人教版高中數(shù)學(xué)選修11　檢測試題

1、第三章檢測試題(時間:120分鐘滿分:150分)【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號導(dǎo)數(shù)的定義及其計算2,3,13導(dǎo)數(shù)的幾何意義1,9,14,17函數(shù)的單調(diào)性4,5,10,15,18函數(shù)的極值與最值6,7,19不等式恒成立問題11導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用8,20導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用12,16,21,22一、選擇題(每小題5分,共60分)1.曲線y=x2-2x在點(diǎn)(1,-)處的切線的傾斜角為(D)(A)-135°(B)45°(C)-45° (D)135°解析:y=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此,傾斜角為135°.故選D.2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(B)(A)(x

2、+)=1+(B)(log2x)=(C)(3x)=3xlog3e(D)(x2cos x)=-2xsin x解析:(x+)=1-,所以A不正確;(3x)=3xln 3,所以C不正確;(x2cos x)=2xcos x+x2·(-sin x),所以D不正確;(log2x)=,所以B正確.故選B.3.若f(x0)=-3,則等于(A)(A)-12(B)-9 (C)-6(D)-3解析:因?yàn)?+3=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以=-12.故選A.4.設(shè)f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(A)(A)(0,) (B)(,+)(C)(-,0)(D)(-,0)(,+)解析:

3、f(x)=2x2-x3,f(x)=4x-3x2,由f(x)>0得0<x<.故選A.5.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象,則下面判斷正確的是(C)(A)在區(qū)間(-2,1)上f(x)是增函數(shù)(B)在(1,3)上f(x)是減函數(shù)(C)在(4,5)上f(x)是增函數(shù)(D)當(dāng)x=4時,f(x)取極大值解析:由導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象知,f(x)在(-2,1)上先減后增,在(1,3)上先增后減,在(4,5)上單調(diào)遞增,x=4是f(x)的極小值點(diǎn),故A,B,D錯誤.故選C.6.函數(shù)y=x4-4x+3在區(qū)間-2,3上的最小值為(D)(A)72 (B)36 (C)12(D)0解析:

4、y=4x3-4,令y=0,則4x3-4=0,x=1,當(dāng)x<1時,y<0;當(dāng)x>1時,y>0得y極小值=yx=1=0,得ymin=0.故選D.7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為(D)(A)(-1,2) (B)(-3,6)(C)(-,-1)(2,+)(D)(-,-3)(6,+)解析:因?yàn)閒(x)有極大值和極小值,所以導(dǎo)函數(shù)f(x)=3x2+2ax+(a+6)有兩個不等零點(diǎn),所以=4a2-12(a+6)>0,得a<-3或a>6.故選D.8.設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時,底面邊長為(C)(

5、A) (B) (C) (D)2解析:設(shè)底面邊長為x,側(cè)棱長為l,則V=x2·sin 60°·l,所以l=,所以S表=2S底+3S側(cè)=x2·sin 60°+3·x·l=x2+,S表=x-.令S表=0,所以x3=4V,即x=.又當(dāng)x(0,)時,S表<0;當(dāng)x(,V),S表>0,所以當(dāng)x=時,表面積最小.故選C.9.已知函數(shù)f(x)=ex-mx+1的圖象是曲線C,若曲線C不存在與直線y=ex垂直的切線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(D)(A)(-,-)(B),+)(C)(-,)(D)(-,解析:函數(shù)f(x)=ex-mx+1的導(dǎo)

6、數(shù)為f(x)=ex-m,設(shè)切點(diǎn)為(s,t),即有切線的斜率為es-m,若曲線C不存在與直線y=ex垂直的切線,則關(guān)于s的方程es-m=-無實(shí)數(shù)解,由于es>0,即有m-0,解得m.故選D.10.已知向量a=(ex+,-x),b=(1,t),若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,則t的取值范圍是(A)(A)(-,-1(B)(e+1,+)(C)(-1,e+1)(D)(-,-1)解析:f(x)=ex+-tx,f(x)=ex+x-t,由題意得ex+x-t0,即tex+x在(-1,1)上恒成立,所以t-1.故選A.11.當(dāng)x-2,1時,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,

7、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)(A)-5,-3(B)-6,-(C)-6,-2(D)-4,-3解析:顯然x=0時,對任意實(shí)數(shù)a,已知不等式恒成立;令t=,若0<x1,則原不等式等價于a-+=-3t3-4t2+t,t1,+),令g(t)=-3t3-4t2+t,則g(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),由于t1,故g(t)0,即函數(shù)g(t)在1,+)上單調(diào)遞減,最大值為g(1)=-6,故只要a-6;若-2x<0,則a-+=-3t3-4t2+t,t(-,-,令g(t)=-3t3-4t2+t,則g(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),在區(qū)間(-,-上的極值點(diǎn)為t=

8、-1,且為極小值點(diǎn),故函數(shù)g(t)在(-,-上有唯一的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),故只要ag(-1)=-2.綜上可知,若在-2,1上已知不等式恒成立,則a為上述三種情況的交集,即-6a-2.故選C.12.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)>k>1,則下列結(jié)論中一定錯誤的是(C)(A)f()< (B)f()>(C)f()<(D)f()>解析:因?yàn)閒(x)>k>1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又>0,所以g()>g(0)即f()->-1,得到f()>,所以C

9、選項一定錯誤.A,B,D都有可能正確.故選C.二、填空題(每小題5分,共20分)13.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(0)的值為. 解析:f(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,所以f(0)=3.答案:314.已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線過點(diǎn)(2,7),則a=. 解析:因?yàn)閒(1)=2+a,f(1)=3a+1,所以切線方程為y-(2+a)=(3a+1)(x-1),又切線過點(diǎn)(2,7),所以5-a=3a+1,得a=1.答案:115.函數(shù)y=x3+x2-5x-5的單調(diào)遞增區(qū)間是. 

10、解析:由y=3x2+2x-5>0得x<-,或x>1.答案:(-,-),(1,+)16.已知函數(shù)f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若對于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 解析:由于f(x)=1+>0,因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以x0,1時,f(x)min=f(0)=-1.根據(jù)題意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,則要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函數(shù)h(x)=+在x1,2上單調(diào)遞減,所以h(x)mi

11、n=h(2)=,故只需a.答案:,+)三、解答題(共70分)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程;(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.解:(1)因?yàn)閒(x)=3x2+1,所以f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率k=f(2)=13.所以切線的方程為y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因?yàn)榍芯€與直線y=-+3垂直,所以切線的斜率為4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f(x0)=3+1=4,所以x0=±1,所以或即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-

12、1,-18).切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.18.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0,1時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.解:(1)f(x)的定義域?yàn)?-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).當(dāng)x<x1或x>x2時,f(x)<0;當(dāng)x1<x<x2時,f(x)>0.故f(x)在(-,)和(,+

13、)內(nèi)單調(diào)遞減,在(,)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)因?yàn)閍>0,所以x1<0,x2>0.當(dāng)a4時,x21.由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增.所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.當(dāng)0<a<4時,x2<1.由(1)知,f(x)在0,x2上單調(diào)遞增,在x2,1上單調(diào)遞減.所以f(x)在x=x2=處取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以當(dāng)0<a<1時,f(x)在x=1處取得最小值;當(dāng)a=1時,f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值;當(dāng)1<a<4時,f(x)在x=0處取得最小值.19.(本小題滿分12分)給定函數(shù)f(x)

14、=-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+.(1)求證:f(x)總有兩個極值點(diǎn);(2)若f(x)和g(x)有相同的極值點(diǎn),求a的值.(1)證明:因?yàn)閒(x)=x2-2ax+(a2-1)=x-(a+1)·x-(a-1),令f(x)=0,解得x1=a+1,x2=a-1.當(dāng)x<a-1時,f(x)>0;當(dāng)a-1<x<a+1,f(x)<0.所以x=a-1為f(x)的一個極大值點(diǎn).同理可證x=a+1為f(x)的一個極小值點(diǎn).所以f(x)總有兩個極值點(diǎn).(2)解:因?yàn)間(x)=1-=.令g(x)=0,則x1=a,x2=-a.因?yàn)閒(x)和g(x)有相同的極值點(diǎn),且x1

15、=a和a+1,a-1不可能相等,所以當(dāng)-a=a+1時,a=-;當(dāng)-a=a-1時,a=.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=-和a=時,x1=a,x2=-a都是g(x)的極值點(diǎn).20.(本小題滿分12分)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a5)的管理費(fèi),預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元(9x11)時,一年的銷售量為(12-x)2萬件.(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時,分公司一年的利潤L最大,并求出L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關(guān)系式為L=(x-3-a)(12-x)2,x9,

16、11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L=0,得x=6+a或x=12(不合題意,舍去).因?yàn)?a5,所以86+a.在x=6+a兩側(cè)L的值由正變負(fù).所以當(dāng)86+a<9,即3a<時,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).當(dāng)96+a,即a5時,Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=綜上,若3a<,則當(dāng)每件售價為9元時,分公司一年的利潤L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(萬元);若a5,則當(dāng)每件售價為(6+a)元時,分公司一年的利潤L最大

17、,最大值Q(a)=4(3-a)3(萬元).21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx-1,當(dāng)x=-2時有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,2上的最大值與最小值;(3)若過點(diǎn)P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:(1)f(x)=3x2+2bx+c,f(x)在x=-2時有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3,可有函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3+3x2-1.(2)由(1)知f(x)=3x2+6x,令f(x)=0,有x1=0,x2=-2.所以,當(dāng)x-1,0時,f(x)<0

18、,f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)x0,2時,f(x)>0,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(0)=-1.又f(-1)=1,f(2)=19,所以f(x)max=19.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,+3-1),切線斜率為k=f(x0)=3+6x0,所以切線方程為y-(+3-1)=(3+6x0)(x-x0) ,又切線過點(diǎn)P(1,m),代入化簡為m=-2+6x0-1,令y=m 與 h(x0)=-2+6x0-1,h(x0)=-6+6,令h(x0)=0,得x1=-1,x2=1;h(x0)在(-,-1),(1,+)單調(diào)遞減,(-1,1)上單調(diào)遞增, h(-1)=-5,h(1)=3.過點(diǎn)P(1,m)可作曲線y=f(x)