異面直線所成角及線面平行

1、高頻考點（14） 異面直線所成角和線面及面面平行的證明知識點一.異面直線所成角的大小，是由空間任意一點分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來定義的，即異面直線所成的角的范圍是0°90°準確選定角的頂點，平移直線構造三角形是解題的重要環(huán)節(jié)常見方法如下： 本節(jié)課用到的定理：1余弦定理：在ABC中，有a=b+c-2bccosA，b=a+c-2accosB，222222c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c22余弦定理的推論：cosA=，cosB=，cosC=2bc2ab2ac一、抓異面直線(或空間圖形)上的已知點和特殊點過一條異面直線上的

2、已知點，引另一條直線的平行線(或作一直線并證明與另一直線平行)，往往可以作為構造異面直線所成角的試探目標；或抓住特殊點(特別是中點)構造異面直線所成角是一條有效的途徑. 1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中點， （1）求BA1與CC1夾角的度數. （2）求BA1與CB1夾角的度數 (3)求A1E與CB1夾角的余弦值AA1DD1（4）若E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為等于解：（1）由BB'/CC'，可知B'BA'等于異面直線BA'與CC'的夾角，所以異面直線BA'與CC'的夾角為45（2）連結

3、CD，BD，則BA'/ CD，BCD等于異面直線BA'與CB的夾角，由CBD 為等邊三角形，B/CD/=60O ，BA'與CB/的夾角為60O/（3）連結AD，DE，則AD/ CB，DAE等于異面直線AE與CB的夾角。/A/D2+A/E2-DE2設AA=2，AE=1，AE=DE=，AD=22，在三角形DAE中，cosDAE=， /（4）取A1B1的中點F，AEF為所求角，設棱長為2，則AE=3,AF=EF=2，AE2+EF2-AF22cosAEF=.2AEEF32長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=3,AA1=4A1求異面直線A1B和AD1所成角的余弦值求

4、異面直線B1D與DD1A高頻考點（14） 異面直線所成角和線面及面面平行的證明BC1所成角的余弦值。解因為CD1A1B，所以AD1C即為A1B與AD1所成的角 在AD1C中，AD1=CD1=5,AC=32cosAD1C=16 25解：如圖連結B1C交BC1于0，過0點作OEDB1，則BOE為所求的異面直線DB1與BC1所成的角。連結EB，由已知有B1BC1=5，BE=，cosBOE= 2170練1：如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是_解：連B1G，則A1EB1G，知B1G F就是異面

5、直線A1E與GF所成的角在D1B1GF中，由余弦定理，得C1B1A1B1G2+GF2-B1F2222= cosB1GF0，2B1GGF 故B1G F90°，應選(D)練2.已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA1=2，求 異面直線BD與AB1所成角的余弦值；BEDAGCFDC解：連BD,AB1,B1D1,AD1， BD/B1D1,AB1=AD1， 異面直線BD與AB1所成角為AB1D1，記AB1D1=，A1AB12+B1D12-AD12cos=2AB1B1D1D1C1B13 如圖空間四邊形ABCD中，四條棱AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，E為AD的中點，F為BC中，（1）求直線AB和CE 所成角的余弦值。 （2）求直線AF和CE 所成角的余弦值。 解：（1）取BD中點M，連結MC，ME，則ME/AB，CEM等于異面直線AB和CE的夾角，取ME中點O，連結CO，CM=CE，OCME111AB=2