行列式的性質(zhì)

1、 第 1 章 行列式 第四節(jié) 行列式的性質(zhì)課件制作：黃 明 2018年年9月月轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置相相等等一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置(transposition)行列式行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211證明證明 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式記記 ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabijij 即即按定義按定義 .112121212

2、1 nppptnppptTnnaaabbbD 又因為行列式又因為行列式 D 可表示為可表示為 .12121 nppptnaaaD頁頁第第教教材材證證明明見見8 . ., , 非必讀內(nèi)容非必讀內(nèi)容均用小字排印均用小字排印、教材中行列式的性質(zhì)教材中行列式的性質(zhì)21故故.TDD 證畢證畢 對換行列式的兩行（列）對換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.是由

3、行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaDdet ji,換換行行變變號號頁頁第第教教材材證證明明見見9 于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1為為自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序數(shù)的逆序數(shù)為排列為排列njippppt,11tppppnji的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)排排列列則有則有即當(dāng)即當(dāng) 時時,jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時時,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為

4、零. .證明證明 互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 證畢證畢,571571 266853.825825 361567567361266853頁頁見見教教材材第第 9行同為零行同為零 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的

5、公因子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面倍倍行行倍倍式式頁頁見見教教材材第第 9頁頁見見教教材材第第9性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零例，則此行列式等于零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 成成比比為為零零頁頁見見教教材材第第9的解為的解為方程方程 01466471323221321122 xx解解：4 由由行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì)同同；兩兩行行元元素素有有三三對對元元素素相相、容容易易

6、觀觀察察出出21.43 比比例例兩兩行行元元素素有有三三對對元元素素成成、261222 xx 、令令：21 xx ，解解得得： x12x性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如和和行行和和式式頁頁見見教教材材第第 9例103100204199200395301

7、300600解1cD拆拆100100204200200395300300600310020412003951300600 310020012004001300600 30c 拆拆310041200513000. . 232,)(;3,)(:cccolumnrrrow列記為列記為第第如如表示表示用用列列行記為行記為第第如如表示表示用用行行規(guī)定記法規(guī)定記法310020412003951300600 310020012004001300600 03100412005130003c拆拆3141001251302100c100 202000 性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行

8、）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如倍倍加加不不變變頁頁見見教教材材第第 10注意寫法！注意寫法！見教材第見教材第1313頁倒數(shù)頁倒數(shù)第第4 4行行二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 計算行列式常用方法：利用運(yùn)算計算行列式常用方法：利用運(yùn)算 把行把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式化為上三角形行列式，從而算得行列式

9、的值jikrr ：列列式式為為例例講講其其一一般般方方法法下下面面我我們們以以化化下下三三角角行行列列式式。將將行行列列式式化化為為下下三三角角行行也也可可用用 jikcc nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa4321114131211334333231224232221114131211 nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa4321114131211334333231224232221114131211 開始開始從從 11a加加到到將將第第一一列列乘乘以以適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臄?shù)數(shù)列、列、第第 2；消為消為將將 0

10、12a0; ; 03113消為消為列將列將列乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到第列乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到第第第a00. . 01消為消為直到將直到將na0 行行的的元元素素列列第第再再用用第第221112aa 1113aa ; ; 04114消消為為列列將將列列乘乘以以適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臄?shù)數(shù)加加到到第第第第a1114aa 如如此此下下去去，111aan nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 4321114131211334333231224232221110000開始開始從從 22a 的的數(shù)數(shù)加加到到將將第第二二列列分分別別乘乘以以適適當(dāng)當(dāng).0323 消為消為列、將列、將第第a 31333

11、0nnaaa 244a 列列消消去去乘乘以以適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臄?shù)數(shù)加加到到第第414340nnaaa .2na ，直直到到消消去去如如此此方方法法做做下下去去， nnnnnaaa 130. . 03333元素全消為元素全消為所在行的右邊各所在行的右邊各開始，用上述方法將開始，用上述方法將再從再從aa nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 43211141312113343332312221110000000. . 三三角角行行列列式式最最終終可可將將行行列列式式化化為為下下使使其其化化為為所所在在行行右右邊邊的的各各元元素素，繼繼續(xù)續(xù)用用上上述述方方法法消消去去,0 jja

12、 nna行列式行列式下三角下三角4140nnaa nnnnaa 10 nna0. . 03333元素全消為元素全消為所在行的右邊各所在行的右邊各開始，用上述方法將開始，用上述方法將再從再從aa nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 43211141312113343332312221110000000. . 三三角角行行列列式式最最終終可可將將行行列列式式化化為為下下使使其其化化為為所所在在行行右右邊邊的的各各元元素素，繼繼續(xù)續(xù)用用上上述述方方法法消消去去,0 jja nna行列式行列式下三角下三角4140nnaa nnnnaa 10 nna0如如下下所所示示意意角角

13、形形行行列列式式，的的運(yùn)運(yùn)算算化化行行列列式式成成下下三三也也可可用用 jikrr nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1221111211211212222221212222221111211211 0000000000)(！中元素的數(shù)值有變化的中元素的數(shù)值有變化的這是示意過程，在運(yùn)算這是示意過程，在運(yùn)算13107410823721200013214214314324321131214324 ccccccD ：例如36474442300120001232427 cccc4047404230012000134 cc. .

14、 160 . . 成下三角形行列式將行列式化式的性質(zhì)也可以通過行利用行列6 1432214332144321321421431432432142 rrD1432072101082013107424341324 rrrrrr . ., , ,運(yùn)算就方便了的位置調(diào)換到位置上的元素可以通過換列將位于分?jǐn)?shù)不利于計算的元素會產(chǎn)生及消去位置上的元素用位于33311323337aaaaa 131070108207210432123132736400440072104321rrrr 1234012700440004021 rr . .160 31cc換列變號. 換換變變換換就就因因轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置成成為為行行變變此此

15、時時相相應(yīng)應(yīng)的的列列等等的的緣緣故故這這是是因因為為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式相相三三角角行行列列式式的的方方法法，則則是是將將行行列列式式化化成成上上換換成成列列行行程程中中的的列列換換成成行行，而而將將行行列列式式的的過過程程里里，將將過過的的方方法法化化為為下下三三角角在在上上面面將將行行列列式式用用jikcc . . 做做后后，再再按按上上面面的的方方法法去去成成元元素素生生可可用用均均不不等等于于若若所所有有的的三三角角行行列列式式下下上上行行第第一一列列的的位位置置上上再再化化個個元元素素調(diào)調(diào)整整到到第第一一可可通通過過換換行行及及換換列列使使這這，元元素素有有而而行行列列式式的的其其它

16、它，的的元元素素不不等等于于如如果果位位于于1)(,1.)(1111jijiijkcckrraa .)( 三角行列式三角行列式下下化為上化為上任何一個行列式都可以任何一個行列式都可以例例1 1nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明重重要要例例題題。這這是是一一個個，頁頁例例第第此此例例見見教教材材1014證明證明;0111111kkkkkpppppD 設(shè)為設(shè)為化化為為下下三三角角形形行行列列式式，把把作作運(yùn)運(yùn)算算對對11DkrrDji

17、 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運(yùn)運(yùn)算算對對22,DkccDji .0111112nnnnnqqqqqD 設(shè)為設(shè)為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運(yùn)列作運(yùn)，再對后，再對后行作運(yùn)算行作運(yùn)算的前的前對對DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 例例22101044614753124025973313211 D 利用運(yùn)算利用運(yùn)算 把行列式化為上三角形行列把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值式，從而算得行列式的值jikrr （注注：這種化上三角形的方法在線性代數(shù)

18、中有廣這種化上三角形的方法在線性代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，如后面化矩陣為階梯形矩陣中就用到泛的應(yīng)用，如后面化矩陣為階梯形矩陣中就用到這種方法，應(yīng)學(xué)會和掌握這種方法！這種方法，應(yīng)學(xué)會和掌握這種方法?。?101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr1, , , 元元素素第第一一列列的的把把第第一一行行一一行行出出發(fā)發(fā)我我們們從從第第行行列列式式上上三三角角形形為為了了化化成成.6全化為零全化為零的性質(zhì)的性質(zhì)用行列式用行列式方的元素方的元素下下 00002101044614753140202010013211 210

19、1044614753124022010013211312 rr 2 3 132rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 154rr 143rr . , ; 化化為為零零元元素素的的下下方方元元素素全全把把第第二二行行第第二二列列的的再再從從第第二二行行著著手手素素全全化化為為零零后后列列的的元元素素下下方方各各元元當(dāng)當(dāng)位位于于第第一一行行第第一一. 0 0 , 0 元元素素化化為為行行互互換換后后再再將將下下方方素素所所在在的的行行與與第第二二的的元元列列下下方方不不為為時時需需將將第第二二行行第第二二此此的的元

20、元素素現(xiàn)現(xiàn)在在為為由由于于第第二二行行第第二二列列2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 . , ; 化化為為零零元元素素的的下下方方元元素素全全把把第第三三行行第第三三列列的的再再從從第第三三行行著著手手化化為為零零后后元元素素的的下下方方元元素素全全當(dāng)當(dāng)?shù)诘诙行械诘诙辛械牡?000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 . , 化化為為零零元元素素下下方方的的元元素素全全第第四四行行第第四四列列的

21、的再再將將仿仿上上述述方方法法例例2 2 計算計算 階行列式階行列式nabbbbbabbbbbabbbbbabbbbbaD 解解abbbbnababbbnabbabbnabbbabnabbbbbnaDnccc)1()1()1()1()1(21 abbbbabbbbabbbbabbbbbnaDbnac11111)1()1(1 baabbabaabbabbbbbnannnnnnrrrrrrrrrr 000000000000001)1(322111223 bababababbbnbnbnannnncccccccc 00000000000000002)2()1(1)1(.1213243 .)()1(1 nbabna4例例）頁頁例例（教教材材第第1114階階行行列列式式計計算算n2dcdcbaba D0其其中中未未寫寫出出的的元元素素為為n2n2解：解：行行對對調(diào)調(diào)、第第行行、行行依依次次與與第第中中的的第第把把21222 nnDn 得得dcdcbabadcbaDn000000002 ）頁頁例例（即即教教材材第第根根據(jù)據(jù)例例10141的的結(jié)結(jié)論論，有有)1(2 nD D D n22)