二重積分的計算方法

1、.第二節(jié)二重積分的計算法教學(xué)目的：熟練掌握二重積分的計算方法教學(xué)重點：利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計算二重積分教學(xué)難點：化二重積分為二次積分的定限問題教學(xué)容：利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的 , 二重積分的計算是通過兩個定積分的計算 ( 即二次積分 ) 來實現(xiàn)的 .一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分我們用幾何觀點來討論二重積分f ( x, y) d的計算問題 .討論中 , 我們假定 f (x, y)D0 ；假定積分區(qū)域 D 可用不等式 ax b 1 (x) y2( x) 表示 ,其中1 ( x) ,2( x) 在 a,b 上連續(xù) .據(jù)二重積分的幾何意義可知 ,f ( x, y )d的值等于以D

2、為底 , 以曲面Dz f ( x, y) 為頂?shù)那斨w 的體積 .c.在區(qū)間 a,b 上任意取定一個點 x0, 作平行于 yoz面的平面 x x0, 這平面 截 曲 頂 柱 體 所 得 截 面 是 一 個 以 區(qū) 間 1( x0 ), 2 (x0 ) 為 底 ,曲 線z f ( x0, y) 為曲邊的曲邊梯形 , 其面積為2 ( x 0 )A ( x 0 )f ( x 0 , y ) dy1 ( x 0 )一般地 , 過區(qū)間 a, b 上任一點 x 且平行于 yoz 面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為A( x )2 ( x )f ( x, y)dy1( x )利用計算平行截面面積為已知的立體

3、之體積的方法, 該曲頂柱體的體積為Vbb2 ( x )A( x)dxaf (x, y)dy dxa1( x )從而有b2 (x)f (x, y)df (x, y)dy dx(1)Da1( x)上述積分叫做 先對 Y, 后對 X 的二次積分 , 即先把y 的函數(shù) , 對 f ( x, y ) 計算從 1 (x) 到 2 ( x) 的定積分 x 的函數(shù) ) 再對 x 從 a 到 b計算定積分 .這個先對 y , 后對 x 的二次積分也常記作x 看作常數(shù) , f ( x, y) 只看作, 然后把所得的結(jié)果 ( 它是.c.b2 ( x )f ( x, y )ddxf ( x, y)dyDa1( x )

4、在上述討論中 , 假定了 f ( x, y) 0 ，利用二重積分的幾何意義 , 導(dǎo)出了二重積分的計算公式 (1). 但實際上 , 公式 (1) 并不受此條件限制 , 對一般的 f ( x, y) ( 在 D 上連續(xù) ), 公式 (1) 總是成立的 .例如: 計算 I(1x 2 ) dD( x , y ) | 1x 1 , 0 y2 D2121解 : Idx(1 x2 )dy(1x2 )ydx101011x2 )dx2 x382(12x1313類似地 , 如果積分區(qū)域 D 可以用下述不等式c y d , 1( y)x2( y)表示 , 且函數(shù)1( y) ,2( y) 在 c , d 上連續(xù) ,f

5、 ( x, y) 在 D 上連續(xù) , 則d2 ( y )d2 ( y )(2)f ( x, y ) df ( x, y )dx dydyf ( x, y )dxDc1( y )c1 ( y )顯然 ,(2) 式是先對 x , 后對 y 的二次積分 .二重積分化二次積分時應(yīng)注意的問題1、積分區(qū)域的形狀前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個共同點:對于 I 型( 或 II 型 ) 區(qū)域 , 用平行于 y 軸( x軸 ) 的直線穿過區(qū)域部 , 直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點 .如果積分區(qū)域不滿足這一條件時 , 可對區(qū)域進(jìn)行剖分 , 化歸為 I 型 ( 或 II 型)區(qū)域的并集 .2、積分限的確定.c.

6、二重積分化二次積分,確定兩個定積分的限是關(guān)鍵. 這里 , 我們介紹配置二次積分限的方法- 幾何法 . 畫出積分區(qū)域 D 的圖形 ( 假設(shè)的圖形如下 )在 a, b 上任取一點 x , 過 x 作平行于 y 軸的直線 , 該直線穿過區(qū)域 D , 與區(qū)域 D 的邊界有兩個交點 ( x, 1 ( x) 與 ( x, 2 ( x) , 這里的 1 (x) 、 2 ( x) 就是將 x , 看作常數(shù)而對 y 積分時的下限和上限；又因 x 是在區(qū)間 a , b 上任意取的 , 所以再將 x 看作變量而對 x積分時 , 積分的下限為 a 、上限為 b .例1計算xyd,其中D是由x軸, y軸和拋物線y 1

7、x2在第一象限3 22D所圍成的區(qū)域 .類似地, D: 0y1, 0 x 1 y3x2 y2d1dy1 y3x2 y2dxD0011 y13x3 y2dy(1 y )2 y2dy000.c.令y22 cos4 t sin5 t dt 2( 4 1)!( 51)!16sin 2 t09!315例 2計算 xyd, 其中 D 是由拋物線 y 2x 及直線 yx2 所圍成的區(qū)D域 .D : 1 y 2 , y 2x y 22y2212y 2xyddyxydxxydy1 2D1y2y 2122)25dy452y( yy81例 3 求由曲面 zx22 y2 及 z62x2y2 所圍成的立體的體積 .解

8、: 1 、作出該立體的簡圖 ,并確定它在 xoy 面上的投影區(qū)域消去變量 z 得一垂直于 xoy 面的柱面 x2 y2 2 , 立體鑲嵌在其中 , 立體在 xoy 面的投影區(qū)域就是該柱面在 xoy 面上所圍成的區(qū)域.c.D: x2y222、列出體積計算的表達(dá)式V (6 2x2y2 ) (x22 y2 ) d( 6 3x 23 y 3 ) dDD3、配置積分限 ,化二重積分為二次積分并作定積分計算V6d3x 2 d3y 2 dDDD而d2Dx2dy2d由 x ,y 的對稱性有DDx2d22x22x2dxdy 2 x2 2 x2 dxD22x222x2 dx2cos24 x2 24 4sin200

9、16(21)!( 21)!(22)!216 1 14 2 2所求立體的體積為V1266二、利用極坐標(biāo)計算二重積分1、變換公式按照二重積分的定義有.c.nf ( x, y)dlimf ( i , i ) iD0 i1現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式 .用以極點 0為中心的一族同心圓r常數(shù) 以及從極點出發(fā)的一族射線常數(shù) , 將 D 剖分成個小閉區(qū)域 .除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外,小閉區(qū)域i 的面積可如下計算i1 (riri )2i1 ri2i1 ( 2riri ) rii222ri( riri )riir irii2其中 , r i 表示相鄰兩圓弧半徑的平均值 .( 數(shù)學(xué)上可以證明 :包含邊

10、界點的那些小閉區(qū)域所對應(yīng)項之和的極限為零,因此 ,這樣的一些小區(qū)域可以略去不計 )在小區(qū)域i上取點 ( r i ,i) ,設(shè)該點直角坐標(biāo)為 (i ,i ) , 據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系有于是ir icosi ,ir i sin ilimnf (i ,)limnf ( r i cosi , r i sini )r i ri i1ii0 i10 i即f ( x, y)df (r cos,r sin )rdrdDD由于f ( x, y)d也常記作f ( x, y)dxdy,因此 , 上述變換公式也可以寫DD成更富有啟發(fā)性的形式Df ( x, y)dxdyDf (r cos ,r sin )rdrd(

11、1).c.(1) 式稱之 為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式, 其中 , rdrd 就是極坐標(biāo)中的 面積元素 .(1) 式的記憶方法 :f ( x, y )dxdyDxr cosy r sindxdy rdrdf (r cos ,r sin) rdrdD2、極坐標(biāo)下的二重積分計算法極坐標(biāo)系中的二重積分 ,同樣可以化歸為二次積分來計算 .【情形一 】積分區(qū)域 D 可表示成下述形式其中函數(shù)( ),1()r2( )2( ) 在,上連續(xù).1則f (r cos ,r sin )rdrd2 ( )df (r cos , r sin )rdrD1 ( )【情形二 】積分區(qū)域 D 為下述形式顯

12、然 , 這只是情形一的特殊形式() 0(即極點在積分區(qū)域的邊界上 ).1故f ( r cos(), r sin ) rdrddf ( r cos , r sin )rdrDD 為下述形式0【情形三】積分區(qū)域顯然 , 這類區(qū)域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分區(qū)域D 的部 ), D 可.c.剖分成D 與D ,而12D1: 0, 0 r() D2:2 , 0 r( )故 D:02, 0r( )2()則f ( r cos , r sin )rdrddf ( r cos , r sin)rdrD00由上面的討論不難發(fā)現(xiàn) ,將二重積分化為極坐標(biāo)形式進(jìn)行計算,其關(guān)鍵之處在于 : 將積分區(qū)域 D 用極坐

13、標(biāo)變量 r ,表示成如下形式,1( )r2 ()下面通過例子來介紹如何將區(qū)域用極坐標(biāo)變量來表示 .例 4 將下列區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示1、 D : x2y22 y1R2x22、 D2 : R x R , R y RD3 : x y1先畫出區(qū)域的簡圖 ,據(jù)圖確定極角的最大變化圍 , ；再過 , 任一點作射線穿過區(qū)域 ,與區(qū)域的邊界有兩交點 , 將它們用極坐標(biāo)表示 , 這樣就得到了極徑的變化圍 1(), 2( ).c.c.注 :本題不能利用直角坐標(biāo)下二重積分計算法來求其精確值 .利用此題結(jié)果可求出 著名概率積分 Ie x2dx .0而被積函數(shù)滿足 ex2 y20 , 從而以下不等式e x2 y2dx

14、dye x2y2dxdye x2 y 2dxdyD1SD2成立，再利用例二的結(jié)果有eD1x2y2dxdy(1 e R2) ,422e xyD2dxdy (1 e 2R2) ,4RRRRe x2 y2dxdydx e x2y 2dye x2dx e y2dyS0000RRRRR2e x 2 dxe y 2 dye x 2 dxe x2 dxe x2 dx00000于是不等式可改寫成下述形式.c.R2R222R(1e R )e x dx(1e 2R)44044e x22故當(dāng) R時有dx,04即 Ie x 2dx.023、使用極坐標(biāo)變換計算二重積分的原則(1) 、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示 ( 含圓弧 , 直線段 ) ；(2) 、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡單 (含 ( x2y2 ) ,為實數(shù) ).aa a 2x 2dy例6計算Idx( a0 )x2y24a2( x2y2 )0x解此積分區(qū)域為D : 0 x a , x yaa2x2區(qū)域的簡圖為該區(qū)域在極坐標(biāo)下的表示形式為D :40, 0 r2a sinrdrd02a sindr0Idarcsinr2a sindD r 4a2r 204a2