八年級上數(shù)學_全等三角形典型例題(一)

1、全等三角形典型例題：例1：把兩個含有45°角的直角三角板如圖1放置，點D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長線交BE于點F求證：AFBE AFBCED練習1：如圖，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的直線，BDAE，CEAE，如果CE=3，BD=7，請你求出DE的長度。例2： DAC, EBC均是等邊三角形，AE,BD分別與CD,CE交于點M,N,EE求證：（1）AE=BD； (2)CM=CN； (3) CMN為等邊三角形；（4）MNBC。DACBNM例3：（10分）已知，ABC中，BAC = 90°，AB = AC，過A任作一直線l，作BDl于

2、D，CEl于E，觀察三條線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系如圖1，當l經(jīng)過BC中點時，DE = （1分），此時BD CE（1分）如圖2，當l不與線段BC相交時，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為 ，并證明你的結(jié)論（3分）如圖3，當l與線段BC相交，交點靠近B點時，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為 證明你的結(jié)論（4分），并畫圖直接寫出交點靠近C點時，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為 （1分）ABCDElABClEDAlBC 圖1 圖2 圖3練習1：以直角三角形ABC的兩直角邊AB、BC為一邊，分別向外作等邊三角形ABE和等邊BCF，連結(jié)EF、EC。試說明：（1）EFEC；（2）EBCF練習2：如圖

3、（1）A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，過E、F分別作DEAC，BFAC若AB=CD，G是EF的中點嗎？請證明你的結(jié)論。若將 ABC的邊EC經(jīng)AC方向移動變?yōu)閳D（2）時，其余條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？圖5例四：如圖1，已知，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90°，問BD=AB+ED嗎?分析 ：（1）凡是題中的垂直往往意味著會有一組90°角，得到一組等量關(guān)系；圖6（2）出現(xiàn)3個垂直，往往意味著要運用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關(guān)系；（3）由全等得到邊相等之后，還要繼續(xù)往下面想，這幾組相等的邊能否組合在一起：如如圖6，除了得到三組對應(yīng)邊相等之外，

4、還可以得到AC=BD。解答過程：得到ABCCDE之后，可得到BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB（等式性質(zhì)）圖7 即：BD=AB+DE變形1：如圖7， 如果ABCCDE，請說明AC與CE的關(guān)系。注意：兩條線段的關(guān)系包括：大小關(guān)系（相等，一半，兩倍之類）位置關(guān)系（垂直，平行之類）變形2：如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過點A作FAAE交CB的延長線于點F， 求證：DE=BF分析：注意圖形中有多個直角，利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到一組銳角相等。變形3：如圖8，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的直線，BDAE，CEAE，圖8如果CE=3，BD=7

5、，請你求出DE的長度。分析 ：說明相等的邊所在的三角形全等，題中“AB=AC”，發(fā)現(xiàn)：AB在RtABD中，AC在RtCAE中，所以嘗試著去找條件，去說明它們所在的兩個Rt全等（如圖9）于是：已經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系：AB=AC，直角=直角，再由多個垂直利用同角的余角相等，得到第三組等量關(guān)系。 解：由題意可得：在RtABD中，1+ABD=90°（直角三角形的兩個銳角互余）1圖9 又 BAC=90°（已知）， 即1+CAE=90° ABD=CAE（等角的余角相等） 故在ABD與CAE中， BDA=AEC=90°（垂直定義）ABD=CAE（已求） AB=AC（已

6、知） ABDCAE（AAS） AE=BD=7，AD=EC=3 （全等三角形的對應(yīng)邊相等） DE=AEAD=73=4變形4：在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能說出其中的道理嗎？（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時， DE =AD-BE。說說你的理由。圖12圖11（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時，試問DE，AD，BE 具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系。圖1012等腰三角形、等邊三角形的全等問題：必備知識：如右圖，由1=2，可得CBE=DBA

7、；反之，也成立。例五：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，請問BD=CE嗎？分析這類題目的難點在于，需要將本來就存在于同一個三角形中的一組相等的邊，分別放入兩個三角形中，看成是一組三角形的對應(yīng)邊， 題目中所給的ABC與ADE是用來干擾你的思路的，應(yīng)該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起，加上所求的“BD=CE”，你會發(fā)現(xiàn)BD在ABD中，CE在ACE中，這樣一來，“AB=AC”可以理解為：AB在ABD中，AC在ACE中，它們是一組對應(yīng)邊； “AD=AE”可以理解為：AD在ABD中，AE在ACE中，它們是一組對應(yīng)邊；21圖13所以只需要說明它們的夾角相等即可。關(guān)鍵還是在于：說

8、明“相等的邊（角）所在的三角形全等” 解： 1=2（已知） 1+CAD=2+CAD（等式性質(zhì)） 即： BAD=CAE 在ABD與ACE中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE21圖14 ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）變形1：如圖14，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，請說明ABDACE.嗎？為什么？分析：例三是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用SAS說明全等， 此題是兩組角相等，那么該如何做呢?變形2：過點A分別作兩個大小不一樣的等邊三角形，連接BD，CE，請說明它們相等。圖15分析：此題實際上是例三的變形，只不過將等腰三角形換成了等邊三

9、角形，只要你根據(jù)所求問題，把BD看成在ABD的一邊，CE看成ACE的一邊，自然就得到了證明的方向。 解：ABC與ADE是等邊三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60° BAC+CAD=DAE+CAD（等式性質(zhì)） 即： BAD=CAE接下來的過程與例三完全一致，不予描述！ 圖16變形3：如圖1618，還是剛才的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化，連接BD，CE，請說明它們相等 這里僅以圖17進行說明 解： ABC與ADE是等邊三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60°圖17BACCAD=DAECAD【僅這步有差別】即：BAD=BAD=CAE 在ABD與ACE中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE圖18 ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等） 圖16，圖18的類型，請同學們自己去完成變形4：如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N求證：；分析：和上面相比，只不過等邊三角形換成正方形，60°換成直角了，思路一樣例六： 如圖，ABC中，C=90°，AB=2AC，M是AB的中點，點N在BC上，MNAB.