帶有一類Slip型邊界條件的旋度型Navier-Stokes方程

1、帶有一類Slip型邊界條件的旋度型Navier-Stokes方程張 輝 （廣東外語外貿(mào)大學(xué)南國商學(xué)院，廣州 510545）摘要：本文利用Hodge分解理論和Galerkin方法，對(duì)帶有一類Slip型邊界條件的旋度型Navier-Stokes方程進(jìn)行研究，獲得了弱解的局部存在性，唯一性。關(guān)鍵詞：Navier-Stokes方程；弱解 On the Navier-Stokes equation of vorticity type with a slip boundary condition Zhang Hui ( Nanguo Business College,GuangDong Universit

2、y of Foreign Studies，GuangZhou 510545)Abstract:In this paper,we study the Navier-Stokes equation of vorticity type in a bounded domain of with a slip boundary condition by Galerkin method an Hodge Edcomposition theory.We obtain the local existence ,uniqueness for arbitrary intial data.Keywords:Navie

3、r-Stokes equation;weak solution 假設(shè)是單連通的有界區(qū)域，邊界足夠光滑，滿足同調(diào)群，考慮如下方程 （）滿足Slip型邊界條件： ， on （）在本文中，我們主要研究了方程弱解的存在性和唯一性。獲得了如下的結(jié)果：定理1.設(shè)，存在使得方程（）存在唯一的弱解且滿足如下的條件 ，則存在，方程（）存在唯一的強(qiáng)解，且滿足如下條件： 我們定義 ， 由Hodge分解理論（參見【6】）知又因?yàn)椋詾榭占?，故是以下四個(gè)相互正交的子空間的直和. ；其中 ； ； ；其中表示的第個(gè)分量.Hilbert空間中的兩個(gè)閉子空間. 其中和分別代表速度場在邊界的相應(yīng)法向量和切向量，他們在跡意義下是

4、有意義的.，則我們有 成立.(參見文獻(xiàn)【1】)，則有證明：我們通過計(jì)算來證明這個(gè)結(jié)論： 由邊界條件知 即 故結(jié)論成立.，則對(duì)任意的有如下式子成立： ，其中表示中的內(nèi)積. 注：本文中的粘性系數(shù)為了方便我們用表示中的范數(shù)，表示中的范數(shù).定理2.1.算子：是雙射有界，且它的逆算子在中是正定對(duì)稱的緊算子.(參見文獻(xiàn)【1】)由Hilbert-Schmidt定理知道，存在一組特征值： 相應(yīng)的特征向量函數(shù)，并且組成的一組正交基.下面我們將利用Galkerkin方法對(duì)旋度型Navier-Stokes方程做一些先驗(yàn)估計(jì).我們假設(shè)我們考慮如下的常微分方程組： 其中特征值與特征向量是上面所提到的，顯然是Lipshi

5、tz的，上面的方程組有解，它等價(jià)于下面的偏微分方程 （2.1） （2.2）其中，表示到的投影算子，我們令，下面我們對(duì)做一些先驗(yàn)估計(jì).對(duì)方程（）兩邊同時(shí)對(duì)做內(nèi)積，則可以獲得如下的積分方程： 通過計(jì)算有 由引理（），我們有如下的不等式成立： 利用下面兩個(gè)結(jié)果 （2.3） （2.4） 我可以得到： ，進(jìn)一步計(jì)算可以得到 （2.5）獲得了如下的估計(jì)式： 由Grownall不等式可以得到如下的關(guān)系式： （2.6）下面我們證明存在，使得，其中，我們令 ，若，由上面的表述有： ， 在上面的式子（2.6）中取，則我們可以得到 于是我們有下面的估計(jì) （2.7）對(duì)方程（2.5）兩邊從上積分，我們有： 進(jìn)一步得到

6、（2.8）我們對(duì)方程（）的弱解定義如下：若，其中稱為方程的弱解，如果它滿足：（1） （3.1），有如下的關(guān)系式成立： ， ， （3.2） 注：我們假設(shè)表示它的對(duì)偶空間.定理的證明如下：證明：，取，由前面我們得到的估計(jì)式（2.7），（2.8）知 在中有界 在中有界由Hilbert空間中有界集的弱致密性知存在，使得中有子列不妨仍記為滿足 下面我們來說明滿足（3.2）.對(duì)于，我們有 上面的式子表明 而 表明 由知 對(duì)，我們有 ，令，則有， ，由在中的稠密性可知， ，下面我們來討論弱解的唯一性：若是方程的弱解，我們令，則滿足如下的關(guān)系： ，我們令，則得到如下的積分方程 通過計(jì)算可得 （3.3） （3.

7、4）把（3.4）代入（3.3），可以得到 由（2.3）（2.4）及引理（1.1）有 由Holder不等式知： 而 綜上，我們有如下結(jié)果：存在，使得有 由Gronwall不等式和，我們可以推導(dǎo)，即.進(jìn)一步的討論，我們可以得到定理2.參考文獻(xiàn)【1】 Yuelong Xiao and Zhouping Xin, On the Vanishing viscosity limit for the 3D Navier-Stokes equations with a slip boundary condition,Comm.Pure Apple.Volume 60(2007).【2】 James P.kel

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