第十五章極值和條件極值

1、第十五章 極值和條件極值 (一) 教學(xué)目的： 1）理解極值與條件極值的概念；2）掌握最小二乘法。 (二) 教學(xué)重點(diǎn)：1）條件極值的必要條件；2）條件極值的求法.（三）教學(xué)難點(diǎn)1）最小二乘法；2）多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。§15. 1極值和最小二乘法一 極值 定義1：設(shè)在的鄰域內(nèi)成立不等式則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大點(diǎn)，若在的鄰域內(nèi)成立不等式則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定義2： 設(shè)是內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，是的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，如果，則稱是的一個(gè)駐點(diǎn)。根據(jù)費(fèi)瑪定理，可知定理1：二元函數(shù)的極值點(diǎn)必為的點(diǎn)或至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不

2、存在的點(diǎn)。注：定理1的條件是必要條件，而不是充分條件。例1：在點(diǎn)。例2：在點(diǎn)。怎樣進(jìn)一步判斷是否有極值？定理2： 設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有各個(gè)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且點(diǎn)是的一個(gè)駐點(diǎn)，則：（1）若，則在點(diǎn)有極小值；（2）若，則在點(diǎn)有極大值；（3）若，則在點(diǎn)沒有極值；（4）若，則須進(jìn)一步判斷。例3：求 的極值。例4：求的極值。多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴} 設(shè)函數(shù)在某一有界閉區(qū)域中連續(xù)且可導(dǎo)，必在上達(dá)到最大（?。┲?。若這樣的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)部，則在這點(diǎn)顯然函數(shù)有極大（?。┲?。因此，在這種情形函數(shù)取到最大（?。┲档狞c(diǎn)必是極值點(diǎn)之一。然而函數(shù)的最大（?。┲底羁赡茉趨^(qū)域的邊界上達(dá)到。因此，為找出函數(shù)在區(qū)域上的最大（小）值，必須找出一切有極值的內(nèi)點(diǎn)，算出這些點(diǎn)的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大（?。┲怠Ｍǔ？筛鶕?jù)問題的實(shí)際意義來(lái)判斷。例5：有一塊寬24cm的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來(lái)，做成一個(gè)梯形水槽，問和各自為何值時(shí)，水槽的流量是最大？例6：試在軸，軸與直線圍成的三角形區(qū)域上求函數(shù)的最大值。二 最小二乘法例7：已知，服從線性關(guān)系：?jiǎn)枺喝绾胃鶕?jù)這組數(shù)據(jù)來(lái)合理地確定系數(shù)和？解：總偏差為，確定系數(shù)，使總偏差最小。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。令即可解得。 幾個(gè)疑問：1）如果怎么辦？2）這樣求出的 就是達(dá)到極小值的點(diǎn)？3）在選取 時(shí)，為什么不取各個(gè)偏差