數(shù)學(xué)物理方程-第二章分離變量法

1、第二章 分離變量法 分離變量法是求解偏微分方程定解問題最常用的方法之一，它和積分變換法一起統(tǒng)稱為Fourier方法. 分離變量法的本質(zhì)是把偏微分方程定解問題通過變量分離，轉(zhuǎn)化為一個所謂的特征值問題和一個常微分方程的定解問題，并把原定解問題的解表示成按特征函數(shù)展開的級數(shù)形式. 本章介紹兩個自變量的分離變量法，更多變量的情形放在其他章節(jié)中專門討論.§21 特征值問題21.1 矩陣特征值問題 在線性代數(shù)中，我們已學(xué)過線性變換的特征值問題. 設(shè)為一階實矩陣，可視為到自身的線性變換。該變換的特征值問題（eigenvalue problem）即是求方程： ， （1.1）的非零解，其中為待定常數(shù).

2、 如果對某個，問題（1.1）有非零解，則就稱為矩陣的特征值(eigenvalue)，相應(yīng)的稱為矩陣的特征向量(eigenvector). 一般來講，特征值問題（1.1）有不多于個相異的特征值和線性無關(guān)的特征向量. 但可證明: 任一階矩陣都有個線性無關(guān)的廣義特征向量，以此個線性無關(guān)的廣義特征向量作為的一組新基，矩陣就能夠化為標(biāo)準(zhǔn)型. 若為一階實對稱矩陣，在線性代數(shù)中有一個重要結(jié)果，即存在一個正交矩陣使得 ， （1.2）其中diag為實對角陣. 設(shè)，為矩陣的第列向量，則式（1.2）可寫為如下形式 ，或 （1.3）上式說明，正交矩陣的每一列都是實對稱矩陣的特征向量，并且這個特征向量是相互正交的. 由

3、于此結(jié)論在一定意義下具有普遍性，我們以定理的形式給出. 定理1.1 設(shè)為一階實對稱矩陣，考慮以下特征值問題，則的所有特征值為實數(shù)，且存在個特征向量，它們是相互正交的（正交性orthogonality），可做為的一組基（完備性completeness）.特征值問題在線性問題求解中具有重要的意義，下面舉例說明之.為簡單起見，在下面兩個例子中取為階非奇異實矩陣，故的所有特征值非零，并且假設(shè)有個線性無關(guān)的特征向量 相應(yīng)的特征值為.45 / 28例1.1 設(shè)，求解線性方程組 .解 由于向量組線性無關(guān)，故可做為的一組基. 將按此組基分別展開為，則等價于，或，比較上式兩邊的系數(shù)可得，便是原問題的解. 例1.

4、2 設(shè),. 求解非齊次常微分方程組， （1.4）其中 . 解 類似于上例，將按基分別展開為 .則（1.4）等價于，或，比較上式兩邊的系數(shù)可得. （1.5）（1.5）是個一階線性方程的初始值問題，很容易求出其解.請同學(xué)們給出解的具體表達(dá)式.2.1.2 一個二階線性微分算子的特征值問題在這一小節(jié)，我們討論在本章常用的一些特征值問題. 代替上節(jié)的有限維線性空間和階實對稱矩陣，在這兒要用到線性空間的某個子空間和該子空間上的二階線性微分算子. 一般地取在滿足齊次邊界條件. （1.6）下面我們討論二階線性微分算子的特征值問題. 先取邊界條件為，設(shè)是的特征函數(shù)，即且滿足. 此問題等價于是下面問題的非零解 （

5、1.7）（1.7）便是二階線性微分算子的特征值問題，即要找出所有使得該問題有非零解的. 下面求解特征值問題（1.7）.首先證明要使（1.7）具有非零解，必須非負(fù).設(shè)是相應(yīng)于的一個非零解，用乘（1.7）中的方程，并在上積分得 ，.由于，故有，. （1.8）當(dāng)時，方程的通解為. 利用邊界條件可得，即. 因此，不是特征值.當(dāng)時，方程的通解為 . （1.9）利用邊界條件確定常數(shù)如下, ,或 .由于要求（1.7）中齊次微分方程的非零解，故不能為零. 故有.注意，從而有 ， ,， .將代入到（1.8）中，并略去任意非零常數(shù)得 ， .故特征值問題（1.7）的解為 ， ， （1.10）注1 特征值問題是分離變

6、量法的理論基礎(chǔ). 上面已求出特征值問題（1.7）的解為. 在高等數(shù)學(xué)中知道，在一定條件下區(qū)間的任一函數(shù)可按特征函數(shù)系展開為Fourier級數(shù). 換言之，特征函數(shù)系是區(qū)間上滿足一定條件的函數(shù)所成無窮維空間的一組基，而且還是該空間上的一組正交基，即有. 特征函數(shù)系的這兩個根本性質(zhì)：正交性和完備性（基），和定理1.1有限維空間中相應(yīng)結(jié)論很相似，只是現(xiàn)在的特征值和特征函數(shù)是無窮個. 另外，若改變（1.7）中的邊界條件，其相應(yīng)的特征值和特征函數(shù)也會有所變化. 如將邊界條件變?yōu)?，則特征值和特征函數(shù)分別為. 該特征函數(shù)系也具有和特征函數(shù)系類似的性質(zhì)，既正交性和完備性.此類問題的一般結(jié)果便是著名的SturmL

7、iouville定理，有興趣的同學(xué)可參閱參考文獻(xiàn). 將以上的結(jié)果以定理的形式給出.定理1.2 考慮二階線性微分算子的特征值問題 （1.11）其中. 則該問題的特征值非負(fù)，且滿足.相應(yīng)的特征函數(shù)系在上是相互正交的. 且對于任一在區(qū)間上分段光滑的函數(shù)，可按特征函數(shù)系展開為如下的級數(shù) ，其中系數(shù)為. 為后面需要，下面再求解二階線性微分算子帶有周期邊界條件的特征值問題. 在偏微分方程教材中，習(xí)慣上用表示周期函數(shù)，即考慮下面二階線性微分算子的周期邊值問題 （1.12）可證（1.12）和以下問題等價 （1.13）和（1.8）的證明相似易得（1.13）中的特征值. 當(dāng)時，, 由周期邊界條件可得. 所以為特征

8、函數(shù). 當(dāng)時，方程通解為,求導(dǎo)得 . 由周期邊界條件可得或 （1.14）由于要求非零解，故不能同時為零. 因此，齊次方程組（1.14）的系數(shù)矩陣行列式必為零，即 . 解之可得，此時對每個正特征值，特征函數(shù)有二個，既，. 總結(jié)所得結(jié)果為如下定理. 定理1.3 考慮二階線性微分算子帶有周期邊界條件的特征值問題 則該問題的特征值和特征函數(shù)分別為，. §22 分離變量法本節(jié)結(jié)合具體定解問題的求解來介紹分離變量法（method of separation of variables）. 所舉例子僅限于一維弦振動方程，一維熱傳導(dǎo)方程混合問題以及平面上一些特殊區(qū)域上的位勢方程邊值問題. 對高維問題的

9、處理放在其它章節(jié)中介紹. 以下多數(shù)例子均假定定解問題帶有齊次邊界條件. 否則,可利用邊界條件齊次化方法轉(zhuǎn)化之. 我們以弦振動方程的一個定解問題為例介紹分離變量法.22.1 弦振動方程定解問題例2.1求解兩端固定弦振動方程的混合問題 解 分四步求解. 第一步 導(dǎo)出并求解特征值問題. 即由齊次方程和齊次邊界條件，利用變量分離法導(dǎo)出該定解問題的特征值問題并求解. 令，并代入到齊次方程中得,或 .上式左端是的函數(shù)而右端是的函數(shù)，要二者相等，只能等于同一常數(shù).令此常數(shù)為-，則有 ， ，上面的第一個方程為 .利用齊次邊界條件（2.2），并結(jié)合得 .由此便得該定解問題的特征值問題為 其解為 特征值：特征函數(shù)

10、： 第二步 正交分解過程. 即將初值和自由項按特征函數(shù)系展成Fourier級數(shù)，并將也用特征函數(shù)表出. , （2.4）, （2.5）, （2.6） （2.7）這里，和分別為，和的Fourier系數(shù)，具體表示如下,而為待定函數(shù). 第三步 待定系數(shù)法. 即先將和的Fourier級數(shù)代入到（2.1）中，導(dǎo)出關(guān)于滿足的常微分方程. 再利用初值條件（2.3）得出滿足的初始條件.假設(shè)(2.7)中的級數(shù)可逐項求導(dǎo)，并將（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得, . （2.8）由于Fourier展式是唯一的，比較（2.8）兩端系數(shù)得 （2.9）在（2.7）中令并結(jié)合（2.4）得 （2.10）比較（2.10）

11、兩端系數(shù)得 （2.11）類似地可得 （2.12）結(jié)合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出關(guān)于滿足的二階常系數(shù)非齊次方程初始值問題 （2.13）第四步 求解關(guān)于的定解問題（2.13），并將其結(jié)果代入到（2.7）中即可. 為簡單起見，我們設(shè). 將代入到（2.13）中可得方程的通解為 ， 利用初始條件確定常數(shù)如下.故有 . 最后將上式代入到（2.7）中便得定解問題（2.1）（2.3）的解為 (2.14)注1 利用分離變量法求解（2.1）（2.3），需要假設(shè)在（2.7）中可通過無窮求和號逐項求導(dǎo). 而通過號求導(dǎo)要對無窮級數(shù)加某些條件，在這里就不做專門討論了. 今后遇到此類問題，我們均假設(shè)一切運

12、算是可行的，即對求解過程只作形式上的推導(dǎo)而不考慮對問題應(yīng)加什么條件. 通常稱這樣得出的解為形式解. 驗證形式解是否為真解的問題，屬于偏微分方程正則性理論的范圍. 一般地講，偏微分方程定解問題的解大多數(shù)是以無窮級數(shù)或含參變量積分形式給出的. 對這兩類函數(shù)可微性的研究需要較深的數(shù)學(xué)知識，也有一定的難度，有興趣的同學(xué)可查閱參考文獻(xiàn)和. 我們約定：本書只求定解問題的形式解. 注2 當(dāng)時，由（2.14）可以看出：兩端固定弦振動的解是許多簡單振動的疊加，當(dāng)時，對任意的時刻，即在振動的過程中有個點永遠(yuǎn)保持不動，所以稱這樣的振動為駐波,而稱為該駐波的節(jié)點.顯然當(dāng)時，在這些點上振幅最大，稱這些點為駐波的腹點.

13、因此，求特征函數(shù)實際上就是求由偏微分方程及邊界條件所構(gòu)定的系統(tǒng)所固有的一切駐波. 利用由系統(tǒng)本身所確定的簡單振動來表示一些復(fù)雜的振動，便是分類變量法求解波動問題的物理解釋. 注3 例2.1的求解方法也叫特征函數(shù)法（eigenfunction method），現(xiàn)已成為固定模式，也具有普適性. 初學(xué)者似乎會感到有些繁瑣，但隨著進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，同學(xué)們就會熟練掌握這一方法. 特征函數(shù)法的關(guān)鍵之處是求解偏微分方程定解問題相應(yīng)的特征值問題，而基本思想就是笛卡爾（Descartes）坐標(biāo)系的思想.如在三維空間中，每個向量可由基的線性組合表出，兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)在基下兩個向量的坐標(biāo)相等. 既.與此相類似，在例

14、2.1求解中也是比較方程或初始條件兩邊的系數(shù)而得到（2.13）. 與三維空間相比較，例2.1中特征函數(shù)系相當(dāng)于中的基，而也就相當(dāng)于上面的，即定解問題的解關(guān)于基函數(shù)的坐標(biāo). 因此，在具有可數(shù)基的無窮維空間中，特征函數(shù)法也稱為待定系數(shù)法. 例2.2 設(shè)有一均勻細(xì)弦，其線密度為. 若端為自由端，端固定.初始速度和初始位移分別為零，并受到垂直于弦線的外力作用，其單位長度所受外力為. 求此弦的振動. 解 所求定解問題為 （2.15）利用特征函數(shù)法求解該問題. 情形1 非共振問題，即. 該定解問題的特征值問題為 (2.16)其解為 ， ， 將按特征函數(shù)展開成Fourier級數(shù)得 , （2.17).令 （2

15、.18）完全類似例2.1的求解過程可得，對于任意滿足下面問題 （2.19）初值問題(2.19)中齊次方程的通解為，而非齊次方程的一個特解為. 因此，（2.19）的通解為. （2.20）由初始條件可確定出.最后將所得到的代入到（2.18）中便得（2.15）的解.情形2 共振問題，即存在某個 使得. 不妨假設(shè). 此時，在情形1中求解所得到的不變. 當(dāng)時，要求解以下問題 （2.21）（2.21）中齊次方程通解為. 為求得非齊次方程的一個特解，要將（2.21）中方程的自由項換為，而求以下問題的一個特解令并代入到上面非齊次方程中可得 ，故有，取其虛部便得（2.21）中方程的一個特解為. 結(jié)合以上所得結(jié)果

16、便可得到（2.21）中方程的通解為，由初始條件確定出 ，由此可得. 將代入到（2.18）中便得在共振條件下（2.15）的解為可以證明: 是有界的. 而在的表達(dá)式中取 ，則中的基本波函數(shù)的振幅當(dāng)逐漸變大時將趨于無窮大，最終要導(dǎo)致弦線在某一時刻斷裂，這種現(xiàn)象在物理上稱為共振. 注意到在上面求解過程中我們?nèi)≈芷谕饬Φ念l率等于系統(tǒng)的第一固有頻率，從而在第一波函數(shù)分量上發(fā)生共振. 一般地講，當(dāng)周期外力的頻率很接近或等于系統(tǒng)的某個固有頻率時，系統(tǒng)都會有共振現(xiàn)象發(fā)生，即弦線上一些點的振幅將隨著時間的增大而不斷變大，導(dǎo)致弦線在某一時刻斷裂. 22.2 熱傳導(dǎo)方程定解問題例2.3 求解下面熱方程定解問題 （2.

17、22） 解 利用特征函數(shù)法求解(2.22). 首先將邊界條件齊次化,取，并令，則（2.22）轉(zhuǎn)化為 （2.23）利用分離變量法可得（2.23）的特征值問題為特征值和特征函數(shù)分別為 , .將，按特征函數(shù)展成Fourier級數(shù)得 ， (2.24),其中. ， (2.25)其中 .令 (2.26)并將（2.26）代入到（2.23）中的方程得 ,. 在（2.26）中令并結(jié)合（2.25）得 . 比較上面兩式中特征函數(shù)的系數(shù)便得 （2.27）（2.27）是一階常系數(shù)常微分方程初值問題.齊次方程通解為.令，并利用待定系數(shù)法求特解可得 ,故有 （2.28）在上式中代得, . 最后將(2.28)代入到(2.26

18、)中便得(2.23)的解為 .故（2.21）的解為 其中由（2.28）給出. 22.3 平面上位勢方程邊值問題 考慮矩形域上Poisson方程邊值問題 （2.29）我們假設(shè)或. 否則，利用邊界條件齊次化方法化非齊次邊界條件為齊次邊界條件. 當(dāng)然，也可以利用疊加原理將（2.29）分解為二個問題，其中一個關(guān)于具有齊次邊界條件，而另一個關(guān)于具有齊次邊界條件. 例2.4 求解Dirichlet問題 （2.30）解 令并將其代入到（2.29）中齊次方程得, （2.31） （2.32）（2.31）便是（2.30）的特征值問題，其解為 ， ， .將代入到（2.32）中得 ， （2.33）該方程有兩個線性無關(guān)

19、解，. 由于，也是（2.33）的解且線性無關(guān)，故（2.33）通解為.令 (2.34)則滿足（2.30）中方程和關(guān)于的齊次邊界條件. 利用關(guān)于的邊界條件可如下確定，, . （2.35） , . （2.36）故（2.30）解為 （2.37）其中，由（2.36）和（2.35）確定. 對于圓域，扇形域和圓環(huán)域上的Poisson方程邊值問題，求解方法和矩形域上的定解問題無本質(zhì)區(qū)別，只是在此時要利用極坐標(biāo). 同學(xué)們自己可驗證：令，作自變量變換，則有.令，將其代入到極坐標(biāo)下的Laplace方程中得,故有 , （2.38） . （2.39）方程（2.38）結(jié)合一定的邊界條件便得相應(yīng)定解問題的特征值問題,而 （

20、2.39）是歐拉（Euler）方程. 對（2.39）作自變量變換可得 ， ,.將以上各式代入到（2.39）得 . （2.40） 例2.5 求下面扇形域上Dirichlet問題 （2.41）的有界解. 解 令，作自變量變換，（2.41）轉(zhuǎn)化為 （2.42）令代入到（2.42）中的方程，并結(jié)合邊界條件可得 （2.43） . （2.44）（2.43）便是（2.42）的特征值問題. 求解特征值問題（2.43）可得 ， ， .將代入到（2.44）中，并令作自變量變換可得,.由于是求（2.42）的有界解，故有，即. 從而有. 上面求出的對每個都滿足（2.42）中的方程和齊次邊界條件，由疊加原理得 , （2

21、.45）也滿足（2.42）中的方程和齊次邊界條件.為使（2.42）中的非齊次邊界條件得以滿足，在（2.45）中令得 ， （2.46）比較上式兩邊特征函數(shù)的系數(shù)得 ， .將，代入到（2.45）中便得（2.42）的解為 . 例2.6 求解圓域上Dirichlet問題 （2.47）解 圓域上的函數(shù)相當(dāng)于關(guān)于變量具有周期. 令并代入到（2.46）中的方程可得 （2.48） . （2.49） （2.48）是定解問題（2.47）的特征值問題. 由定理1.3知（2.48）的解為 .將代入到（2.49）中可得(要利用自然邊界條件),，利用疊加原理可得（2.47）的如下形式解 . （2.50）根據(jù)邊界條件得,其

22、中,.將以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解為 . （2.51）注4 利用等式可將（2.51）化為如下形式 （2.52）式（2.52）稱為圓域上調(diào)和函數(shù)的Poisson公式. 在后面學(xué)習(xí)中還將用其它方法導(dǎo)出它. 注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由項不為零，若特殊，可用函數(shù)代換將自由項化為零而轉(zhuǎn)化齊次方程. 對于一般的，要利用特征函數(shù)方法求解. 注6 上面例2.3例2.6幾個定解問題的求解思想和主要過程，是偉大的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家Fourier給出的，詳細(xì)內(nèi)容見參考文獻(xiàn). 在這部著名論著中，F(xiàn)ourier首次利用偏微分方程來研究熱問題，并系統(tǒng)地介紹了分離變量法的基本思想和主要步驟. 結(jié)合本節(jié)所舉例子，請同學(xué)們小結(jié)一下在本章所學(xué)過的特征值問題，二階常系數(shù)非齊次常微分方程和歐拉方程的求解方法. 習(xí) 題 二1. 設(shè)有如下定解問題 利用分離變量法導(dǎo)出該定解問題的特征值問題并求解.2.求解下列特征值問題