重積分_期末復(fù)習(xí)題_高等數(shù)學(xué)下冊(cè)_(上海電機(jī)學(xué)院)

1、第九章 重積分一、選擇題1.I=球面內(nèi)部， 則I= C A. 的體積 B. C. D. 2. 是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所圍閉區(qū)域， 則 B A. B. C. D. 3. 設(shè)區(qū)域由直線和所圍閉區(qū)域，是位于第一象限的部分，則B （A） （B） （C）（D）4. :， 則 C A. 1 B. C. 0 D. 5，其中，則 D A. B. C. D. -6設(shè)，D為全平面，則 CA. B. C. D.7積分可寫為 D A. B. B. D. 8.交換二次積分的積分順序?yàn)椋?A）.(A) (B) (C) (D) 9.設(shè)平面區(qū)域由圍成，若 則的大小順序?yàn)椋?C）.(A) (B) (C

2、) (D) 10的值 （ B）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能確定11設(shè)積分區(qū)域由圍成，則（ C）.(A) (B) (C) 0 (D) A, B, C都不對(duì)12的值 （ B）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能確定13.把二次積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分（B ）.(A) (B) (C) (D) 14. 設(shè)積分區(qū)域D是由直線y=x,y=0,x=1圍成，則有（ A ）（A） （B） （C） （D）15. 設(shè)D由圍成，則（ B ）（A） （B） （C）1 （D）16根據(jù)二重積分的幾何意義，下列不等式中正確的是( B )；(A) ：，；(B) ：，；(C

3、) ：；(D) ：+17( C )，其中：；(A) ； (B) ；(C) ； (D) 18. 二重積分（ C ）（A）1 （B） （C） （D）219. 的值等于（ A ） A. ； B. ； C. ； D. 20. 二重積分（ C ）（A）1 （B） （C） （D）221. 設(shè)D是區(qū)域，則a=（ B ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）822. 若D是平面區(qū)域，則二重積分（ B ）（A） （B） （C） （D）123. 設(shè)D由圍成，則（ B ）（A） （B） （C）1 （D）二、填空題1變換積分次序 2比較大小：其中D是以為頂點(diǎn)的三角形 < 3變換積分次序 4交換二次積分的積分次序=

4、5. 交換 的積分次序后的積分式為，其積分值為6、交換二次積分的積分次序后，dy=7、交換二次積分的次序三、計(jì)算與證明1. 計(jì)算, 其中D是拋物線=2x與直線x=所圍閉區(qū)域解：= = = 2. 計(jì)算I= , D=(x, y)解：令x=rcos, y=rsin 則I= =3. 設(shè)G(x)在上有連續(xù)的, 求I=, 其中D為的第一象限部分解：在極坐標(biāo)下計(jì)算積分，D=(r,)I= = = = =4.,其中是以a為半徑，坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓。解：=（1分）=5. 解：= =6，其中為球體在上的部分。解：利用球面坐標(biāo)變換，對(duì)應(yīng)于 故 7.計(jì)算重積分的值。01解： 8計(jì)算三重積分，其中。解：的邊界曲面方程用球

5、面坐標(biāo)表示：，即。為：，于是 9 證明：證明：左邊 右邊所以原式得證。10.計(jì)算二重積分，其中。解：（方法一）（方法二）11. 求，其中是由在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域。解：令，則(2分)，所以。12求，其中D為（4分）（3分）13. 計(jì)算由曲面z=2-x2-y2與xoy坐標(biāo)面所圍成的體積。解：采用極坐標(biāo)14. 求，其中D是由直線及x=2圍成的區(qū)域。15. 求I=的值，其中是所圍成的閉區(qū)域。（a>0）解：采用柱坐標(biāo)16.計(jì)算，其中D由y=x，x=0，y=1所圍成的平面區(qū)域。解： 17. 求，其中D為直線,所圍成的區(qū)域。=（2分）=（2分）=18設(shè)D是由所圍在第一象限內(nèi)的部分，求二重積分解 =

6、19、求，其中D為：。解： (3分)=曲面積分與曲線積分選擇 1設(shè)是從O（0，0）到點(diǎn)M（1，1）的直線段，則與曲線積分I=不相等的積分是：（ ） A) B) C) D) 2設(shè)L是從點(diǎn)O(0,0)沿折線y=1-|x-1| 至點(diǎn)A(2,0) 的折線段，則曲線積分I=等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3設(shè)L為下半圓周，將曲線積分I= 化為定積分的正確結(jié)果是：（ ） A) B) C) D) 4設(shè)L是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 為頂點(diǎn)的三角形域的周界沿ABCA方向， 則等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 205設(shè)AEB是由點(diǎn)A(-1,0) 沿上半圓

7、 經(jīng)點(diǎn)E(0,1)到點(diǎn)B(1,0)，則曲線積分I=等于：（ ） A) 0 B) C) D) 一、 填空 1是光滑閉曲面的外法向量的方向余弦，又所圍的空間閉區(qū)域?yàn)椋辉O(shè)函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由高斯公式，有 = 。 2設(shè)L是xoy 平面上沿順時(shí)針方向繞行的簡(jiǎn)單閉曲線，且，則L 所圍成的平面閉區(qū)域D的面積等于 。 3設(shè)函數(shù)P(x,y,z,)在空間有界閉區(qū)域上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又是的光滑邊界面的外側(cè)，則由高斯公式，有 。 4設(shè)是球面的外側(cè)，則積分 。 5設(shè)L是xoy 面上的圓周的順時(shí)針方向，則I1=與I2= 的大小關(guān)系是 。 6設(shè)力的模, 的

8、方向與相同，則在力的作用下，質(zhì)點(diǎn)沿曲線L: 正向繞行一周，力所做的功可用曲線積分表示為: 。二、 計(jì)算1 計(jì)算曲線積分，其中L為連結(jié)O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的閉曲線OABO.2 計(jì)算，其中L由直線段AB與BC 組成，路徑方向從點(diǎn)A(2,-1) 經(jīng)點(diǎn)B(2,2)到點(diǎn)C(0,2).3 求 I=, 其中為由點(diǎn)A(a,0)到點(diǎn)O(0,0) 上半圓周.4 驗(yàn)證：當(dāng) 時(shí)，是某二元函數(shù)U(x,y) 的全微分，并求U(x,y).5 計(jì)算，是球面在第一卦限部分的上側(cè)。6 設(shè)在xoy 面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L，在點(diǎn)(x,y)處它的線密度為(x,y)，用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分分別表達(dá)：（1）這曲線弧

9、對(duì)x軸、對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix,Iy； （2）這曲線弧的重心坐標(biāo)。1 計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：（1），其中L為圓周x=acost ,y=asint ；（2），其中 L為圓周，直線y=x 及 x 軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界；（3），其中為折線ABCD，這里A,B,C,D依次為點(diǎn)(0,0,0) , (0,0,2) , (1,0,2) , (1,3,2) . 2 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：（1），其中L 為圓周及 x 軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界（按逆時(shí)針方向繞行）；（2） ，其中 L為圓周（按逆時(shí)針方向繞行）；（3），其中是從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(2,3,4)的一段直線。 9利

10、用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：圓. 10證明下列曲線積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值： 11利用格林公式，計(jì)算下列曲線積分：, 其中L為正向星形線 . 12驗(yàn)證下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個(gè)xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)U(x,y)的全微分，并求這樣的一個(gè)U(x,y) ： 13計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：（1），其中為平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分；（2），其中為錐面被柱面所截得的有限部分。 14求拋物面殼 ()的質(zhì)量，此殼的面密度的大小為=z. 15計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：（1），其中是柱面被平面z=0及z=3 所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；（2

11、），其中是平面x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。 16利用高斯公式計(jì)算曲面積分： , 其中為球面的外側(cè)。三、 證明已知f(u)連續(xù)，且L為逐段光滑的簡(jiǎn)單封閉曲線，證明： 四、 應(yīng)用 1求均勻的錐面（設(shè)面密度為1）對(duì)ox軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2求矢量場(chǎng)穿過圓柱體的全表面的流量和側(cè)表面的流量。 3求均勻弧x=a(t-sint) ,y=a(1-cost) 的重心坐標(biāo)。 4設(shè)z軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位置()沿直線移動(dòng)到 ()時(shí)重力所作的功。 5設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為，其上任一點(diǎn)處的線密度等于該點(diǎn)處矢徑的長(zhǎng)度，求L 的質(zhì)量。 6*求半徑為R的均勻

12、半圓周L（線密度為=1）對(duì)于位于圓心的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。 7*試用曲線積分求平面曲線L1 ：繞直線L2 ：旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的面積。五、 模擬1 試解下列各題：（1） 設(shè)是由光滑閉曲面所圍成的空間閉區(qū)域，其體積記為V，則沿外側(cè)的積分= 。 （2） L是xoy平面上具有質(zhì)量的光滑曲線，其線密度為(x,y)，則L關(guān)于ox軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用曲線積分表示為 。（其中(x,y )為連續(xù)函數(shù)）（3） L是從A(1,6)沿xy=6至點(diǎn)B(3,2)的曲線段，則 。（4） 力構(gòu)成力場(chǎng)（y>0），若已知質(zhì)點(diǎn)在此力場(chǎng)(y>0) 內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)場(chǎng)力所做的功與路徑無關(guān)，則m= 。 2 試解下列各題：（1） 設(shè)L是

13、圓周負(fù)向一周，則曲線積分（ ） A) B) C) D) （2）設(shè)L是表示的圍線的正向，則 之值等于（ ） A) 0 B)2 C) - 2 D)4ln2（3）設(shè)L是從A(1,0) 到 B(-1,2)的線段，則曲線積分= （ ） A) B) C)2 D)0（4）L是圓域D：的正向周界，則等于（ ） A) - 2 B) 0 C) D) 2 3已知曲線L的極坐標(biāo)方程為r= ()，L上任一點(diǎn)處的線密度為，試求該曲線段關(guān)于極軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 4驗(yàn)證：存在u(x,y)使 ，并求u(x,y) . 5設(shè)是連接點(diǎn)A(0,2)及點(diǎn)的直線段，計(jì)算曲線積分. 6設(shè)為球面的外側(cè)，計(jì)算. 7 計(jì)算，其中是上半球面的上側(cè)。8 設(shè)P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z) 均為連續(xù)函數(shù)，是一光滑曲面，面積記為S，M是在上的最大值，試證明： 答 案二 .選擇 1.D 2.D 3 .D 4.A 5.C三 .填空 1. 0 2 3. 4. 0 5. 6. 四 .計(jì)算 1. 2. 3. 4. 5