曲率及其計算公式

1、一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑3.7 曲率 曲線的彎曲線程度與哪些因素有關. 怎樣度量曲線的彎曲程度？一、弧微分曲線的基點與正向 設函數f(x)在區(qū)間(a b)內具有連續(xù)導數. 在曲線yf(x)上取固定點M0(x0 y0)作為度量弧長的基點 并規(guī)定依 x 增大的方向作為曲線的正向. s0s0 相反時s0. 顯然 弧 s 是 x 的單調增加函數 ss(x). 一、弧微分v弧微分公式 設x xDx為(a b)內兩個鄰近的點 它們在曲線yf(x)上的對應點為M N 并設對應于x的增量Dx 弧 s 的增量為Ds. 因為當Dx0時 Ds MN 又Dx與Ds同號 所以 由此得弧微分公式

2、 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD21 y. dxyds21. 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD二、曲率及其計算公式提示： 可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.觀察與思考： 觀察曲線的彎曲線程度與哪些因素有關. 怎樣衡量曲線的彎曲程度？ 記sKsDDD0lim 稱 K 為曲線 C 在點 M 處的曲率. 記sKDD 稱K為弧段 MN 的平均曲率. 平均曲率

3、：曲率：v曲率 設曲線C是光滑的 曲線上點M對應于弧s 在點M處切線的傾角為 曲線上另外一點N對應于弧sDs 在點N處切線的傾角為D . 曲率：v曲率的計算公式 在0limDssDDdsd存在的條件下 dsdK. 記sKsDDD0lim 稱 K 為曲線 C 在點 M 處的曲率. 設曲線C的方程為yf(x) 且f(x)具有二階導數. 因為tan y 所以 sec 2dydx 在0limDssDDdsd存在的條件下 dsdK. 又知 ds21 ydx 從而得曲率的計算公式 232)1 (|yydsdK . dxyydxydxyd2221tan1sec dxyydxydxyd2221tan1sec

4、dxyydxydxyd2221tan1sec . v曲率的計算公式232)1 (|yydsdK . 例1 計算等邊雙曲線xy1在點(1 1)處的曲率.曲率的計算公式：曲線在點(1 1)處的曲率為因此y|x11 y|x12.解解 由xy1 得 21xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221 解 21xy 32xy . 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221. 例2 拋物線yax2bxc上哪一點處的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 顯然 當2axb0時曲率最大. 因此

5、拋物線在頂點處的曲率最大 此處K|2a|. 232)2(1 |2|baxaK. 曲率最大時 xab2 對應的點為拋物線的頂點. 232)1 (|yydsdK . 曲率的計算公式：討論： 3. 半徑為R的圓上任一點的曲率是什么？ 1. 直線yaxb上任一點的曲率是什么？ 2. 若曲線的參數方程為xj(t) yy(t) 那么曲率如何計算？ 提示： 1. 設直線方程為yaxb 則ya y 0. 于是K0. 3. 圓的參數方程為xR cos t yR sin t . 2/322)()(| )()()()(|ttttttKyjyjyj . 2. 三、曲率圓與曲率半徑 上述圓叫做曲線在點M處的曲率圓 其圓心叫做曲率中心 其半徑r叫做曲率半徑.v曲率與曲率半徑關系v曲率圓與曲率半徑 設曲線在點M處的曲率為K(K0). 在曲線凹的一側作一個與曲線相切于M且半徑為rK1的圓. r K1 K r1. 曲率圓曲率半徑曲率中心 例3 設工件表面的截線為拋物線y0.4x2. 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內表面. 問用直徑多大的砂輪才比較合適？ 解 砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑. 拋物線頂點處的曲率半徑為 rK11.25. 因此,