陣。 以三階方陣為例第一種：第二種：第三種 :顯然，初等陣都是非奇異陣。2.5.3 用初等變換法求逆矩陣因為任意非奇異陣只經(jīng)行初等變換就可化成單位陣，即則。于是有求逆矩陣這表明，當對A作初等行變換將 A變成單位矩陣E時，若對單位矩陣做完全相同的初等變換則單位矩陣 E 將變成的初等變換法 :寫出分塊矩陣作初等行變換，A化成單位陣時， E 就化成為2.5.4 用初等變換法求解矩陣方程一元一次方程的標準形ax=b （a豐0）矩陣方程的三種標準形

12、AX=BXA=B(3) AXB=C則解法：對第一類作分塊矩陣對 A 作初等行變換，成 單 位 陣 時 ， 由 于 B 做 的 是 同 樣 的 初 等 行 變 換 ， 則 得 到A變的是對于第二類的可先轉(zhuǎn)化為第一類的即由進而求出 X按上例的方法求出. 初等變換的性質(zhì)定理 2.5.1 設線性方程組的增廣矩陣經(jīng)有限次的初等行變換化為為增廣矩陣的方程組同解。定理 2.5.2 任何矩陣都可以經(jīng)有限次初等行變換化成行最簡形式，經(jīng)有限次初等變換 （包括行及列） 化成等價標準形。 且其標準形由原矩陣惟一確定， 而與所做的初等變換無關(guān)。定理設A是一個mx n階的矩陣，貝U（1） 對A做一次初等行變換，就相當于用

13、一個與這個初等變換相應的m階初等矩陣左乘 A；（2） 對A做一次初等列變換，就相當于用一個與這個初等變換相應的n階初等矩陣右乘 A；推論 1 方陣經(jīng)初等變換其奇異性不變。定理對于任意的mx n階矩陣A,總存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣 Q使得推論 2 n 階可逆陣（非奇異陣）必等價于單位陣。 因為否貝，其等價標準形不可逆。定理2.5.5 n階方陣A可逆的充分必要條件是 A能表示成若干個初等陣的乘積。 證 充分性是顯然的。下面證必要性。已知 A 為 n 階可逆陣，貝 A 與等 價 ， 故 存 在有 限 個 n 階初 等 陣，亦即 A 能表示成有限個初等矩陣的乘積。必要性得證。推論3任意可逆陣A

14、 （非奇異陣）只經(jīng)過有限次的初等行 （列）變換就能化成單位陣。 對n階方陣A初等變換不改變其奇異性。定義261 矩陣A的最高階非零子式的階數(shù)稱為該矩陣的秩。記為r（ A），有時也記為 秩（ A）。事實上，如果 A有一個r階子式不等于零，而所有 r+1階子式都等于零，則 r（A）第三章 向量空間一、n維向量線性運算的定義和性質(zhì)定義 ：設是一組 n 維向量構(gòu)成的向量組。使得如果存在一組不全為零的數(shù)則 稱向 量 組線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無關(guān)。向量線性運算的性質(zhì)：向量的運算滿足卜列 8條運算律：設a,3, 丫都是n維向量，k， l 是數(shù)，則1)a + 3 =3+a；（加法交換律）2)(a +3)

15、+Y =a +(3 + Y）；（加法結(jié)合律）3)a +0=a；4)a +( -a)=05)1 Xa =a6)K(a +3)=ka +k3；（數(shù)乘分配律）7)(k+l )a=ka+l a；（數(shù)乘分配律）8)( kl )a=k(la)；(數(shù)乘向量結(jié)合律）二、n維向量組的線性相關(guān)性1. 向量組的線性相關(guān)性的定義和關(guān)于線性相關(guān)的幾個定理（1） m個n維向量條件是至少存在某個線性相關(guān)的充分必要是其余向量的線性組合.線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意 一個向量都不能表示為其余向量的線性組合 .線性無關(guān),而2) 如 果向 量組線性相關(guān)，則 3 可由線性表示 , 且表示法唯一 .（3）線性相關(guān)的向量組再增加向量

16、所得的新向量組必線性相關(guān) . （部分相關(guān)，則整體 相關(guān)；或整體無關(guān)，則部分無關(guān)）線性無關(guān), 則接長向量（ 4） 若向量組組必線性無關(guān)2. 判斷向量組的線性相關(guān)性的方法(1) 一個向量a線性相關(guān)2)含有零向量的向量組必線性相關(guān)；(3)向量個數(shù)=向量維數(shù)時，n維向量組線性相關(guān)4）向量個數(shù) 向量維數(shù)時 , 向量組必線性相關(guān)；5）若向量組的一個部分組線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)；6）若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；向量組的秩=所（7）向量組線性無關(guān)含向量的個數(shù) ，向量組線性相關(guān)向量組的秩 所含向量的個數(shù)；（ 8）向量組必要條件是齊次方程組線性相關(guān)（無關(guān)）的充分有(沒有)非零解 .向量組的秩

17、個向量組a 1 ,a 2，a m的部分組a i1 , a i2，a ir滿足如下條件：(1) a ii , a i2，a ir線性無關(guān)(2) 該向量組任意一個向量添加到這個部分組后得到的向量組線性相關(guān)則稱a ii , a i2，a ir為向量組a i ,a 2,a m的極大線性無關(guān)部分組。性質(zhì)：(1) 一個向量組的任意向量可由極大無關(guān)組線性表示且表示式系數(shù)唯一；(2) 一個向量組的兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等。一個向量組a 1, a 2,a m的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩，記作 r (a 1 ,a 2,_a m)。一個nrK n矩陣A,其行向量組的秩稱為矩陣 A的行秩；列向量組的秩

18、稱為矩陣 A的列秩。 性質(zhì)：(1) 一個mK n矩陣A的行秩等于列秩等于矩陣A的秩。(2) 對mx n矩陣進行初等變換不改變列向量之間的線性關(guān)系，進行初等列變換不改變 行向量之間的線性關(guān)系, 因此可以用初等行變換求一組列向量的極大無關(guān)組并將其余向量用 極大無關(guān)組線性表示。三、向量組的極大無關(guān)組及秩1. 極大無關(guān)組的定義2. 向量組的秩 求向量組的秩和極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的 的方法四、子空間的定義,基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標341向量空間的概念定 義 3.4.1 n 維實向 量的 全體構(gòu)成的 集合稱 為實 n 維向 量 空間 , 記 作的一個非空子集，定義 3.4.2 設 V 是滿足1）若1）若則