工程流體力學(xué)禹華謙習(xí)題答案第6章

1、第六章理想流體動(dòng)力學(xué)6-1平面不可壓縮流體速度分布為Vx=4x+1;Vy=-4y.(1)該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程否？(2)勢(shì)函數(shù)流函數(shù)少存在否？(3)求力、少解：(1)由于_Vx_Vy440,故該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程xy1 VyVx1(2)由coz=(一一)=-(44)=0,故流動(dòng)有勢(shì)，勢(shì)函數(shù)。存在，由于該流2 xy2動(dòng)滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)少存在，.(3)因Vx=4x+1xyVy=-4yd()=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy()=d()=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy=2x2-2y2+xd。=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4y

2、dx+(4x+1)dyd。=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2平面不可壓縮流體速度分布：Vx=x2-y2+x;Vy=-(2xy+y).(1)流動(dòng)滿足連續(xù)性方程否？(2)勢(shì)函數(shù)流函數(shù)少存在否？(3)求力、少.解：(1)由于一Vx+-Vy=2x+1(2x+1)=0,故該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，流動(dòng)存在xx1 VyVx1,(2)由coz=(l尸一(2y(2yD=0,故流動(dòng)有勢(shì)，勢(shì)函數(shù)e存在，由2 xy2于該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)少也存在(3)因 Vx二 x=x 2-y 2+x, Vy=yy-=-(2xy+y).xd()=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x

3、2-y2+x)dx+(-(2xy+y).)dyxy(x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y)dy()=d()=dx+dy=Vxdx+Vydy=3=-xy2+(x2-y2)/23d0=dx+dy=-Vydx+Vxdy0=dq=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(2xy+y)dx+(x2-y2+x)dyxy=x2y+xy-y3/36-3平面不可壓縮流體速度勢(shì)函數(shù)()=x2-y2-x,求流場(chǎng)上A(-1,-1),及B(2,2)點(diǎn)處的速度值及流函數(shù)值解：因Vx=2x-1,Vy=2y,由于Vx+-Vy=0,該流動(dòng)滿xyyxxx足連續(xù)性方程，流函數(shù)少存在d力=dx+dy=-Vydx+Vxdy力=d&

4、quot;dx+dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y在點(diǎn)(-1,-1)處Vx=-3;Vy=2;4=3在點(diǎn)(2,2)處Vx=3;Vy=-4;0=66-4已知平面流動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)()=-q-lnr,寫出速度分量Vr,Ve,q為常數(shù)。解：Vr=-q,V9=0r2rr6-5已知平面流動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)。=-m0+C,寫出速度分量Vr、V,m為常數(shù)解:Vr=0,V9=-mrrr6-6已知平面流動(dòng)流函數(shù)少=x+y,計(jì)算其速度、加速度、線變形率exx,£yy,求出速度勢(shì)函數(shù)解：因Vx=1Vy=-=-1d()=dx+dy=Vxdx+Vydy()=d()=dx+dy=Vxdx+V

5、ydy=dx+(-1)dy=x-yVxvyxx,yyxydVxa x=dtVx Vx，Vy . 0; t x y,dVyydtVy 心 Vy»y 0 t x y6-7已知平面流動(dòng)流函數(shù)4=x2-y2,計(jì)算其速度、加速度，求出速度勢(shì)函數(shù)小解:因Vx=-2yyVy=-=-=-2xy xd()= dx+ dy=Vxdx+Vydydx+ dy= Vxdx+Vydy=-2ydx+(-2x)dy=-2xydVxa x=dt4xa =dVya y= dtVyVyVy/Vx- Vy- 4y; txy6-8 平面定常流動(dòng)的流函數(shù)為(x,y)、3x y試求速度分布，寫出通過(guò)A (1, 0),和B (2,

6、串)兩點(diǎn)的流線方程.解：vx一 1, Vy一,3yx平面上任一點(diǎn)處的速度矢量大小都為舊(43)22 ,與x和正向arctan(B/1)600。A點(diǎn)處流函數(shù)值為J3?10V3 ,通過(guò)A點(diǎn)的流線方程為J3x y樣可以求解出通過(guò) B點(diǎn)的流線方程也是J3x yJ5。6-9已知流函數(shù)少=V00 (ycos a -xsin a ),計(jì)算其速度，加速度，(xy= yx= L (上+ *),并求速度勢(shì)函數(shù)。. 2 x y解： 因 Vx=V 00 COS aVy= =V 00 sis a夾角都是變形率d()=dx+ dy=Vxdx+Vydyd()=dx+ dy=Vxdx+Vydy= V 00 cos a dx+

7、 sisd dy=V 8 ( cos a x+ sis a y)dVxa x=dtVx Vx* V 產(chǎn)t x y_ dVyy=dtVy Vx* Vy*yt x y0；=L(-+*)=0xyyx2'6-10.證明不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。解：不可壓縮三維流動(dòng)的連續(xù)性方程為0將關(guān)系vx,一vy,一vz代入上式得到xyzxyz一()()一()0xxyyzz222或2220xyz可見(jiàn)不可壓縮有勢(shì)流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)是一調(diào)和函數(shù)。6-11什么樣的平面流動(dòng)有流函數(shù)？答：不可壓縮平面流動(dòng)在滿足連續(xù)性方程vxvy0xyvx(-vy)或xy的情況下平面流動(dòng)有流函數(shù).=xi+ yj+ zk都是零矢量，即

8、6-12什么樣的空間流動(dòng)有勢(shì)函數(shù)？答：在一空間流動(dòng)中，如果每點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角速度矢量vzyvy vxVzVy,zzxxvx成立，這樣的空間流動(dòng)有勢(shì)函 y6-13已知流函數(shù)少=-q，計(jì)算流場(chǎng)速度解：Vr=-rVe=-=06-14平面不可壓縮流體速度勢(shì)函數(shù)。=ax(x2-3y2),a<0,試確定流速及流函數(shù)，并求通過(guò)連接A(0,0)及B(1,1)兩點(diǎn)的連線的直線段的流體流量解：因Vx=a(3x2-3y2)xyVy=-6axyxdx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dya x2y-ay 3d力=dx+dy=-Vydx+Vxdy6axydx+a(3x2-3y2)dy=3

9、在A(0,0)點(diǎn)a=0;B(1,1)點(diǎn)少B=2a,q=4A“B=-2a.6-15平面不可壓縮流體流函數(shù)少=ln(x2+y2),試確定該流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)小2x解：因Vx=Vy=d()=dx+dy=Vxdx+Vydy=22y2dx22x2dyxyxyxyVxdx+Vydy=22y2dx-22x2dy=-2arctan(y)xyxyx6-16兩個(gè)平面勢(shì)流疊加后所得新的平面勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)及流函數(shù)如何求解？解：設(shè)想兩個(gè)平面上各有一平面勢(shì)流，它們的勢(shì)函數(shù)分別為1,2,流函數(shù)分別為1,2?，F(xiàn)將兩個(gè)平面重合在一起，由此將得到一個(gè)新的平面流動(dòng)，這一新的流動(dòng)與原有兩個(gè)平面流動(dòng)都不相同。合成流動(dòng)仍然是一有勢(shì)流動(dòng)，其勢(shì)函數(shù)

10、可由下式求出：12同樣，合成流動(dòng)的流函數(shù)等于126-17在平面直角系下，平面有勢(shì)流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)與速度分量Vx,vy有什么關(guān)系？解：在平面直角系下，平面有勢(shì)流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)與速度分量vx,vy有如下關(guān)系一一Vx,一一Vyxyyx6-18什么是平面定常有勢(shì)流動(dòng)的等勢(shì)線？它們與平面流線有什么關(guān)系？解：在平面定常有勢(shì)流動(dòng)中，勢(shì)函數(shù)只是x,y的二元函數(shù)，令其等于一常數(shù)后，所得方程代表一平面曲線，稱為二維有勢(shì)流動(dòng)的等勢(shì)線。平面流動(dòng)中，平面上的等勢(shì)線與流線正交。6-19試寫出沿y方向流動(dòng)的均勻流(V=Vy=C=Vo)的速度勢(shì)函數(shù)流函數(shù)少.解：因Vx=0xyVy=Vood（）=dx+dy=Vxdx+

11、Vydy=0dx+V0°dy（）=V8ydip=dx+dy=-Vydx+Vxdy=-V0°dx-V°°x6-20平面不可壓縮流體速度分布為：Vx=x-4y;Vy=-y-4x試證：（1）該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，（2）該流動(dòng)是有勢(shì)的，求。，（3）求小，解：（1）由于_VxVy1-1=0,故該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)少存在xy1 VyVx（2）由于3z=（）=0,故流動(dòng)有勢(shì)，勢(shì)函數(shù)（）存在.2 xy3）因Vx=x-4yxyVy=-y-4xd()=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x-4y)dx+(-y-4x)dy()=d()=dx+dy=Vxdx+Vydy=(

12、x-4y)dx+(-y-4x)dy4xyd0=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy0=d0=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy=xy+2(x2-y2)6-21已知平面流動(dòng)流函數(shù)4=arctgy,試確定該流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)e.解：因Vx=2x2xyxyVy=x,y,d()=dx+dy=Vxdx+Vydy=2dx+-2dyxyxyxyx.y.j=dj=一dx+dy=Vxdx+Vydy=-dx+2dyxyxyxy=Inx2y26-22證明以下兩流場(chǎng)是等同的，(I)4=x2+x-y2,(n)少=2xy+y.證明：對(duì)(1)j=x2+x-y2Vx

13、=2x+1Vy=-2y對(duì)(n)少=2xy+yVx=2x+1Vy=-=-2y可見(jiàn)與代表同一流動(dòng).6-23已知兩個(gè)點(diǎn)源布置在x軸上相距為a的兩點(diǎn)，第一個(gè)強(qiáng)度為2q的點(diǎn)源在原點(diǎn)，第二個(gè)強(qiáng)度為q的點(diǎn)源位于(a,0)處，求流動(dòng)的速度分布(q0)。解：兩個(gè)流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)分別為|qln(x2y2)1/2及2-ln(xa)2y2)1/2,合成流動(dòng)的勢(shì)由特42q22、1/2,q22.1/2函數(shù)為2ln(xy)+2ln(xa)y),、，_/2q22x1/2,q221/2Vx一一(3ln(xy)+/ln(xa)y)尸xx22qxqxa22-722xy2(xa)y,2q,221/2q221/2.Vy一(-ln(xy)+

14、ln(xa)y)=yy22qyqy22c,、22xy2(xa)y6-24如圖所示，平面上有一對(duì)等強(qiáng)度為(0)的點(diǎn)渦，其方向相反，分別位于(0,h),(0,-h)兩固定點(diǎn)處，同時(shí)平面上有一無(wú)窮遠(yuǎn)平行于x軸的來(lái)流v，試求合成速度在原點(diǎn)的值。解：平面上無(wú)窮遠(yuǎn)平行于x軸的來(lái)流v,上，下兩點(diǎn)渦的勢(shì)函數(shù)分別為vx,arctan(y h)/x),-22v x arctan(y h)/x) +2y h22 , vy2 x(y h)y代入后可得vx v一, vh y6-25如圖，將速度為v的平行 場(chǎng)中駐點(diǎn)位置。-arctan(y h)/x),因而-arctan(y h)/x), vxx ,二 22 +22 x

15、(y h) 2 x0.二x軸的均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為平面流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)為y hx V 2- X2_(y h)2x2,將原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(y h)q的點(diǎn)源疊加，求疊加后流解：均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為q的點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)分別為v x 及-q2ln J?一y2,因而平面流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)為vx+-q-|n.x2y2,vxv-22x2xyvy9，令vx0,vy0,得到x-q-,y0.y2xy2v6-26如圖，將速度為v的平行于x軸的均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為q的點(diǎn)源疊加，求疊加后流場(chǎng)中駐點(diǎn)位置，及經(jīng)過(guò)駐點(diǎn)的流線方程.解：先計(jì)算流場(chǎng)中駐點(diǎn)位置.均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為q的點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)分別為函數(shù)為vx+-qin.x2y,vxxvx及-

16、q-lnqx2y2,因而平面流動(dòng)的勢(shì)2qx_qyvc22,vy-222xyy2xy令vx0,vy0,得到xy0.此即流場(chǎng)中駐點(diǎn)位置均勻流和在原點(diǎn)強(qiáng)度為q的點(diǎn)的流函數(shù)分別為vy,-q-arctan(y),因而平面流動(dòng)的流函2x數(shù)為vy+-q_arctan(y),在駐點(diǎn)0,因而經(jīng)過(guò)駐點(diǎn)的流線方程為2xq.,y、八vy+-arctan(-)=06-27一強(qiáng)度為10的點(diǎn)源與強(qiáng)度為-10的點(diǎn)匯分別放置于(1,0)和(-1,0),并與速度為2、0.5y)25的沿x軸負(fù)向的均勻流合成，求流場(chǎng)中駐點(diǎn)位置。解：均勻流，點(diǎn)源與點(diǎn)匯的勢(shì)函數(shù)分別為-25x,101n(x1)2101n(x1)2y2),因而平面流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)為1022102225x+1n(x1)y-In.(x1)yVx2510 x 1-222 (x 1) y10 x 1-222 (x 1) yv