第一章 有限差分法

1、123 4 ( )()( )f xf xhf x0( )( )limxdff xfxdxx ( )()( )( )f xf xhf xfxxh5 ( )()( )dff xf xhf xdxxh( )( )()dff xf xf xhdxxh( )()()2dff xf xhf xhdxxh6 200001()()()()2!f xhf xhfxh fx200001()()()()2!f xhf xhfxh fx300002()()2()()3!f xhf xhhfxh fx7 20()/2!h fx302()/3!h fx22211()( )( )()()2 ( )()xxxd fdfdfd

2、xxdxdxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh前向差分前向差分8 (, , )( , , )uu xh y zu x y zxh222(, , )2 ( , , )(, , )uu xh y zu x y zu xh y zxh922222( , )( , )x yF x yxy10 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h012342100120303()()O hxhO hxh22231011122000112!3!hhhxxx11 222103013132001()()()()2!hhhhxx 22/ x222313210hhhh 221030310

3、1300131 313()()()()()hhxhhhh hh 2242024024240()()()hhyh h hh12 222103013132001()()()()2!hhhhxx 31hh21030310130222131 3130()()()()22()hhxhhhh hh 1321032202xh13hhh21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh F1,1,1,1,40ijiji ji ji j14 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abL2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0,2,4)aibiii15

4、ababnn1313aaabbb2012341224 111baaKKh FKKK1a3b/abK12:()sBoundary n DD16 4a2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0)aibiiii-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abLNM2b4a17 ababaaMaNbbMbNnni-1ijj+1j-1i+1013421abLNM142322aaaMbbbN231422aaaNbbbM18 1a3b2b4a201423122()()4 111bbaaaKKh FKKK/abK19n第一類邊界條件的差分離散化第一類邊界條件的差分

5、離散化 n應(yīng)用應(yīng)用多元函數(shù)的泰勒公式多元函數(shù)的泰勒公式，結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)1、3的位函數(shù)值和可通過的位函數(shù)值和可通過 表示為表示為以以h和和h1分別與以上兩式分別與以上兩式相乘且相加，削去一階相乘且相加，削去一階偏導(dǎo)項(xiàng)，然偏導(dǎo)項(xiàng)，然后截?cái)嗯c后截?cái)嗯ch的二次項(xiàng)，便得到關(guān)于結(jié)點(diǎn)的二次項(xiàng)，便得到關(guān)于結(jié)點(diǎn)0的二階偏導(dǎo)數(shù)的差的二階偏導(dǎo)數(shù)的差分格式分格式01342034 hD12 1h 2hL02223101112200022231022000112!3!112!3!hhhxxxhhhxxx20n同理，在同理，在0結(jié)點(diǎn)處關(guān)于結(jié)點(diǎn)處關(guān)于y方向的二階偏導(dǎo)的差分格式方向的二階偏導(dǎo)的差分格式n代入給定的泊松方程，得到通常代

6、入給定的泊松方程，得到通常第一類邊界條件第一類邊界條件的差分格的差分格式式 2111302110222hhhhxhhhh2222402220222hhhhyhhhh2123401111111(1)(1)112h F12/ ,/hhhh21n第三類邊界條件第三類邊界條件的差分離散化的差分離散化 n第一種情況，當(dāng)結(jié)點(diǎn)第一種情況，當(dāng)結(jié)點(diǎn)剛好著落剛好著落于邊界線于邊界線L上時(shí)，這還取決于邊上時(shí)，這還取決于邊界結(jié)點(diǎn)處的界結(jié)點(diǎn)處的外法線與網(wǎng)格線外法線與網(wǎng)格線重合，重合， 03 0 3 hDLnxy0301020( )( )f rfrh12( , )( , )Sf r tfr tn22n外法線與網(wǎng)格線不重合

7、情況，邊界結(jié)點(diǎn)上的外向法向方向外法線與網(wǎng)格線不重合情況，邊界結(jié)點(diǎn)上的外向法向方向與水平夾角為與水平夾角為，其法向?qū)?shù)顯然是在，其法向?qū)?shù)顯然是在x和和y方向的導(dǎo)數(shù)在方向的導(dǎo)數(shù)在法向的法向的投影組合投影組合， 03 0 hDLn2 xy000302cossincossinnxyhh 300201020( )cossin( )f rfrhh23n第二種情況，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不落于邊界線第二種情況，當(dāng)結(jié)點(diǎn)不落于邊界線L上時(shí)，只需要上時(shí)，只需要引入引入于于結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)0相關(guān)的邊界結(jié)點(diǎn)相關(guān)的邊界結(jié)點(diǎn)O，點(diǎn)的外方向，點(diǎn)的外方向n作為結(jié)點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)0處的處的“外方向外方向n”，且，且近似地認(rèn)為近似地認(rèn)為邊界條件中給定的函數(shù)

8、和均在邊界條件中給定的函數(shù)和均在O點(diǎn)上的取值。這樣，此種情況下的點(diǎn)上的取值。這樣，此種情況下的第三類邊界條件第三類邊界條件的離的離散格式于式相似，散格式于式相似， o3 0 hDLn2 xyo300201020( )cossin( )f rf rhh24n第二類邊界條件第二類邊界條件的差分離散化的差分離散化 n第二類齊次邊界條件為第三類邊界條件的特殊情況，即。第二類齊次邊界條件為第三類邊界條件的特殊情況，即。我們這里討論最常見的一種情況我們這里討論最常見的一種情況 n上面也是上面也是對(duì)稱邊界條件對(duì)稱邊界條件的離散公式的離散公式12( )( )0f rfr/0n 0134201234LhD201

9、24124h F132526離 散 化 場(chǎng) 域 （ 網(wǎng) 格 剖 分 ）電 磁 場(chǎng) 問 題離 散 化 方 程 （ 差 分 原 理 ）計(jì) 算 方 程 組 （ 迭 代 法 ）差 分 方 程 組 （ 代 數(shù) 方 程 組 ）離 散 解插 值 計(jì) 算 其 他 值 或 可 視 化 顯 示 結(jié) 果前 處 理數(shù) 據(jù) 計(jì) 算后 處 理27 i-1ijj+1j-1i+1(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)(i-1,j-1)(i-1,j+1)(i+1,j-1)(i+1,j+1)i increasej increase ( , )i j2821,11,1,2,1,121,1,1,1,21,

10、11,1,2,1,1 44 i4 ijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jh Fh Fjh F ncrease21,11,1,121,1,2,1,1,1,21,1112,1,1, 44 4i ji ji ji ji ji jijiji jijiji jii jijiji jji jh Fh Fh F increase j 29 . 0 1 0 0 0 . 0 1 -4 1 0 . . . 0 1 0 . . 0 1 0 0 . . 0 1 -4 1 0 . . 0 0 1 0 . . 0 1 0 . . . 0 1 -4 1 0 . 0

11、0 0 1 0 . 1,11,1,1,1,11,11,1,1 ijijiji ji ji jijijij= . . . . . . . . . . . .21,121,21,12,12,2,121,121,21,1 ijijiji ji ji jijijijh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fiincreasej increasei*Ny+j+1i*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j(i+1)*Ny+j(i-1)*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j+1(i+1)*Ny+j-1(i+1)*Ny+j+1(i-1)*Ny+j-1(i-1)*Ny+j+13031 21,1,1,1

12、,12,1,11,1,414ijiji ji ji ji jnnnnni jiji jiji ji jh Fh F321112,1,11,1,14nnnnni jiji jiji ji jh F33 1, nnni ji ji ji j 112,1,11,1,14nnnni jiji jiji ji jh F112,1,11,1,44nnnnnni jiji jiji ji ji jh F3421 sin()bL22122bLm35 134222xyxyxyhh Eeeee134222mmmmmmmxyxyxyhhHeeee134222zzxyxyAAAAAAyxhh BAeeee36SKd PS1( )naviiKPi S 1( )naviiKPi SPUU37 Dxy0 a b 1102038 222200000000 ( , )010 xyx ay bx ay byx ax yDxy 39 Dij0 a b11020hh1,1,1,1,40ijiji ji ji j40 111,1,11,1,44nnnnnnni ji jiji jiji ji j0,0,00 ,011,0 10qpqppqand41 42 設(shè) 定 邊 值和 誤