人教版高中數(shù)學(xué)選修22教學(xué)案21合情推理與演繹推理教師版

1、 合情推理與演繹推理_1.推理根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷，這種思維方式叫做推理.推理一般分為合情推理與演繹推理兩類.2.合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步驟(1) 通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事

2、物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)3.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理；(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段論.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：“三段論”的結(jié)構(gòu)大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.“三段論”的表示大前提M是P.小前提S是M.結(jié)論S是P. 題型一歸納推理例1設(shè)f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.思維啟迪解題的關(guān)鍵是由f(x)計(jì)算各式，利用歸納推理得出結(jié)論并證明.解f(0)

3、f(1) ，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3)，并注意到在這三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于1.歸納猜想得：當(dāng)x1x21時(shí)，均為f(x1)f(x2).證明：設(shè)x1x21，f(x1)f(x2).思維升華(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍.(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的.(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明，但對數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用.(1)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_.(2)已知f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)>2

4、，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有_.答案(1)567891011121381(2)f(2n)>(n2，nN*)解析(1)由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個(gè)等式為56789101112139281.(2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以當(dāng)n2時(shí)，有f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nN*).題型二類比推理例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，則amn.類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列bn(bn&g

5、t;0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，則可以得到bmn_.思維啟迪等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時(shí)，等差數(shù)列的公差對應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運(yùn)算對應(yīng)等比數(shù)列的乘除法運(yùn)算，等差數(shù)列的乘除法運(yùn)算對應(yīng)等比數(shù)列中的乘方開方運(yùn)算.答案解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閍na1(n1)d，bnb1qn1，amn，所以類比得bmn思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓

6、錐曲線間的類比等.(3)在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等.(1)給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22a·bb2.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3(2)把一個(gè)直角三角形以兩直角邊

7、為鄰邊補(bǔ)成一個(gè)矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑r(其中a，b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側(cè)棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R_.答案(1)B(2)解析(1)錯(cuò)誤，正確.(2)由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑.題型三演繹推理例3已知函數(shù)f(x)(a>0，且a1).(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，)對稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思維啟迪證明本題依據(jù)的大前提是中心對稱的定義，函數(shù)yf(x)的圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)仍在圖象上.小前提是f(x)(

8、a>0且a1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，)對稱.(1)證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)(，)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y).由已知得y，則1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，)對稱.(2)解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分

9、條件作為大前提.已知函數(shù)yf(x)，滿足：對任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)>af(b)bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).證明設(shè)x1，x2R，取x1<x2，則由題意得x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)>0，f(x2)f(x1)(x2x1)>0，x1<x2，f(x2)f(x1)>0，f(x2)>f(x1).所以yf(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).高考中的合情推理問題典例：(1) 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第

10、n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù)N(n,4)n2，五邊形數(shù)N(n,5)n2n，六邊形數(shù)N(n,6)2n2n可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.思維啟迪從已知的部分k邊形數(shù)觀察一般規(guī)律寫出N(n，k)，然后求N(10,24).解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)n2n，N(10,24)×100×101 1001001 000.答案1 000(2)(5分)若P0(x0，y0)在橢圓1(a>b>

11、0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是1，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線1(a>0，b>0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是_.思維啟迪直接類比可得.解析設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2的切線方程分別是 1，1.因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，故有1，1，這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線1上， 故切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是1.答案1(3)(5分)在計(jì)算“1×22×3n(n1)”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下

12、一種方法：先改寫第k項(xiàng)：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得1×2(1×2×30×1×2)，2×3(2×3×41×2×3)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1).相加，得1×22×3n(n1)n(n1)·(n2).類比上述方法，請你計(jì)算“1×2×32×3×4n(n1)·(n2)”，其結(jié)果為_.思維啟迪根據(jù)兩個(gè)數(shù)積的和規(guī)律猜想，可以利用前幾個(gè)式子驗(yàn)證.解析類比已知條件得k(k1)(k2)k(

13、k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得1×2×3(1×2×3×40×1×2×3)，2×3×4(2×3×4×51×2×3×4)，3×4×5(3×4×5×62×3×4×5)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2).以上幾個(gè)式子相加得：1×2×32×3×4n(n1)(n2)n

14、(n1)(n2)(n3).答案n(n1)(n2)(n3)1.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.(×)(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(×)(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.()(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是ann(nN).(×)(6) 2， 3， 4， 6(a，b均為實(shí)

15、數(shù))，則可以推測a35，b6.()2.數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A.28B.32C.33D.27 答案B解析523,1156,20119，推出x2012，所以x32.3.觀察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，則52 011的后四位數(shù)字為 ()A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125答案D解析553 125,5615 625,5778 125,58390 625,591 953 125，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m4k與5m(kN*，m5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2 0114×5017，所以5

16、2 011與57后四位數(shù)字相同為8125，故選D.4. 觀察下列等式1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_.答案12223242(1)n1n2(1)n1·解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(1)n1n2.等式右邊的值的符號也是正、負(fù)相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個(gè)等式為12223242(1)n1n2(1)n1.5.設(shè)等差數(shù)

17、列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列.答案解析對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，而T4，的公比為q16，因此T4，成等比數(shù)列._基礎(chǔ)鞏固A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1. 觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A.28B.76C.12

18、3D.199答案C解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.2.定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于 ()A.nB.n1C.n1D.n2答案A解析由(n1)*1n*11， 得n*1(n1)*11(n2)*121*1+(n1).又1*1=1，n*1n3.下列推理是歸納推理的是()A.A，B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|PB|2a>|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B.由a11，an3n1，求出S1，S2，S

19、3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C.由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積SabD.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案B解析從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B.4.已知ABC中，A30°，B60°，求證：a<b.證明：A30°，B60°，A<B. a<b，其中，畫線部分是演繹推理的()A.大前提B.小前提C.結(jié)論D.三段論答案B解析由三段論的組成可得畫線部分為三段論的小前提.5.若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn(bn)也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列cn是等

20、比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()A.dnB.dnC.dn D.dn答案D解析若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1·c2··cnc·q12(n1)c·q，dnc1·q，即dn為等比數(shù)列，故選D.二、填空題6.仔細(xì)觀察下面和的排列規(guī)律： 若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的和，那么在前120個(gè)和中，的個(gè)數(shù)是_.答案14解析進(jìn)行分組|，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.7.若函數(shù)f(x)(x>0

21、)，且f1(x)f(x)，當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)ffn1(x)，則f3(x)_，猜想fn(x)(nN*)的表達(dá)式為_.答案解析f1(x)，fn(x)ffn1(x)(n2)，f2(x)f().f3(x)ff2(x)f().由所求等式知，分子都是x，分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)少1，為2n1，故fn(x).8.在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于點(diǎn)E，則類比得到的結(jié)論是_.答案解析易知點(diǎn)E到平面BCD與平面ACD的距離相等，故.三、解答題9.已知等差數(shù)列an的公差d2

22、，首項(xiàng)a15.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律.解(1)由于a15，d2， Sn5n×2n(n4).(2)Tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.T15，T24×22218，T34×32339，T44×42468，T54×525105.S15，S22×(24)12，S33×(34)21，S44×(44)32，S55×(54)45.由此可知S1T1，當(dāng)n2時(shí)，Sn<Tn.歸納猜想：

23、當(dāng)n1時(shí)，SnTn；當(dāng)n2，nN時(shí)，Sn<Tn.10.在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求證：，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.解如圖所示，由射影定理AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想，四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE平面BCD，則.證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1.給出下面類比推理命題(其中Q為有

24、理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：“若a，bR，則ab0ab”類比推出“若a，bC，則ab0ab”；“若a，b，c，dR，則復(fù)數(shù)abicdiac，bd”類比推出“若a，b，c，dQ，則abcdac，bd”；若“a，bR，則ab>0a>b”類比推出“若a，bC，則ab>0a>b”.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案C解析正確，錯(cuò)誤.因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小.2.設(shè)是R的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集.若對于任意a，bA，有abA，則稱A對運(yùn)算封閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A.自然數(shù)集B.整數(shù)集C.有理數(shù)集D.無理數(shù)集答案C解析A錯(cuò)：因?yàn)樽匀粩?shù)集對減法、除法不封閉；B錯(cuò)：因?yàn)檎麛?shù)集對除法不封閉；C對：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)：因?yàn)闊o理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉.3.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)