數學分析考研大綱

1、數學分析考研大綱第一部分 集合與函數1、集合實數集、有理數與無理數的調密性，實數集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限復蓋定理。上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推廣。2、函數函數、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數概念，反函數與逆變換，反函數存在性定理。初等函數以及與之相關的性質。 第二部分 極限與連續(xù)1、 數列極限數列極限的定義，收斂數列的基本性質（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質）數列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調有界原理、數列收斂與其子列收斂的關

2、系），極限及其應用。2、 函數極限各種類型的一元函數極限的定義（、語言 ），函數極限的基本性質（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性），歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限：及其應用，計算一元函數極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號與O的意義。多元函數重極限與累次極限概念、基本性質，二元函數的二重極限與累次極限的關系。3、 函數的連續(xù)性 函數連續(xù)與間斷的概念，一致連續(xù)性概念。連續(xù)函數的局部性質（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數的性質（有界性、最值可達性、介值性、一致連續(xù)性）。 第三部分 微分學1、一元函數微分學（i）導數與微分導數概念及其幾何意義，可導與

3、連續(xù)的關系，導數的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性。（ii）微分學基本定理及其應用Feimat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理， Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項)及應用，函數單調性判別法，極值、最值、曲線凹凸性討論。 1 / 42、多元函數微分學 （i）偏導數與全微分偏導數、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續(xù)之間的關系，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，高階偏導數，混合偏導數與順序無關性，二元函數中值定理與Taylor公式。(ii) 隱函數定理與多元微分的應用隱函數存在定理

4、的應用，隱函數組存在定理的應用，隱函數（組）求導方法，反函數組與坐標變換。幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）。極值問題研究（必要條件與二元極值的充分條件），條件極值與Lagrange乘數法的應用。第四部分 積分學1、 一元函數積分學(i)不定積分原函數與不定積分概念、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）有理函數積分，型積分，型積分 (ii)定積分定積分概念與幾何意義 ，可積條件（必要條件、充要條件：），可積函數類。定積分性質（關于區(qū)間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理） 變上限積分函數，微積分基本定理，N-L公式及定

5、積分計算，定積分第二中值定理應用。(iii)廣義積分無限區(qū)間上的廣義積分概念、Canchy收斂準則，絕對收斂與條件收斂。非負時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）， Abel判別法，Dirichlet判別法。無界函數廣義積分概念及其收斂性判別法。(iv)定積分的應用微元法思想。幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積），其他應用。2、 多元函數積分學 （i）重積分與含參量積分二重積分概念及其幾何意義，二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）。三重積分概念，三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）。重積分的應用（體積、曲面面積、重心、

6、轉動慣量等）。含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。(ii) 曲線積分與曲面積分第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質、計算，第二型曲線積分概念、性質、計算。Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質、計算。奧高公式、Stoke公式。兩類線積分、兩類面積分之間的關系。第五部分 級數1、數項級數級數及其斂散性，級數的和，Canchy準則，收斂必要條件，收斂級數基本性質。正項級數收斂的充要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的

7、極限形式。交錯級數的Leibniz判別法。一般項級數的絕對收斂、條件收斂性 ，Abel判別法，Dirichlet判別法 2、函數項級數函數列與函數項級數的一致性收斂性，Cauchy準則，一致收斂性判別法（M-判別法、Able Diridnlet判別法）。一致收斂函數列、函數項級數的性質及其應用。3、 冪級數冪級數概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數的一致收斂性，冪級數的逐項可積性、可微性及其應用，冪級數各項系數與其和函數的關系。函數的冪級數展開、Taylor級數、Maclaurin級數 。4、 Fourier級數三角級數、三角函數系的正交性以2 、2 為周期的周期函數的Fourier級數展開， Beseel不等式、Riemanm-