希爾伯特的數(shù)學(xué)生涯

1、 希爾伯特的數(shù)學(xué)生涯 崇高的人格與光輝的數(shù)學(xué)成就希爾伯特的數(shù)學(xué)生涯摘要：本文敘述了希爾伯特的生平，列舉并論述了他的數(shù)學(xué)研究成果，探討希爾伯特對(duì)后世數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大影響。關(guān)鍵詞：幾何基礎(chǔ) 公理化 哥廷根 “23個(gè)數(shù)學(xué)問題”前 言  作為一個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖，德國人民偉大的兒子，當(dāng)大衛(wèi)·希爾伯特1943年在哥廷根與世長辭時(shí)，人們開始回顧他所留下的精神印記和正在消失在地平線下的那個(gè)數(shù)學(xué)時(shí)代，似乎感到希爾伯特的時(shí)代比起以往和以后貫穿著更完美的平衡精通單個(gè)具體問題和形成一般抽象概念之間的平衡。  我們稱之為希爾伯特的時(shí)代，正因?yàn)槭撬柌?，通過自己的工作做出了巨大的貢獻(xiàn)，

2、開創(chuàng)了二十世紀(jì)初那個(gè)數(shù)學(xué)大發(fā)展的時(shí)代。而后繼者們所走的道路，也幾乎都可以追溯到他的推動(dòng)。希爾伯特是推動(dòng)著一個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)的人，“在以后的時(shí)代里我們還沒有找到可以達(dá)到與他相比的崇高形象”（赫爾曼·外爾語）。 大衛(wèi)·希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是巨大的和多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式，代數(shù)數(shù)域，幾何基礎(chǔ)，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。當(dāng)然，他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域所做出的最具影響的貢獻(xiàn)還是著名的幾何基礎(chǔ)和“23個(gè)數(shù)學(xué)問題”，它們貫穿整個(gè)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)乃至現(xiàn)在，影響之深遠(yuǎn)是我們所無法估量的。  另一方面，希爾伯特的崇高人格更加為人稱道的。許多在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了相當(dāng)大作用的

3、年輕數(shù)學(xué)家，都曾在1900至1914年間僑居哥廷根，師從希爾伯特。而他的問題、觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)研究方法的影響更遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過直接受他教導(dǎo)所鼓舞的那些人的范圍。希爾波特的政治人格同樣崇高，是“獨(dú)一無二地沒有國家和種族偏見的人”，他反對(duì)沙文主義，并且主張“科學(xué)無國界”，在政治上始終站在自由和民主的一方。我們研究希爾伯特的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就，以及產(chǎn)生這種成就的源泉，一、 生平與為人  1861年春的一天，奧托·希爾伯特和他夫人瑪麗亞的遺傳基因偶然地結(jié)合，孕育了一個(gè)非同尋常的天才人物；1862年1月23日下午一點(diǎn)鐘，他們的第一個(gè)孩子降生在靠近東普魯士首府哥尼斯堡的韋洛。父母給他起了個(gè)名字叫大衛(wèi)

4、。希爾伯特和德國的國家主義幾乎同時(shí)誕生。他來到人世前的幾個(gè)月，已故普魯士國王的兄弟到哥尼斯堡進(jìn)行了一次傳統(tǒng)的朝拜。在那座古老的城堡里，他帶上了王冠。東普魯士首都建于公元13世紀(jì)中葉，是條頓族騎士修筑的城堡。市內(nèi)有七座各具特色的大橋，橫跨普累格爾河。其中有五座把河岸同河中的克親芳福島相連接。這些橋可不簡單，哥尼斯堡因此而載入了數(shù)學(xué)史：橋的配置能引出一個(gè)數(shù)學(xué)問題，牽涉著名的拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)，之前的一個(gè)世紀(jì)被歐拉(Euler)所解決。哥尼斯堡大教堂在克余芳福島，近旁是一所古老的大學(xué)，還有哥尼斯堡最偉大的居民伊曼努爾·康德(1mmanud Kant)的墓地。像哥尼斯堡所有的孩子一樣，大衛(wèi)的成長也深

5、受康德言論的撫育。  1880年秋天，18歲的希爾伯特進(jìn)人家鄉(xiāng)的哥尼斯堡大學(xué)，他不顧當(dāng)法官的父親希望他子承父業(yè)的愿望，毫不猶豫地進(jìn)了哲學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（當(dāng)時(shí)的大學(xué)，數(shù)學(xué)還設(shè)在哲學(xué)系內(nèi)）希爾伯特發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)的大學(xué)生活要多自由有多自由意想不到的自由，使許多年輕人把大學(xué)第一年的寶貴時(shí)光都花費(fèi)在學(xué)生互助會(huì)的傳統(tǒng)活動(dòng)飲酒和斗劍上。然而對(duì)希爾伯特來說，大學(xué)生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數(shù)學(xué)了  許多德國學(xué)生有從一個(gè)大學(xué)到另一個(gè)大學(xué)周游的習(xí)慣，希爾伯特卻不同，一直在家鄉(xiāng)求學(xué)，正是在嘉興的大學(xué)里，他攀上了學(xué)術(shù)界的最初幾級(jí)臺(tái)階，成為大學(xué)講師，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候升為副教授。1895年在

6、費(fèi)力克斯·克萊因的建議下，被授予哥廷根的正教授的職位，這是他的一流代數(shù)家的聲譽(yù)已經(jīng)建立起來了。而哥廷根由于有希爾伯特和稍后閔可夫斯基的加盟，一下子成為了世界數(shù)學(xué)的中心。從這時(shí)一直到去世，希爾伯特一直在哥廷根直至1930年退休。 希爾伯特與三個(gè)人的關(guān)系很值得關(guān)注。  一是他與克羅內(nèi)克不免充滿矛盾的態(tài)度。希爾伯特是康托爾的一般集合論的早期一個(gè)少數(shù)的擁護(hù)者之一。而克羅內(nèi)克正是康托爾的死敵。在希爾伯特看來，克羅內(nèi)克的數(shù)學(xué)就是普洛克魯斯的梯床，這位老數(shù)學(xué)家利用自己的權(quán)勢(shì)和聲望，壓制那些不符合自己數(shù)學(xué)思想的其它聲音?？肆_內(nèi)克堅(jiān)持定理的證明必須通過整數(shù)明顯構(gòu)造出來。然而另一方面。他又依賴

7、克羅內(nèi)克，因?yàn)樵谙柌氐拇鷶?shù)時(shí)期，克羅內(nèi)克的工作的重要性是毋庸諱言的。晚年的希爾伯特在這一方面的矛盾其實(shí)更加尖銳，與布勞維爾的直覺主義的論戰(zhàn)，其實(shí)是在與克羅內(nèi)克的鬼魂的論戰(zhàn)。希爾伯特一方面同克羅內(nèi)克斗爭(zhēng)事實(shí)上又在另一方面追隨他：他須沿著嚴(yán)格的直覺主義的路線來思考，以求保護(hù)非直覺主義的數(shù)學(xué)。  另兩位是阿道爾·胡爾維茨和閔可夫斯基，前者是希爾伯特的老師、朋友和前任，后者則在青年時(shí)就成為希爾伯特?fù)从巡⑶页蔀橄柌厍鞍肷钪覍?shí)的數(shù)學(xué)伙伴。1902年希爾伯特和閔可夫斯基在哥廷根重新聚首，這之后的十年，直至閔可夫斯基逝世，數(shù)學(xué)領(lǐng)域因二人的共同工作經(jīng)歷了一段偉大而光輝的時(shí)期。希爾伯

8、特后來這樣談到他的朋友和他們共同工作的這段時(shí)期：“我們的科學(xué)，我們愛它超過一切，它把我們聯(lián)系在一起。在我們看來，它好像鮮花盛開的花園。在花園中，有許多踏平的路徑可以使我們從容的左右環(huán)顧，毫不費(fèi)力的盡情享受，特別是有趣味相投的游伴在身旁。但是我們也喜歡尋求隱秘的小徑。發(fā)現(xiàn)許多美觀的新景，當(dāng)我們向?qū)Ψ街赋鰜?，我們就更加快樂?！边@也不僅證明他們基于共同的科學(xué)興趣的友誼是如此的深厚，而且我們似乎由這幾句話聽到希爾伯特這位吹笛人所吹的甜蜜的蘆笛聲，它誘惑許多老鼠跟著他投入數(shù)學(xué)的深河（赫爾曼·外爾語）。  這篇文章的主旨只是想簡略談一下希爾伯特個(gè)性中的個(gè)性方面，因此筆者并不準(zhǔn)備過多涉及

9、他對(duì)人們生活中的態(tài)度，像社會(huì)及政治、藝術(shù)、宗教道德和規(guī)范、家庭、友誼、愛情等等方面，也更加沒有必要指出在的人格光環(huán)下的某些陰影。然而不可忽略的是以上我們所談到的他的同行和更多的環(huán)境因素。像哥廷根那樣的小鎮(zhèn)中的大學(xué)，特別是處于1914年以前美好平靜的日子里，正是發(fā)展理論科學(xué)的最有利場(chǎng)所。教授們的崇高的科學(xué)地位，以及大學(xué)城中一切事情都和大學(xué)密切相關(guān)，這在當(dāng)今的中國幾乎是一種不可想象的氣氛。此外，一旦一幫充滿求知欲望的學(xué)生圍繞著希爾伯特，不被教學(xué)雜務(wù)打擾而專門從事研究，彼此之間相互激勵(lì)，又怎能不產(chǎn)生豐富的數(shù)學(xué)碩果。  當(dāng)然，這其中更加不能忽略的是希爾伯特的個(gè)人魅力。一個(gè)希爾伯特的學(xué)生回憶說

10、：“我去聽希爾伯特開的課，課程講的是數(shù)的概念和化圓為方。他講的內(nèi)容一直鉆進(jìn)我的腦子里。新世界的門向我敞開了。我在他的班上聽課沒多久就在我年青的心里下了決心，我必須用一切方法去閱讀和研究他所寫的一切。這之后幾個(gè)月使我一生中最幸福的幾個(gè)月，經(jīng)歷了我們共同分擔(dān)的疑慮和失敗的歲月之后，它的光輝仍撫慰著我的心靈。”  一個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)于他所處時(shí)代的推動(dòng)并不直接和他科學(xué)研究工作的分量成比例。希爾伯特的數(shù)學(xué)工作博大精深，然而他的影響并不完全來自這些工作。同樣是哥廷根歷史上領(lǐng)軍人物的高斯，其數(shù)學(xué)成就甚至要高過希爾伯特，但是他對(duì)同時(shí)代的人的激勵(lì)卻很少，不僅沒有形成學(xué)派，甚至給某些年青數(shù)學(xué)家的前途帶來了毀滅

11、性的災(zāi)難。高斯與小波爾約和阿貝爾的糾葛中，高斯都未能表現(xiàn)出一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)袖應(yīng)有的風(fēng)范。這或許是個(gè)人的天性所決定。盡管很多的創(chuàng)造性的天才習(xí)慣于孤獨(dú)與默默無聞，但是希爾伯特充滿生活熱情的天性使他選擇了另一種方式。他喜歡和其他人交往，尤其是同年青科學(xué)家交往，并在交往中發(fā)展自己，也給對(duì)方帶來啟發(fā)。正如他從胡爾維茨那兒學(xué)到東西，在年青時(shí)不顧世俗的偏見和閔可夫斯基結(jié)成了終生的友誼。他也在環(huán)繞哥廷根的樹林中長時(shí)期漫步或雨天在有頂?shù)幕▓@中走來走去時(shí)，把科學(xué)傳授給自己的學(xué)生，至少是那些他深感興趣的學(xué)生。他的樂觀主義，他的熱情，他對(duì)科學(xué)的崇高價(jià)值的不可動(dòng)搖的信念以及他堅(jiān)信對(duì)于簡單明了的問題能夠求出簡單明了的答案的理性

12、的力量，都具有不可抗拒的感染力。  他憎惡假裝冷淡的勢(shì)利態(tài)度與游手好閑甚至玩世不恭的犬儒主義，他對(duì)人對(duì)事總是采取直截了當(dāng)?shù)膽B(tài)度。即使這樣。在他周圍總是充滿快樂和歡笑。他驚人的勤奮?！疤觳啪褪乔趭^”是他的座右銘。而最卓著的是他偉大的啟示性力量，有時(shí)甚至使平庸的智利提高到遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過你所期待的水平而取得驚人的成就。 二、 數(shù)學(xué)工作 希爾伯特的數(shù)學(xué)工作涉及的領(lǐng)域非常廣泛而且成就巨大。他的工作可以清楚的分為不同的時(shí)期，每一時(shí)期他都幾乎集中于一組特殊的問題，當(dāng)他全神貫注于微分方程時(shí)，微分方程似乎就是一切，放棄一個(gè)題目，他就永遠(yuǎn)的離開，轉(zhuǎn)向另外的題目。他就是以這樣特殊的方式造就他的廣博。一般的，將他

13、的工作氛圍五個(gè)主要時(shí)期：  1、不變式理論 （18851893）  2、代數(shù)數(shù)域理論 （18931898）  3、基礎(chǔ)論  a、幾何基礎(chǔ)（18981902）  b、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（19221930）  4、積分方程（19021912）  5、物理學(xué)（19101922）  盡管以上前4個(gè)時(shí)期的每個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)成就都足以使希爾伯特位列一流數(shù)學(xué)家，但論及對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展真正舉足輕重的還是他的公理化理論和“23個(gè)數(shù)學(xué)問題”。后者雖然不是一項(xiàng)嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)成果，但它的影響卻不比任何一個(gè)理論的成果影響小。（一）、幾何基礎(chǔ)與公理化

14、理論1、幾何基礎(chǔ)  希爾伯特在名著幾何基礎(chǔ)中第一次給出了自然、簡明、全面、嚴(yán)格的公理系統(tǒng)，提出了形式公理法，這是公理學(xué)上的里程碑。  在歐幾里德的實(shí)質(zhì)公理法中，所討論的對(duì)象是在所列舉的公理也是不完備的。公理系統(tǒng)以前早就已知的，而這些對(duì)象（指基本概念）的定義僅限于直覺描述而不是邏輯定義。因而在定理的證明過程中并非為嚴(yán)格的邏輯推演，往往訴諸“直觀”和“經(jīng)驗(yàn)”。  希爾伯特還注意到，要研究數(shù)學(xué)的邏輯推理，要考察哪種推理過程可以實(shí)現(xiàn)，哪種過程不能實(shí)現(xiàn)，與作為前提的諸命題和作為結(jié)論的命題的具體含義無關(guān)，只與其邏輯構(gòu)成形式有關(guān)，例如，由“如果A則B”與“如果B則C”可以推出“

15、如果A則C”，這種推理是常見的、正確的和可以實(shí)現(xiàn)的。并且這種推理與命題A、B、C的具體含義無關(guān)。  因此，希爾伯特在研究歐式幾何的基礎(chǔ)上，放棄了幾何原本里公理系統(tǒng)的直觀顯然性，而強(qiáng)調(diào)邏輯結(jié)構(gòu)，給出了由五組公理構(gòu)成的公理系統(tǒng)。這便是希爾伯特幾何基礎(chǔ)的主要內(nèi)容，也就是所謂的形式公理法。  在希爾伯特的公理系統(tǒng)中，把“點(diǎn)、線、面”作為一組抽象元素，把“在之上”，“在中間”，“合同于”作為一組抽象的關(guān)系，這是六個(gè)基本概念。然后把他們的基本屬性用五組公理形式陳述出來，也就是說與歐式的實(shí)質(zhì)公理法不同，不是把所討論的對(duì)象作直接的定義，做明顯的直覺描述。而是把它們之間的基本關(guān)系的根本性質(zhì)用

16、公理來刻畫。從而把所討論的對(duì)象整體的公理形式做“隱”的規(guī)定，所以，作為抽象元素的點(diǎn)、線、面和作為抽象關(guān)系的“在之上”，“在中間”，“合同于”完全不必與直覺關(guān)系下的點(diǎn)、線、面和他們之間的關(guān)系發(fā)生任何聯(lián)系。這六個(gè)基本概念，我們只知道他們是適合上述五組公理的元素和關(guān)系，換言之。這些公理就是在其中出現(xiàn)的概念的定義。同時(shí)公理自身就是自己的證明。應(yīng)用純粹邏輯推理來建立幾何是，所需要的一切都包含在公理之中了?！?#160; 當(dāng)我們把這些基本概念看成某一具體領(lǐng)域的元素的關(guān)系時(shí)，若公理成了該領(lǐng)域的真命題，就稱給公理系統(tǒng)一個(gè)解釋，或者說給出公理系統(tǒng)的一個(gè)模型。舉一例如下：  考慮非空的集合Sx, y,

17、z,，S上有一抽象關(guān)系R：“在之前”，簡記為“<”。這里x， y， z作為抽象的元素，“<”作為抽象的關(guān)系，還并未說明由什么具體含義。  我們列舉兩條關(guān)于它們的公理：  1、任何元素不再自身之前，即關(guān)系“<”不自反。  2、如果x<y，y<z，則x<z,，即關(guān)系“<”是傳遞的。  不難看出公理系統(tǒng)1,2是有模型的。例如，當(dāng)x, y, z指的是人，而人與人之間有個(gè)年齡的大于關(guān)系，如果把“x<y”解釋作“x大于y”，那么公理系統(tǒng)1，2的一個(gè)解釋就是：人的集合和人之間的年齡大于關(guān)系。  再如，把x, y

18、, z看成整數(shù)，則S就成了整數(shù)集Z，而把“<”看成“Z上的小于關(guān)系”，那么整數(shù)集Z和他們之間的小于關(guān)系就是公理系統(tǒng)1,2的又一解釋。2、公理系統(tǒng)的系統(tǒng)特征A、 系統(tǒng)的無矛盾性  希爾伯特用形式公理法研究初等幾何的邏輯結(jié)構(gòu)時(shí)，首先提出了公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，即無矛盾性。也就是基于它的公理系統(tǒng)作邏輯演繹時(shí)不會(huì)推出互相矛盾的命題來。否則這個(gè)公理系統(tǒng)就不能反應(yīng)“真”、“假”，因而也就沒有意義了。希爾伯特認(rèn)為公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性是解決悖論問題的方法。為了給出協(xié)調(diào)性的證明，希爾伯特創(chuàng)立了證明論和有窮方法。這對(duì)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，對(duì)數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究有很大的促進(jìn)作用和深遠(yuǎn)的影響。以協(xié)調(diào)性為中心論題

19、的證明論已發(fā)展成為數(shù)理邏輯的西大分之之一。B、系統(tǒng)的獨(dú)立性  在一個(gè)公理系統(tǒng)中，若一個(gè)公理A不能從其他公理對(duì)出，則稱A對(duì)于其它公理是獨(dú)立的。公理系統(tǒng)應(yīng)該盡可能的精簡。然而一條獨(dú)立的公理就不能輕易刪除，否則它所包含的內(nèi)容不能有其它公理推出，系統(tǒng)也就具有缺陷。C、系統(tǒng)的完備性  從公理系統(tǒng)出發(fā)借助于邏輯規(guī)則可以推演出一個(gè)數(shù)學(xué)分支的全部真命題，即為公理的完備性。  公理化方法的出現(xiàn)和研究可以上溯到古希臘時(shí)期。在希爾伯特的幾何基礎(chǔ)問世之后，公理化方法則成為數(shù)學(xué)研究中的主要研究方法。幾乎現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)分支都經(jīng)歷過公理法的分析和討論?？梢灾v，沒有希爾伯特形式公理法的數(shù)學(xué)是難以

20、想象的。（二）、希爾伯特的23個(gè)數(shù)學(xué)問題  在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為數(shù)學(xué)問題的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個(gè)問題通稱“希爾伯特問題” ，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動(dòng)作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個(gè)數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念，對(duì)于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個(gè)問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾

21、何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學(xué)分析。   希爾伯特認(rèn)為，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，它的生命正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬別，但是在作為整體的數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家們都在使用著相同的工具，存在著概念的親緣關(guān)系，同時(shí)，在它的不同部分之間，也有大量相似之處。并且希爾伯特相信，數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加的調(diào)和一致，并且，這門科學(xué)一向相互隔絕的分支之間也會(huì)顯露出原先意想不到的關(guān)系。因此，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的有機(jī)的特性不會(huì)喪失，只會(huì)更清楚的呈現(xiàn)出來。  時(shí)至今日，希爾伯特的高度預(yù)見性已經(jīng)得到了驗(yàn)證，他向人們指出的數(shù)學(xué)方向和具體問題也被證明是極為正確的。三、 希爾伯特帶給我們的啟發(fā)  希爾伯特是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)現(xiàn)象,這個(gè)現(xiàn)象可以用三個(gè)方面來概括：  1、 數(shù)學(xué)領(lǐng)域中基礎(chǔ)性和革命性的成果；  2、 對(duì)于數(shù)學(xué)未知的關(guān)鍵領(lǐng)域的高度敏感和預(yù)見性；  3、 一代數(shù)學(xué)領(lǐng)袖的光輝、無比高尚的人格和巨大的精神感召力。  是什么給了他這些呢？