隨機(jī)過程5(22)

1、2. 與布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)的隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)的隨機(jī)過程過程過程1：d維布朗運(yùn)動(dòng)維布朗運(yùn)動(dòng)過程過程2：2( ,) 布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)2,=+( ),0,0tBtW ttR 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)均值函數(shù)均值函數(shù)2,( )=Bmtt 2,22( , )=+min( , )BRs tsts t 2( ,) 布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過程布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過程性質(zhì)性質(zhì)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的民用航空發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)時(shí)性能可帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的民用航空發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)時(shí)性能可靠性預(yù)測(cè)，航空動(dòng)力學(xué)報(bào)靠性預(yù)測(cè)，航空動(dòng)力學(xué)報(bào)2009，Vol.1,No.12.任淑紅任淑紅2( ,) 布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過程布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過程證明證明對(duì)任意自然數(shù)對(duì)任

2、意自然數(shù)2,n 不是一般性，取不是一般性，取n個(gè)不同個(gè)不同的時(shí)間指標(biāo)的時(shí)間指標(biāo)010= ,nttt定義增量定義增量22-1,=-,=1,kkkttBBkn 則則2-1-1 ( ( -),( -)kkkkkNt tt t221,1(,)=(,)nttnn nBB M過程過程3：布朗橋：布朗橋=( )-(1)0,1brtBW t tWt則稱則稱 =,0,1brbrtBBt為從為從0到到0的布朗橋的布朗橋均值函數(shù)均值函數(shù)( )= ( )-(1)=0,0,1brBmtE W t tWt 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)(s, )=mins,t-st,0,1brBRts t性質(zhì)，從性質(zhì)，從0到到0的布朗橋是高斯過程的布

3、朗橋是高斯過程例例 設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù),a bR定義從定義從a到到b的布朗橋的布朗橋：= +( - ) +0,1abbrttBab a t Bt證明證明 ：01(1)= ,=ababBaBb(2) 從從a到到b的布朗橋是高斯過程的布朗橋是高斯過程,且且( )= +( - )0,1abmtab a tt( , )= (-( )(-(t)=min , -0,1abababababstCs tE BmsBms t stt 布朗橋在研究經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)中起著非常重要的作用。設(shè)X1,X2, Xn, 獨(dú)立同分布，XnU(0,1) ，對(duì)0s0gettBBtR 均值函數(shù)均值函數(shù)相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)22,( )= exp()

4、=exp( +) ,02getBmtEBtt 22( - )( + )22(s, )=,0get st ssBRteees t股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的證明股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的證明謝惠揚(yáng)2,( )= exp()getBmtEB 2-+2-1=2xtxteedxt2-2-+2-1=2xt xtteedxt22( -)()-+22-1=2x ttttteeedxt2=exp( +) ,02tt +( )+(t)( + )+( )+( )(s, )=gesW stWs tW sW tBRtEeeEe( + )( )+( )=s tW sW teEe( + )( )+( )-( )+( )=s

5、tW sW t W sW seEe( + )2( )( )-( )=s tW sW t W seEeE22( - )( + )22=,0t st sseees t過程過程5：反射布朗運(yùn)動(dòng)：反射布朗運(yùn)動(dòng)=( )0retBW tt 均值函數(shù)均值函數(shù)2( )= ( ) =,0reBtmtE W tt ( )= ( ) reBmtE W t2-+2-1=2xtxedxt2+-202=(-)2xttet2=,0tt 過程過程6：奧恩斯坦：奧恩斯坦-烏倫貝克過程烏倫貝克過程-=( ( )00outtBeWtt），其中其中2201( )=(-1)2tsttedse均值函數(shù)均值函數(shù)-( )= ( ( ) =0

6、,0outBmtE e Wtt ）-( + )( , )=min (s), (t),0ous tBRs tes t相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)補(bǔ)充：補(bǔ)充：隨機(jī)變量序列或隨機(jī)過程隨機(jī)變量序列或隨機(jī)過程均方極限均方極限均方連續(xù)均方連續(xù)均方可導(dǎo)均方可導(dǎo)均方可積均方可積1均方極限的定義均方極限的定義定義定義設(shè)設(shè),1,2,nX XH n如果如果則稱則稱Xn,n=1,2,均方收斂于均方收斂于X,或稱或稱 X 為為Xn,n=1,2,的均方極限，記為的均方極限，記為.nnlimXX2lim0nnE XX2 均方連續(xù)均方連續(xù)設(shè)設(shè)X(t), tT T 是二階矩過程是二階矩過程, , t0T, 若若00. .( )( )ttl

7、 i m X tX t則稱則稱X(t), t T在在t0處均方連續(xù)處均方連續(xù) 若對(duì)任意的若對(duì)任意的tT, X(t), tT在在t處均方連續(xù)處均方連續(xù),則稱則稱 X(t), tT在在T上均方連續(xù)上均方連續(xù). 或稱或稱 X(t), tT是是均方連續(xù)均方連續(xù)的的.1. 均方連續(xù)定義均方連續(xù)定義3 均方導(dǎo)數(shù)均方導(dǎo)數(shù)1. 均方導(dǎo)數(shù)的均方導(dǎo)數(shù)的定義定義 設(shè)設(shè)( ),X t tT是二階矩過程是二階矩過程，0,tT若均方若均方極限極限000()(). .tX ttX tl i mt 存在存在,則稱此則稱此極限為極限為( ),X t tT在在t0點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù).0( )X t或或0( ).t tdX

8、tdt這時(shí)稱這時(shí)稱( ),X t tT在在t0處均處均方可導(dǎo)方可導(dǎo)記為記為 4 均方積分均方積分1. 均方積分的定義均方積分的定義設(shè)設(shè)X(t),ta,b是二階矩過程，是二階矩過程，f(t,u)是是a,b U上的普通函數(shù)，對(duì)區(qū)間上的普通函數(shù)，對(duì)區(qū)間a,b 任一劃分任一劃分01natttb1,1,2, )kkktttkn（記1,1,2,kkkttntk任?。ǎ┳骱褪?( , )( ),kknkkttfu XtH如果以下均方極限存在如果以下均方極限存在01. .( , )( )nkkkkl i mf t u X tt1maxkk nt 令該均方極限值該均方極限值Y(u)稱為稱為 ( , )( ),

9、, f t u X t ta b在在a,b上的上的均方積分均方積分.kt且此極限不且此極限不依懶于對(duì)依懶于對(duì)a,b的分法及的分法及的取法的取法,則稱則稱 ( , )( ), , f t u X t ta b在在a,b上上均方可積均方可積. ( , )( ),baf t u X t dt記為記為即即 ( , )( ),( )baf t u X t dtuYUu 結(jié)論結(jié)論 設(shè)二階矩過程設(shè)二階矩過程X(t),tT均方可導(dǎo)均方可導(dǎo).則則(1)導(dǎo)數(shù)過程導(dǎo)數(shù)過程的均值函數(shù)等于原過程的均值函數(shù)等于原過程( ),X t tT均值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即均值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即( )( ),;XXmtmt tT( ),X t

10、tT(2) 導(dǎo)數(shù)過程導(dǎo)數(shù)過程( ),X t tT和原過程和原過程 ( ),X t tT的的互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)( , )XXRs t等于原過程等于原過程 ( ),X t tT的的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)( , )XR s t關(guān)于關(guān)于s的偏導(dǎo)數(shù)，即的偏導(dǎo)數(shù)，即( , )( , ), ,;XXXRs tR s t s tTs( , )( , ), ,;XXXRs tRs t s tTt(3)原過程原過程( ),X t tT( ),X t tT和導(dǎo)數(shù)過程和導(dǎo)數(shù)過程的的互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)( , )XXRs t等于原過程等于原過程( ),X t tT的的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)( , )XRs t關(guān)于關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)，

11、即的偏導(dǎo)數(shù)，即的的的的(4) 導(dǎo)數(shù)過程導(dǎo)數(shù)過程( ),X t tT相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)( , )XRs t等于原過程等于原過程( ),X t tT相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)( , )XRs t的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，即的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，即22( , )( , )( , ), ,.XXXRs tRs tRs t s tTs tt s 是參數(shù)為是參數(shù)為定義定義 設(shè)設(shè)( ),0W t t 2的的Wiener過程過程.如果存在實(shí)隨機(jī)過程以如果存在實(shí)隨機(jī)過程以2()st 為其相關(guān)函數(shù)，為其相關(guān)函數(shù)，則稱該過程為則稱該過程為Wiener 過程過程( ),0W t t 的導(dǎo)數(shù)過的導(dǎo)數(shù)過程記為程記為( ),0.W t t從而從而

12、2( , )(), ,0.WRs tst s t 稱稱參數(shù)為參數(shù)為2的的Wiener過程過程( ),0W t t 的導(dǎo)數(shù)過的導(dǎo)數(shù)過程程( ),0W t t為參數(shù)為為參數(shù)為2的的白噪聲過程白噪聲過程或或白噪聲白噪聲.七七.布朗運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)過程布朗運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)過程tststsRsW, 0,),(2因?yàn)閠ststsu, 0, 1)(令：)(),(2tsutsRsW則有()()stDriu stcat再引進(jìn)函數(shù)：)(),(22tstsRstW于是有)(),(22tstsRtsW同理八八.布朗運(yùn)動(dòng)的積分過程布朗運(yùn)動(dòng)的積分過程0( )( ),( ).tS tW u duS t令稱為積分布朗運(yùn)動(dòng)積分布朗運(yùn)動(dòng)是正態(tài)過程積分布朗運(yùn)動(dòng)是正態(tài)過程( )0E s 20( , )()23SstssCs tt當(dāng)九：在某點(diǎn)被吸收的布朗運(yùn)動(dòng)九：在某點(diǎn)被吸收的布朗運(yùn)動(dòng)( )0.( ),( ), ( ),0.( )xxxTW txxW t tTZ txtTZ t txxZ t設(shè)為布朗運(yùn)動(dòng)首次擊中 的時(shí)刻，令則是擊中 后被吸收停留在 狀態(tài)的布朗運(yùn)動(dòng)是混合型隨機(jī)變量.本章作業(yè)本章作業(yè) 1. 2. 3