三角恒等變換知識點例題練習

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎梳理1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.3有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tan ±tan tan(±)(1t

2、an_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.4函數(shù)f()acos bsin (a，b為常數(shù))，可以化為f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一確定兩個技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；.(2)化簡技巧：切化弦、“1”的代換等三個變化(1)變角：目的是溝通題設條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個

3、期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等雙基自測1(人教A版教材習題改編)下列各式的值為的是()A2cos2 1 B12sin275°C. Dsin 15°cos 15°2(2011·福建)若tan 3，則的值等于()3已知sin ，則cos(2)等于()4(2011·遼寧)設sin，則sin 2()5tan 20°tan 40°tan 20° tan 40°_.考向一三角函數(shù)式的化簡【例1】化簡.審題視點 切化弦，合理使用倍角公式 三角函數(shù)

4、式的化簡要遵循“三看”原則：(1)一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向【訓練1】 化簡：.考向二三角函數(shù)式的求值【例2】已知0，且cos，sin，求cos()的值 三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：(1)已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差(2)已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補”關(guān)系【訓練2】 已知，sin ，tan()，求cos 的值考向三三角函數(shù)的求角問題【例3】已知cos ，cos

5、()，且0，求. 通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好【訓練3】 已知，且tan ，tan 是方程x23x40的兩個根，求的值考向四三角函數(shù)的綜合應用【例4】(2010·北京)已知函數(shù)f(x)2cos 2xsin2x.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值 高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查還往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中需要利用這些公式，先把函數(shù)解析式化為yAsin(x)的形式

6、，再進一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)【訓練4】 已知函數(shù)f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值三角函數(shù)求值、求角問題策略面對有關(guān)三角函數(shù)的求值、化簡和證明，許多考生一籌莫展，而三角恒等變換更是三角函數(shù)的求值、求角問題中的難點和重點，其難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式，其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、求角方法一、給值求值一般是給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討

7、論【示例】 (2011·江蘇)已知tan 2，則的值為_二、給值求角“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角【示例】 (2011·南昌月考)已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值三角恒等變換與向量的綜合問題兩角和與差的正弦、余弦、正切公式作為解題工具，是每年高考的必考內(nèi)容，常在選擇題中以條件求值的形式考查近幾年該部分內(nèi)容與向量的綜合問題常出現(xiàn)在解答題中，并且成為高考的一個新考查方向【示例】 (2011·溫州一模)已知向量a(sin ，2)與b(1，cos )互相垂直，其

8、中.(1)求sin 和cos 的值；(2)若5cos()3cos ，0，求cos 的值 【課后訓練】A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2012·江西)若tan 4，則sin 2等于()A. B. C. D.2 (2012·大綱全國)已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2等于()A B C. D.3 已知，都是銳角，若sin ，sin ， 則等于()A. B.C.和 D和4 (2011·福建)若，且sin2cos 2，則tan 的值等于()A. B.C. D.二、填空題(每小題5分，共15分)5 cos

9、275°cos215°cos 75°cos 15°的值等于_6. _.7sin ，cos ，其中，則_.三、解答題(共22分)8 (10分)已知2tan ，試確定使等式成立的的取值集合9 (12分)已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值××.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2012·山東)若，sin 2，則sin 等于()A. B.C. D.2 已知tan()，tan，那么tan等于()A. B.C. D.3 當x時，函數(shù)f(x)sin xcos x的()A最大值是1，最小值是1B最大值是1，最小值是C最大值是2，最小值是2D最大值是2，最小值是1二、填空題