北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)相似三角形性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案有答案

1、北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章相似三角形性質(zhì)教案1、理解相似三角形的有關(guān)概念；能正確找到對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊2、掌握相似三角形性質(zhì)3、應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.1性質(zhì)1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于_.2. 性質(zhì)2相似三角形的周長(zhǎng)比等于_，面積比等于_.參考答案：1. 相似比2. 相似比 相似比的平方1、三角形相似的性質(zhì)【例1】如圖，AD是ABC的高，AD=h，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SRAD，垂足為E.當(dāng)SR=BC時(shí)，求DE的長(zhǎng).如果SR=BC呢？【解析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可.解： SR AD， BC AD， SRBC ASR = B， ARS =

2、 C ASR ABC（ 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似） . （ 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）即當(dāng)SR=BC時(shí)，解得當(dāng)SR=BC時(shí)，解得總結(jié)：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比.練1. DEFABC，若相似比k1，則DEF_ABC；若相似比k2，則_，_ 【解析】利用相似三角形性質(zhì)即可求解.解：DEFABC，相似比k1 DEFABC， 若相似比k2，則2，練2. 若ABCA1B1C1，且相似比為k1；A1B1C1A2B2C2，且相似比為k2，則ABC_A2B2C2，且相似比為_ 【解析】利用相似三角形性質(zhì)即可求解.解： ABCA1B1C1， A1B1C1A2B2

3、C2， ABCA2B2C2， 相似比= 【例2】如圖，小強(qiáng)自制了 一個(gè)小孔成像裝置，其中紙筒的長(zhǎng)度為15 cm他準(zhǔn)備了一支長(zhǎng)為20 cm 的蠟燭，想要得到高度為5 cm的像，蠟燭應(yīng)放在距離紙筒多遠(yuǎn)的地方？【解析】利用相似三角形性質(zhì)即可求解. 解：由題意可得，cm 即，蠟燭應(yīng)放在距離紙筒60cm.練3. 如圖 ， AB 和 CD 表示兩根直立于地面的柱子，AD 和 BC 表示起固定作用的兩根鋼筋， AD 與 BC的交點(diǎn)為 M 已知 AB = 10 m， CD = 15 m， 求點(diǎn) M離地面的高度 MH【解析】利用相似三角形性質(zhì)即可求解.解： 由題意可得，ADBCMH DHMDBA，得，BHMBD

4、C，得, MH =6m.練4. ABC ABC， AD 和 AD是它們的對(duì)應(yīng)角平分線已知 AD = 8 cm， AD= 3 cm，求 ABC 與 ABC對(duì)應(yīng)高的比.【解析】利用相似三角形性質(zhì)即可求解.解： AD ：AD=8：3， ABC ABC的相似比為8：3 ABC 與 ABC對(duì)應(yīng)高的比為8：3.2相似三角形面積的比、周長(zhǎng)比【例3】如果 ABC ABC，相似比為 2，那么 ABC 與 ABC的周長(zhǎng)比是多少？面積比呢？ 如果 ABC ABC， 相似比為 k， 那么你能求 ABC 與 ABC的周長(zhǎng)比和面積比嗎？【解析】用含有邊長(zhǎng)的式子分別求出周長(zhǎng)、面積，即可求解解：由已知，得，分別作 ABC 和

5、 ABC 的高 CD， CD ABC ABC，（ 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）練5. 等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為12，底的長(zhǎng)為10，等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)分別為5和6，且ABCABC,則ABC的周長(zhǎng)為（ ）。A.17 B.16 C.17或16 D.34【解析】利用三角形相似性質(zhì)中周長(zhǎng)比等于相似比，即可求解.解： ABC的周長(zhǎng)=12×2+10=34ABCABCABC的周長(zhǎng)=17. 故選A.練6.如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（）A. B. C. D.【解析】利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.解：， DE為中位線， DE=2故選B.3. 應(yīng)用相似三角

6、形的性質(zhì)【例4】如圖將 ABC 沿 BC 方向平移 得到 DEF， ABC 與 DEF 重疊部分（圖中陰影部分） 的面積是 ABC 的面積的一半 已知 BC = 2， 求 ABC 平移的距離.【解析】利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.解：根據(jù)題意， 可知 EGAB. GEC=B， EGC=A GEC ABC（ 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）（相似三角形的面積比等于相似比的平方）即 BE = BC - EC =， 即 ABC 平移的距離為 . 總結(jié)： 相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.練7如圖， 在 ABC 和 DEF 中， G， H 分別是邊 BC 和 EF 的中點(diǎn)， 已知 A

7、B = 2DE，AC = 2DF，BAC = EDF（1） 中線 AG 與 DH的比是多少？（2） ABC 與 DEF 的面積比是多少？.【解析】利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.解：AB = 2DE，AC = 2DF，BAC = EDF ABCDEF，相似比為2:1， AG與DH為中線 （1）AG：DH=2:1 （2） ABC 與 DEF 的面積比=4:1. 練8如圖所示，平行四邊形ABCD中，AE：EB=1：2，求AEF和CDF的周長(zhǎng)比，如果SAEF=6cm2，求：SCDF. 【解析】利用三角形相似求出相似比，再利用面積比是相似比的平方，即可求解 解：平行四邊形ABCDCD=AB，CDABAE

8、：EB=1：2 AE：CD= AE：AB =1：3 由 CDAB可得，AFECFD AEF和CDF的周長(zhǎng)比=1:3AEF和CDF的面積比=1:9SCDF=6×9=54 cm2.【例5】已知：如圖所示，試分別依下列條件寫出對(duì)應(yīng)邊的比例式(1)若ADCCDB；(2)若ACDABC；(3)若BCDBAC【解析】根據(jù)相似找出對(duì)應(yīng)邊即可求解解：（1）若ADCCDB （2）若ACDABC（3）若BCDBAC練9已知：如圖，ABC中，AB20cm，BC15cm，AD12.5cm，DEBC求DE的長(zhǎng)【解析】利用相似三角形的性質(zhì)即可求解解：DEBC 即cm練10已知：如圖，ADBECF(1)求證：(2

9、)若AB4，BC6，DE5，求EF【解析】利用平行線成比例線段性質(zhì)即可求解解：（1）ADBECF （2） 即【例6】如圖所示，在APM的邊AP上任取兩點(diǎn)B，C，過(guò)B作AM的平行線交PM于N，過(guò)N作MC的平行線交AP于D求證：PAPBPCPD【解析】利用兩次相似三角形性質(zhì)求解即可 解：BNANPA:PB=PM:PNNDMCPM:PN=PC:PDPAPBPCPD.練11已知：如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，且，CE交BD于點(diǎn)F，BF15cm，求DF的長(zhǎng)【解析】利用相似三角形性質(zhì)求解即可解：平行四邊形ABCD ADBC，AD=BC，即DF=6cm. . 練12如圖，已知，D為ABC中A

10、C邊的中點(diǎn)，AEBC，ED交AB于點(diǎn)G，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BG：GA=3：1，BC=8，求AE的長(zhǎng).【解析】由D為AC邊中點(diǎn)，通過(guò)全等可得AE=CF，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求解解：D為ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD=CDAEBC，EAC=FCD，ADE=CDFADECDFAE=CFAEBC，即AE=CF=8cm. 1已知ABCABC，AB=2AB，則CABC：CABC=_，SABC：SABC=_.2要把一根長(zhǎng)1米的銅絲截成兩段，用它們圍成兩個(gè)相似三角形，且相似比為35，那么截成的兩段銅絲長(zhǎng)度的差應(yīng)是_米.3已知：如圖，ADE中，BCDE，則ADE_；4兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為2

11、0cm, 35cm, 如果它們的周長(zhǎng)差為63cm, 求這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng). 5. 已知RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，若AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，求AD的長(zhǎng).1. 已知兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比為1：2，那么這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)中線的比為_,對(duì)應(yīng)角平分線的比為_.2. 一個(gè)三角形的三邊之比為234，和它相似的另一個(gè)三角形的最大邊為16，則它的最小邊的邊長(zhǎng)是_，周長(zhǎng)是_.3. 兩個(gè)相似五邊形的面積比為16：25，其中較大的五邊形的周長(zhǎng)為30cm，則較小的五邊形的周長(zhǎng)為_ cm. 4如圖，已知ABC的面積是的等邊三角形，ABCADE，AB=2AD，BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則AEF的面積等于_（結(jié)果保留根號(hào)）.5. 四邊形 ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，而且CE：BC=1：3，若DGF的面積為9，試求：（1）ABG的面積.（2）ADG與BGE的周長(zhǎng)比和面積比.6已知：如圖，AD是ABC的中線(1)若E為AD的中點(diǎn)，射線CE交AB于F，求；(2)若E為AD上的一點(diǎn)，